1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Подставим (11) в (6). В результате определим поле смеще­ний с точностью до четырех постоянных А, В, д, с:и, = и д А е " 1 - β Β α βχ'] β 4^ - α\и2 = [-а Л е Ш2 - 1д В е Рхг] е ^ с,\ν'и3 - 0.137(13)σ,, = иЪ ——н---- ^ дх2 дх2^Из представления (13) и последнего равенства (14) сразу видно,что <т21 = 0 . Следовательно, граничные условия на σ,, выполняютсятождественно. Подставим (4) в (5) и полагая затем х2 = 0 , получимV2ЛА + И .1 — Вл2=(, = №V С2V2 - 7С2 )11^=0 = /Л?22Л Ί(2~ ЧV ~ 7С1 а + V2 - с^2 ^вЯсно, что обе константы в квадратных скобках должны бытьравны нулю:ГГ ~7А + 21 \ \ ~ в2 - ЛVС2Г\)г2В = 0.- 2 / 1 - — А+ 2 -~ 7VЧС2)Система линейна и однородна относительно А и В.

Нетривиаль­ные решения могут быть только при нулевом определителе/ „ с 2ЛГс2)г= 0.(15)Щс) = 2 - - 2 „ 1V с2 )V1 с2 уV И уВеличина с — свободная постоянная. За счет ее выбора можнодобиться выполнения условий (15). Уравнение (15) имеет един­ственный корень, причем его значение138Для выбора постоянной ц и величины л1А 2 + В 2 дополнитель­ных условий нет. Таким образом, в построенном решении еще оста­ется произвол в две константы.Обсудим механический смысл полученного решения. Напомнимформулу Эйлера:е~а+,а = е'Д с о за - н 'з ш а ) .1)Из (13) видно, что с увеличением глубины смещения, дефор­мации и напряжения убывают по экспоненте. Также убывает иэнергия возмущений.

На этом основании волны Рэлея называютсяповерхностными волнами (основная их энергия сосредоточена уповерхности).2) Скорость поверхностных волн с меньше скорости продоль­ных и поперечных волнс < с2 < с ,.Смысл параметра ^ определяется формулой Эйлерае'4* = создх + / з т д х .Следовательно, ц — это частота, а 2 π Iц — длина волны.

Парамет­ры затухания а и β пропорциональны ц — формулы (3). Отсюдаследуют пункты 3 и 4.3) Короткие волны затухают с глубиной сильнее, чем длинные.4) Скорость с называют фазовой скоростью (когда на воде рас­ходятся круги, то фазовой скорости волны соответствует скоростьдвижения гребня волны). Из (15) следует, что фазовая скорость сне зависит от длины волны ц . Зависимость скорости от длины(ши частоты) называется дисперсией.

Поэтому можно сказатьтак: поверхностные волны Рэлея дисперсией не обладают.Далее, из (13) видно, что в формулы для перемещений времявойдет через аргументы функций зшог и с о з а . Аргумент исключа­ется с помощью элементарных операций, которые основаны на ра­венстве з т 2а + соз2а = 1. Поэтому траектории частиц будут эллип­сами. Таким образом,5) В волне Рэлея частицы среды движутся по эллиптическимтраекториям.Каким все же начальным условиям соответствует решение Рэ­лея? Положим в (13) 1 = 0, затем продифференцируем (13) по I и139опять положим I = 0 .

Мы видим, что начальные условия следую­щие: на свободной поверхности и во всем полупространстве заданысмещения и скорости, которые быстро уменьшаются с глубинойи являются периодическими по координате дс,. От координаты х3ничего не зависит. Динамический процесс стартует с этого состоя­ния. Дальше основные черты исходного состояния сохраняются.Поверхностные волны Рэлея наблюдаются при землетрясениях ивзэывах в среде.

Именно они представляют собой наибольшуюопасность для сооружений.140Глава 8. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА. ОБЩ ИЕ ФОРМ УЛЫРеальные упругие тела являются трехмерными. Процесс их де­формирования зависит от времени. Поэтому соответствующие зада­чи являются четырехмерными: три вещественные переменные попространству и одна переменная по времени. Можно, однако, выде­лить специальный класс задач, когда время исключается (статиче­ские задачи), а из пространственных переменных существеннымиостаются только две.

Речь идет о плоских задачах.Если говорить об арсенале математических средств, то для ре­шения плоских задач он гораздо богаче, чем для пространственных.В первую очередь это связано с возможностями аппарата теориифункций комплексного переменного (ТФКП). Областью изменениякомплексной переменной является плоскость. Поэтому теория при­менима к плоским задачам.В свое время были предприняты многочисленные попыткиобобщения аппарата ТФКП на трехмерный случай.

Оказалось, чтоэто невозможно. Однако в этом направлении было получено многорезультатов, связанных с применением в теории упругости кватер­нионов (четырехмерных объектов), применением методов ТФКПдля решения двумерных (но не плоских, а осесимметрических) за­дач и ряд других результатов.В общем курсе мы ограничимся только задачами, для решениякоторых используются только классические методы ТФКП. Основ­ные результаты в этой области принадлежат Колосову и Мусхелишвили [5]. В литературе есть данные о том, что формулы для ком­плексного представления упругих решений были получены такжеЧаплыгиным.Класс плоских упругих задач является весьма важным в силудвух обстоятельств: 1) здесь построена весьма изящная теория и2) плоские задачи имеют большое прикладное значение.

В даннойобласти опубликовано большое число руководств и монографий.Ниже будем использовать результаты [5], но процедуры вывода ос­новных формул будем излагать проще, чем в [5].141§ 8.1. Плоская деформация и обобщенноеплоское напряженное состояниеКак отмечалось, реальные упругие тела являются трехмерными.Однако в ряде случаев форма тела может быть такой, что его сече­ние одной плоскостью дает достаточно полное представление обовсем теле. Для определенности будем считать, что введена декарто­ва система координат 0хуг и указанное сечение есть сечение плос­костью ζ = 0 .Остановимся на самом простом случае, когда тело представляетсобой прямой цилиндр с образующей параллельной оси Οζ. Воз­можны ли ситуации, когда условия нагружения тела таковы, что,зная, как деформируется одно его сечение, можно получить пред­ставление о поведении всего тела в целом?Можно указать две такие ситуации. Они получили названия1) плоская деформация и 2) обобгценное плоское напряженное со­стояние.

Первая относится к деформированию цилиндрических телс достаточно большой высотой (размером по ζ), вторая ситуация —к цилиндрам с малой высотой (тонкие пластины).1. Плоская деформация. Деформация называется плоской, еслидве компоненты смещения зависят только от х, у, а третья компо­нента равна нулю:и = и (х ,у ), υ = υ ( χ ,γ ) , νν = 0.Рассмотрим уравнения. Из закона Гука следует, что( 1)σ 7 = υ V(σ + σνν' ).ΖXXПоследнее уравнение следует из условияТ- =οζ Е- υ (σ χχ + « О ] = 0 ·142Из закона Гука также следует, что напряжения σ χχ, а уу, а ху, σ_могут зависеть только от х, у. Замкнутая система уравнений прини­мает следующий вид:да,., д а „■+ Г = 0 ,дхдуд а ххдха,. = λдадудидхди„ ди+ 2и — ,дудх( 2)ди ди„ ди----- + 2μ — ,σ »·=Λ -----1дх дудхди ди<*« = μ -----1----ду дхСистема представляет собой пять уравнений относительно пятинеизвестных а хх, а уу, а ху, и, и .

Она называется основной. Кроме нее,в общую систему входят уравнения (1) и третье уравнение равнове­сиядσдада_ _— ^ + — - + — г. + р' = о .дхдудгПервые три члена равны нулю, поэтому Р, должно равняться ну­лю. Это условие, необходимое для реализации плоской деформации.Обратимся теперь к краевым условиям. Согласно формуле Ко­ши, они имеют вид:σ χ Λ + σ * Λ + σ , Λ = σ ,«’σ ,ν«Λ + σ , Λ + σ ,Λ = σ „>σ χηη χ + а угп у + σ ζζη ζ =σ ηζ·На верхнем основании цилиндра пх = пу - 0, п. = +1, иσ « = σ * = 0. σ η = σ ν = °> σ 3 (χ, у) = а пг.(3)Таким образом, никакой свободы выбора в условиях нет.

Дляподдержания плоской деформации касательные напряжения должны143отсутствовать, а нормальные напряжения должны быть такими, какэто диктуют равенства (1). На нижнем основании ситуация такая же.Теперь о боковой поверхности. Здесь п,= 0 иσ XXηх + σ ху ηу = σ п. σ ху ηX + σ ηу = σпуVVТретье условие запишем отдельно. Оно имеет видσ ηζ = 0 .Таким образом, на боковой поверхности касательные напряже­ния σ η_ должны отсутствовать, а напряжения σ ηχ и σ не должнызависеть от координаты ζ (рис.

8.1). Нетрудно также понять, что всеперечисленные выше условия являются также достаточными дляреализации плоской деформации.В каких случаях можно ожидать реализации указанных условий?В перечисленных требованиях высота цилиндра не фигурирует.В принципе она может быть любой.

Но тогда условия на распределениеσ„ должны быть выполнены точно. Если же высота достаточно вели­ка, т. е. много больше характерного размера сечения ζ = 0 , то об усло­вии (1) можно особо не заботиться. Действительно, согласно принци­пу Сен-Венана, детали распределения ег„ по сечению будут иметьзначение только в области порядка диаметра тела.

Поэтому вдали отторцов можно ожидать более точное выполнение условий плоскойдеформации (с точностью до одноосного растяжения или сжатия144вдоль оси Οζ). В качестве примеров можно привести задачи о доста­точно протяженной выработке, задачу о траншее и т. д. (рис. 8.2, 8.3).Рис. 8.2Рис. 8.32. Обобщенное плоское напряженное состояние.Рассмотрим другой крайний случай, когда высота цилиндра мно­го меньше характерного размера его основания (рис.

8.4). Пусть вы­сота цилиндра равна 2И и основаниям соответствуют плоскостиΖ = ±Η. В таком случае тело называется пластиной, высота 2/г назы­вается толщиной, а плоскость г = 0 — средней плоскостью. Пред­положим, что основания пластины от напряжения свободны, т. е.σ , = °- σ „ = 0 , σ η (χ, у,±1г) = 0.(4)Предположим также, что на боковой поверхности действуют нор­мальные напряжения, симметричные относительно средней плоско­сти. То же самое предположим и относительно объемных сил, т.

е.Гх(х ,у , + г) = Рх( х , у ,- г ) , Гу(х, у, + ζ) = Ру(х, у , - г ) .Таким образом, и геометрия тела, и условия нагружения относи­тельно средней плоскости являются симметричными. На этом осно145вании можно заключить, что точки средней плоскости в процесседеформирования ее не покидают, т. е.* < х ,у ,0 )« 0 .(5)Здесь не рассматриваются вопросы устойчивости подобного со­стояния. Ясно, что при сжимающих внешних нагрузках состояниеравновесия может потерять устойчивость и условие (5) нарушится.Исследование устойчивости — это отдельная задача.

Характеристики

Список файлов книги