1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 14
Текст из файла (страница 14)
какуравнения. Другие шесть уравнений (тождества Сен-Венана, записанные через напряжения, или уравнения Бельтрами — Митчелла)99— задаются через вариационный принцип Кастильяно (как отмечалось из последних шести уравнений только три — независимые).Рассмотрим теперь граничные условия, которые следуют изпринципа Кастильяно. Используем справочную формулу (6), считаем, что уравнения (20) уже выполнены. Тогда получим&¥ -+ δ σ ν η2 + <5сг13лг3)(Я, —г/,°) +•5»+ (δ σ ηηι + δ σ 22η2 + δ σ 2}η2)(λ2 -ы °) ++ (δ σ π/Ί] + δ σ Ώη2 + δ σ 23η} )(Λ3 - г/3°)]ί/5 = 0.Следовательно, на4 = и ,° , Ъ = и а2, Лз=м3°.Таковы естественные краевые условия для функционала дополнительной работы. Тот факт, что стационарное значение функционала όΨ = 0 соответствует именно его минимальному значению,доказывается по той же схеме, что и в предыдущем параграфе.Теперь можно сформулировать вариационный принцип Кастильяно: из всех статически допустимых полей напряжений действительным будет то, которое доставляет минимум функционалудополнительной работы.§ 5.4.
Принцип РейснераИтак, мы приобрели определенный опыт построения функционалов и вывода соответствующих вариационных принципов. Теперьможно сделать следующий шаг — в общих чертах описать процедуру вывода любого вариационного принципа. Вначале поставимследующий вопрос. Как формулируется упругая задача на языкедифференциальных уравнений? Первое: задается список из N неизвестных функций; второе: задается замкнутая система уравнений,т. е. система, содержащая точно N уравнений. Запишем их символически в видеЦ[иг ..] = О, !> ,....] = О , . .
. = О.(21)Уже на этом этапе есть свобода выбора. Например, деформацииможно включить в список неизвестных, а можно и не вклю100чать. В этом случае везде вместо деформаций следует записать ихвыражение через смещения или напряжения. При этом число уравнений и неизвестных уменьшится на шесть.
Можно также рассматривать уравнения с динамическими членами или без них и т. д. Кромеуравнений должны быть заданы начальные и краевые условия. Отметим краевые условия только двух типов: на части границызаданысмещения и 0, на другой части границы 5а — напряжения σ„°:( 22)При этом 5и и 8 а = 5 . Случай, когда 5и или 5σ отсутствует, не исключается. Возможны также и другие типы условий.После формулировки замкнутой системы можно переходитьк постановке вариационной задачи.
Для этого из списков (21) и (22)выбираем уравнения и краевые условия, которые мы хотели бы«зашифровать» с помощью вариационного принципа. Оставшиесяуравнения и краевые условия оставляем в прежнем виде. Их объявляем дополнительными ограничениями на класс функций, в котором ищется стационарное значение функционала.
На этом этапетакже есть степени свободы для того или иного выбора.Два варианта решения указанных проблем были рассмотренывыше. Рассмотрим еще одну возможность. Сделаем первый выбор.Включим в список неизвестных три компоненты перемещенийм,, и2, и, и шесть компонент напряжений σ,,, σ 22, ег33, σ η , σ 13, σ 23,τ. е. положим N = 9 . Замкнутая система уравнений имеет вид:до), [ дсг12дх]дх2+ Х г =0,дсгп , δ σ η , д(723+х, ■-= 0,дх2дх3дх]0σ|3 , 6 σ 23дх.дх.,дх.101+ Х , == 0,(23)с'Л(сг ) ^ ди,3σηдЛ _ ди2дх, ’ 6 σ 22ЗАι---δ σ ι2дх2 ’ д а ъзЗАди, ди,ди3,9 — = —1 +* — 9да,3 дх3дх, дх,ЗА _ ди2д а 23дАЗх,ди3дх2Первые три уравнения — это уравнения равновесия в напряжениях,остальные шесть уравнений — это определяющие уравнения, разрешенные относительно деформаций. Слева стоят необходимыекомбинации напряжений, определяемые одной функцией — удельной дополнительной работой:АΛ(ση, σ 22, су,,, ст,2, су,,, су, , ) .Если Л — квадратичная форма, то последние шесть уравнений (23)— это закон Гука.
Очевидно, что уравнениями (23) охватываются иболее общие случаи.Теперь необходимо сделать второй выбор — решить, каким изуравнений мы будем формулировать через вариационный принцип,а какие оставим как есть. Иными словами, оставим как ограниченияна класс функций, в котором ищется стационарное значение функционала. Остановимся на крайнем варианте, т. е. попытаемся «зашифровать» вариационным принципом все девять уравнений системы (23). Следовательно, функционал должен зависеть от всехдевяти функций. При этом все они должны варьироваться независимо друг от друга.Итак, пустьС С[и,, и2, и3, σ,,, σ 22, σ 33, σ,2, σ ,3, σ 23] —(24)Для удобства приведем еще раз справочную формулу для вариациифункционала102δ\ν δ\ν δντάΥ,Эх, ’ Эх, Эх, у3Ψνν,1,δΨνν,2,δχ,Эх,δΨ,νν,3 ΛδννάΥ +Эх.з /(25)+ |( Ψ ιν>1η1+ Ψ ιν,2η2+ Ψ ^ , ) ^ 5 .Если δνν внутри объема V или границы 5 произвольна, то выражения в скобках должны равняться нулю.
Применим формулу(25) для функционала (24) и вариаций д щ ,8 и 2,5 и 2. Получим триуравнения:дРщЛ' +, -3^.2 , 3^,зЭх, Л = ° >Эх,Эх2ЭЕ2Д, ЭЕц2»,2 _|_ ЭЕ._»Эх,Эх2Эх,ЭЕ ,ЭЕ 2дР ,Эх,Эх,δχ." з ·1. I ___ ί ± 1 + ___ !± 1 _ р«3(26)- оЯсно, что нужно попытаться добиться их совпадения с первымитремя уравнениями (23). Из сравнения видно, что должно бытьРщ,\ = σ ΐ1>Рщ,2 = Р и 2Л ~~ σ πи т. д., следовательно,Эм,ди2Эм,·+ σ.Р - σηЭх,Эх,Эх,Эм,ГЭм, Эм, Л+ ег,1 + - ь -σ.^ Эх, Эх, ^д Эх,Эм, Эи, ^σ, , — !- + — - +’ν Эх, Эх, уЭм,^Эх, у^ ,м,^ , м,(27), м, I ..Далее, при варьировании шести функций σ 1} получится шесть соответствующих уравнений видаЭЕдР„δσ„ : — ^ у.
σ1'-2 4- д Г а ^ — 3 ^ _ 0Эх,Эсг,,11 Эх,Эх,103(2 8 )Попытаемся добиться их совпадения с последними шестьюуравнениями (23). Из (27) следует, чтодР__________ —ди._______ !_ _ι_Больше производных по координатам в уравнениях (23) нет. Поэтому первые три слагаемые в (28) должны равняться нулю, т. е.функция Р от производных напряжений зависеть не должна. Дляпоявления слагаемого θΛ/<3σπ достаточно в функцию Р добавитьΛ(σ,;) в качестве слагаемого. Таким образом, (28) совпадает с первым уравнением (23), еслиАналогично проверяются и остальные уравнения (23). Таким образом, мы приходим к следующему функционалу:\/ди, ди,— - 4-— - +VVдх2 дх,(29)-Л(сг;). ) - Х 1м1- Х 2м2-Х,и,]</И.Из условия его стационарности следуют все уравнения (23).
Далее в выражении (25) есть еще поверхностный интеграл. Вычислимего для функционала (29):(30)где через σ„ обозначены выражения в скобках. Они имеют смыслкомпонент вектора напряжений на площадке, касательной к поверхности границы 5 . Здесь мы становимся перед необходимостьютретьего выбора. Мы должны обратиться к краевым условиям и ре104шить, будем ли мы какие-то краевые условия задавать в виде ограничений на класс искомых функций или оба краевых условия попытаемся «зашифровать» вариационным принципом.
Вначале выберемвторую возможность. Для этого в функционал (29) необходимо добавить определенные поверхностные интегралы. Их структура диктуется равенством (30). Для компенсации первого слагаемого необходимо добавить интегралгде σ “ — заданные компоненты граничных напряжений. Его вариация равнаи решает проблему граничных условий на Ξσ .Обратимся теперь к условиям на перемещения. Рассмотрим последний интеграл в сумме (30).
Проблему можно решить, если добавить к функционалу слагаемое^ „ = - \σ ιι^и^-и ^ ά Ξ ,где и. — заданные на границе 5() компоненты смещения. Действительно,(31)Последний интеграл взаимно уничтожается с последним интегралом (30). Остается первый интеграл в (31). Так как на вариации σ ηникаких ограничений нет, то из стационарности последует условие:и1= м(° на 5и. Что и требовалось.105П о д в е д е м итог: у с л о в и е с т а ц и о н а р н о с т и ф у н к ц и о н а л аравносильно уравнениям теории упругости относительно напряжений и смещений, а также краевым условиям смешанной задачи (вариационный принцип Рейсснера).Для того чтобы продемонстрировать роль ограничений на классискомых функций, рассмотрим небольшую модификацию принципаРейсснера.
Будем искать стационарное значение функционала в классе кинематически допустимых полей перемещений. Проще говоря,потребуем, чтобы все рассматриваемые поля перемещений заведомоудовлетворяли краевым условиям на перемещения. Это значит, чтона части поверхностивариации £>м, = 0, ди2 = 0, ди^ = 0 . Поэтому вместо (30) следует записать«σа вместо (32) — следующий функционал:Λ (συ) - Χ , α ] (ΐ ν - \ σ ^ , ά Ξ .Здесь функционал «шифрует» собой те же упругие уравнения икраевые условия для напряжений.
Краевые условия на перемещенияконструкцией функционала не определяются и задаются отдельно.106§ 5 .5 . П о л н ы й ф у н к ц и о н а лРассмотрим полную систему упругих уравнений. «Полную»в том смысле, что в замкнутую систему включим все переменные,которые фигурировали при построении системы: три компонентывектора перемещений и,, шесть компонент тензора напряжений σ η ,диагональные компоненты тензора деформаций и удвоенные недиагональные компоненты тензора — сдвиги γ χ2 = 2εη , у13 = 2ε, 3,у,3 - 2ε2}. Всего 15 неизвестных, которые удовлетворяют следующим 15 уравнениям:да^ + х ,= о „дхдм,дх,ε Ί-,ди2"дх,ди, ди,γ.·, = — *- + ——дх, дх._ диъдх.ди,, ди,у,, = — 1 + — 1дх,'3 дх,ОХ,ЙХ,(33)(Шд\Удеид\У- а ,= σ,д£22дХУд\У•== σ..дУ\12дУ\13¢^23где IV = Щ еи, ε 22, ε }}, γ η , γ η, γ 23) — упругий потенциал.Краевые условия прежние:=а , -и, = и° на 5 ,σ^η2 = сг“ на Ξσ .Образуем функционалди2дх2Уσ .2 -У3,дм, дм3дх3 дх, у~ I σ ;η, К -^ ~107(34)Функционал зависит от 15 заранее не связанных между собойфункций.
При их варьировании из условия δ Ο -Ο последуют15 уравнений и краевые условия. Пользуясь приведенной вышесправочной формулой, нетрудно убедиться в том, что полученныеуравнения совпадают с уравнениями (33), а краевые условия —с условиями (34).§ 5.6. Принцип Г амил ьтона —- ОстроградскогоВернемся к общей процедуре вывода вариационных принципов,описанной в § 5.4. В качестве неизвестных функций оставим толькокомпоненты смещений, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
