1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 15
Текст из файла (страница 15)
выделим самый короткий список функций, как и при выводе принципа минимума потенциальной энергиисистемы «деформируемое тело - нагружающее устройство». Новыймомент будет связан с тем, что теперь учтем в уравнениях и динамические члены. Это значит, что в список независимых переменныхдобавляется время и, значит, наряду с краевыми условиями мыдолжны принять во внимание и начальные условия.Итак, пусть функционал зависит от трех компонент поля перемещений, которые в свою очередь зависят от координат и времени:и,. = г/Дх,, х2, х3,1) ■Как и прежде, через К обозначим кинетическую энергию телаа через Я — потенциальную энергию системы «деформируемое тело - внешние нагружающие устройство».
Функционал Я описан в§ 5.2. Теперь мы считаем, что все функции, фигурирующие в выражении для Я, могут зависеть от переменной I, т. е. Я = II(I). Пусть/, и ί, — некоторые исходные и конечные моменты времени.Образуем функционал(35)Рассмотрим условия его стационарности δ δ = 0 . Предварительно вычислим вариацию интеграла108(3 6 )Обратимся теперь к условию δ δ - 0 . Учитывая члены, которыепоявятся при варьировании слагаемого П, и динамический члениз (36), получим следующие уравнения Эйлера — Остроградского:(37)Это не что иное, как динамические уравнения Ламе, т.
е. уравнения движения в перемещениях. Здесь σ.. — это сокращенная запись частных производных потенциалади,дх3—-+ди, Λ1 ,дх2 .—по соответствующим аргументам. Краевые условия наи 5σ —прежние, но теперь они зависят от времени.Вся проблема заключается в начальных условиях. Система (37)относится к гиперболическому типу. Для нее корректной будет задача Коши, когда во всей области в начальный момент времени задаются смещения и в начальный же момент задаются скорости. Вариационный принцип δ δ - 0 диктует совсем другие условия.
Онисодержатся во внеинтегральном слагаемом (36). Видно, что одноусловие на и, относится к начальному моменту времени /,, а другое— к конечному времени 12. Это некорректные условия. Попытки найти вариационный принцип, в котором естественные условиябыли бы условиями Коши, успехом не увенчались.109Таким образом, принцип Гамильтона — Остроградского приводит к адекватным уравнениям и краевым условиям, но проблемуначальных условий он не решает. Несмотря на это, или, лучше сказать, благодаря тому что ему соответствуют адекватные уравнения,данный принцип находит широкое применение, причем не только втеории упругости, но и во многих других областях теоретическихисследований.
Более подробно о вариационных принципах можнопрочитать в [Д4— Д6].IЮГлава 6. ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА§ 6.1. Принцип и полуобратный метод Сен-ВенанаПостановка задач, методы и приемы их решения в теоретической(«чистой») и прикладной математике и механике довольно сильноразличаются между собой. Если в прикладных областях требоватьуровень строгости, принятый в теоретической математике, то решения большинства задач мы либо никогда не дождемся, либо получим слишком поздно. Основное требование к прикладным исследованиям состоит в том, чтобы задачи ставить так, чтобы, с однойстороны, они адекватно отражали реальную ситуацию, а с другойстороны, могли быть решены за приемлемое время и доступнымисредствами.
Немаловажным является и то обстоятельство, что решение должно быть достаточно обозримым.Это целое искусство. Тем не менее, здесь накоплен большойопыт, сформулированы более или менее общие правила. ПринципСен-Венана как раз и относится к одному из подобных правил. Егосущество можно изложить таким образом. Пусть некоторое тело Vпокоится на трех шарнирных опорах, снабженных датчиками усилий(рис.
6.1). Приложим к телу вертикальную силу Р. Датчики мгновенно отреагируют на это. Причем вертикальная составляющая реакциибудет в точности равняться величине Р. Формальная сторона получения такого результата тривиальна: сумма сил и их моментов, действующих на тело, находящееся в равновесии, всегда равна нулю.Неформальную же сторону можно обсудить. Во-первых, что значитмгновенность реакции? Известно, что скорость распространениялюбых возмущений всегда конечна (в упругих телах она имеет порядок километров в секунду). В квазистатических задачах изменение нагрузок происходит настолько медленно, что ограниченностью скоростей возмущений можно пренебречь.
Поэтому тот факт,что в статической теории скорость является бесконечной, являетсявполне приемлемым. Труднее воспринимается второй факт: то, чтоусилия на датчиках опоры имеют порядок величины Р и совершенно не зависят от размера тела. Нагрузка может быть ничтожной,например, 1 грамм, а тело иметь большие размеры, например, размер Земли. И тем не менее этот грамм в точности «просветится»через все тело, причем без всякого затухания.111Рис. 6.1Рассмотрим другую ситуацию. Приложим теперь пару сил:силу Р и на расстоянии I от нее противоположную силу -Р(рис.
6.2). Реакция опор также будет наблюдаться, хотя порядок еебудет другим: именно порядокР , где Ζ, — расстояния междуопорами. Это следует из условия на моменты. Об этой ситуацииможно сказать так: пара сил также «просвечивает» все тело, но теперь имеет место «затухание» в I/Ь раз.Рис. 6.2А что будет в третьей ситуации, когда мы приложим три силы, которые в результате дают нулевую силу и нулевой момент (рис.
6.3)?Здесь уже уравнения равновесия не предсказывают обязательнуюреакцию опор. Принцип Сен-Венана утверждает, что действие указанной системы сил будет сказываться только в области размеромпорядка /. Разумеется, конкретное распределение сил, указанное на112рис. 6.3, значения не имеет. Можно взять любое другое распределение, лишь бы результирующие сила и момент равнялись нулю. Результат сохраняется, когда рассматриваемые силы действуют на фонедругих, ранее приложенных сил.
В этом случае можно говорить окоррекции («смягчении») краевых условий задачи.Рис. 6.3В литературе принцип Сен-Венана формулируется таким образом:«Совокупность внешних сил, действующих на малой площадке поверхности тела, можно заменить другой совокупностью внешних сил,статически эквивалентной исходной» (Сен-Венан, 1855 г.). Совокупности сил называются статически эквивалентными, если они в суммедают одни и те же результирующую силу и момент. Через 30 летБуссинеск обобщил принцип Сен-Венана на объемные силы: «Уравновешенная система внешних сил, приложенная к упругому телу,когда все точки приложения сил этой системы лежат внутри даннойсферы, производят деформации, пренебрежимо малые на расстояниях от сферы, достаточно больших по сравнению с ее радиусом».Перейдем теперь к полуобратному методу Сен-Венана. Пустьнекоторая задача уже поставлена как математическая, т.е.
заданыуравнения, граничные условия и требуется найти решение. Полуобратный метод состоит в том, чтобы из дополнительных соображений определить класс функций, в котором следует искать решение. Практически это означает, что исходя из опыта и различныхинтуитивных соображений заранее определяются некоторые чертыразыскиваемого решения.113В дальнейшем решение задачи ищется только в этом более узкомклассе функций. Насколько удачно был выбран такой класс, можнобудет понять по окончательным результатам.§ 6.2.
Постановка задачи Сен-ВенанаРассмотрим теперь одну задачу, на которой удобно продемонстрировать эффективность принципа и полуобратного метода СенВенана. Пусть упругое тело имеет форму прямого цилиндра. Причем высота цилиндра много больше характерного размера его основания. В различных руководствах такие тела называются поразному: стержень, балка, призматическое тело, прямой брус, консоль. Мы остановимся на первом варианте названия.
Основания цилиндра будем называть торцами. Выберем систему координат так,как показано на рис. 6.4: ось Οζ направим параллельно образующей.Будем ее представлять горизонтальной. Сила тяжести не учитывается. Левый конец стержня закреплен (как именно — будет ясно издальнейшего), боковая поверхность от напряжений свободна. Направом торце действуют распределенные нормальные и касательные напряжения, т. е. при ζ = Н<га =<га (Х'У)> σ 9 = σ 9 (χ ,γ ), σ = = σ τ (χ,ν).(1)Вместе они дают результирующие силу и момент, приложенныек правому торцу. Их компоненты равныΡχ = \σ„ά5,Ρ>=\σ„ά5,8Ρζ = \ σ αά8,5Μ χ= \ γ σ αά8,Μ γ= - ^ χ σ αά8,8(2)Μ ζ = ^ χ σ ^ - γ σ α)ά8.8Здесь и ниже 8 — это торец стержня.Задача Сен-Венана ставится так: найти распределение напряжений, деформаций и смещений в стержне при следующих условиях:боковая поверхность стержня от напряжений свободна, левый торецстержня закреплен (г = 0), а к правому торцу (ζ ~ Η ) приложенысила и момент с заданными компонентами (2).114Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
