1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 16
Текст из файла (страница 16)
6.4Сразу ясно, что данная задача неопределенна, т. е. допускаетбесконечно много решений. Теорема единственности требует, чтобы на правом торце были заданы не только интегралы (2), а детальные распределения напряжений (1). Точно так же на левом торцедолжны быть заданы либо распределения трех компонент смещений (например, нулевых), либо какие-то другие три условия, характеризующие заделку. Как поступить в такой ситуации? Классическое решение этой проблемы состоит в следующем.
Исходная неопределенность задачи устраняется за счет выбора наиболее простых функций, которые позволяют точно удовлетворить всем уравнениям, точно удовлетворить условиям на боковой поверхности и винтегральном смысле удовлетворить условиям на торцах. Таковапрограмма дальнейших действий. Перейдем к ее реализации.Задача линейная. Поэтому ее общее решение можно представитькак сумму решений шести задач (2).
В каждой задаче один из интегралов отличен от нуля, а все остальные полагаем равными нулю. Ясно,что если задача решена для Γ ν ^=0, то решение задачи для* 0 получается заменой обозначений. Точно так же, решив задачу дляМ х ^ 0, можно сразу выписать решение и для М г Ф 0 . Таким образом, число задач сократилось до четырех. Рассмотрим три из них.Задачу Сен-Венана удобнее решать в напряжениях, т. е. решать триуравнения равновесия и шесть уравнений Бельтрами — Митчелла.§ 6.3.
Задача об одноосном растяжении стержня (задача Клебша)ПустьГ: = Р ф 0,Рг = Г = 0,115Мх = М г = М, = 0 .(3)Б у д е м и ск а т ь р е ш е н и е в с л е д у ю щ е м к л а с с е ф у н к ц и й :(4 )Это самый простой вариант. Тем не менее уравнения равновесия иБельтрами — Митчелла выполняются.
Условия на боковой поверхности и интегральные условия на торцах (3) также выполняются(начало координат помещено в центр тяжести торца). Рассмотримперемещения.Из закона Гука легко получить следующие формулы:Е Ξ(5)\ν = ——ζ - Ω , χ + Ω у-мт°,Е 5где и \ Vй, νν°, ΩΛ, Ω , Ω. — постоянные интегрирования, имеющиеясный механический смысл.Обратимся теперь к условиям на торцах. Решение (5) диктуетследующие условия: на обоих торцах заданы только напряжения,причем касательные напряжения отсутствуют, а нормальное напряжение распределено по торцам равномерно.
Если это не так, либораспределение напряжений неизвестно (например, в действительности заданы кинематические условия устройства нагружения), тосогласно принципу Сен-Венана полученное решение является приемлемым вдали от торцов.Обратимся теперь к решению (5) при 2 = 0 . Примем, что центртяжести левого торца неподвижен. Этим исключается жесткий перенос стержня:Для исключения жесткого вращения достаточно принять, чтоокрестность центра тяжести сечения поворота не испытывает:Ω χ = Ω ν = Ω. = 0 .В выбранном классе решений больше никаких других условий ставить нельзя. Если в действительности левый торец стержня жесткозаделан, т.
е. при ζ = 0 все перемещения отсутствуют (и = ν = νν = 0 ) ,116то полученное решение в окрестности торца не годится, но при удалении от него решение можно считать вполне приемлемым.Указанная ситуация будет иметь место также и для изгиба и кручения стержня.§ 6.4. Изгиб стержня моментом, или парой силРассмотрим следующую задачу — изгиб стержня моментом, илиизгиб парой сил.
Пусть.Г = Ρν = Γζ = 0,М х = М, =0,Му = м * о .Из условия5видно, что по крайней мере напряжение <т_ должно быть отличнымот нуля и, кроме того, оно не может быть постоянным. Самая простая функция, отличная от постоянной, — это линейная функция.Попробуем искать решение в следующем классе функций:где а = Ь - сопя!. Легко убедиться, что данный выбор является удачным. Уравнения равновесия и Бельграми — Митчелла удовлетворяются тождественно. Также удовлетворяются и краевые условия набоковой поверхности.
Произвола в выборе постоянных а и Ь достаточно, чтобы удовлетворить условиям на торцах. Действительно,( 6)где, как обычно, Лхх^ ху^ ху — осевые и центробежный моментыинерции сечения. Из (6) сразу следует, чтоа =-117По известным напряжениям легко вычислить деформации. Используя процедуру, описанную в главе 2, нетрудно найти поле перемещений:νν = — (ах + Ьу)г.Из последнего равенства видно, что в процессе изгиба плоские сечения стержня (ζ = сол81) переходят в плоские (говорят так: депланации сечений нет).§ 6.5.
Кручение стержней. Жесткость на кручениеСоставляющая момента М , называется крутящим моментом.Положим Μ , = Μ Ф 0 , а все остальные компоненты сил и моментов — равными нулю:( 7)Так как5то ясно, что хотя бы одна из компонент напряжений σ_χ , σ_ должна быть отличной от нуля. С другой стороны, ясно также, что ниодна из компонент не имеет преимущества перед другой. Поэтомуиз соображений симметрии можно заключить, что необходимо принять отличными от нуля обе компоненты.Итак, будем искать решение в следующем классе функций:ф 0,= 0,сгИз уравнений равновесия заключаем, чтодгδζдх118ду*0.(9 )Из первых двух уравнении следует, чтоσ χζ = σ χζ(χ, у),а уг = а уг(х, у ).(1 0 )Из последнего уравнения видно, что существует такая функцияФ(х, у ) , чтоЗдесь постоянная 9 введена для удобства.Обратимся теперь к уравнениям Бельтрами — МитчеллаВ классе функций (9) имеемПодстановка (11) в (12) с учетом (13) сразу дает: АФ = сопз1.Опыт решения многих задач показывает, что никогда не следуетпренебрегать произволом в выборе констант.
Он всегда может пригодиться. Поэтому положим(14)ΔΦ = сгде с — постоянная, возможно, отличная от нуля.Обратимся теперь к краевым условиям на боковой поверхностистержня. Боковая поверхность от напряжений свободна, поэтому,используя формулу Коши, получим:(15)На боковой поверхности п. = 0 . Поэтому из (9) сразу следует,что первые два краевых условия (15) удовлетворяются тождественно. Рассмотрим третье условие.
Сделаем сечение стержня плоскостью Σ = сопз! (рис. 6.5).1 19т = {- κίηα, сока}П={С О К О , 5 Ϊη α }XРис. 6.5Ограничимся случаем, когда сечение представляет собой односвязную область. Обозначим как# угол между внешней к контурунормалью и осью Ох, как Ь — контур, ограничивающий область, ак а к /— натуральный параметр дуги контура: х = х{1), у = у(1).Направление отсчета выберем так, чтобы увеличению 1 соответствовал переход от точки А к точке В, когда область остается слева(см. рис. 6.5).
Тогдаάχсока =К1п а - (16)~άΙГениальность обозначений Лейбница заключается в частности втом, что неформально («для себя») производные можно рассматривать как частные от деления. В рассматриваемом случаеВСАС(16)ВС = 0у,АС = -άχ,ΑΒ = άΙи равенства (16) можно интерпретировать как решение треугольника АВС. (Это удобно с мнемонической точки зрения.)Подстановка (11), (16) в последнее условие (15) даетСледовательно, на контуре Ь имеем Ф = сопк!. Для односвязнойобласти значение постоянной можно положить равной нулю [3]:Ф (х(/),у(/)) = 0.(17)120Перейдем теперь к определению перемещений. В процедуре,описанной в главе 2, необходимо вначале определить по напряжениям — деформации, по деформациям — повороты и только затемпо деформациям и поворотам — смещения.Из закона Гука следует, что= *« =δε..(18)δε= 0,:0.δζδζВ задаче о кручении особую роль играет компонента поворота со_.
Поэтому начнем с нее. По определению:2 у δχду ^Из равенств ( 18) следует, чтод£„дхдсо2дуд£*удуд£х, .ду+11в»δωζдхдх9δω= ---- ΔΦ.δζ2На левом торце ζ = 0 положим со. = 0 . Тогда9ζ ·Δ Ф = --- с -ζ .22Произволом в константе с естественно распорядиться так: положить с - - 2 . Тогда получимωζ = 9 ·ζ , ΔΦ = - 2 .(19)Таким образом, проблема кручения свелась к решению уравнения Пуассона при условии (17) на границе. Функция Ф(х, у ) назысо, =9вается функцией кручения Прандтля, постоянная 9 = ω ,Ιζ -— относительным углом закручивания.Выше мы удовлетворили только краевым условиям на боковойповерхности.
Займемся теперь интегральными краевыми условиями121на торцах. Условий шесть. Выполнение трех из них очевидно. Таккак сг = 0 , то5Проверим еще два условияРг = | σ χ:άΞ = 3 ■μ ^ ^ - ά Ξ - 1 Φ$ϊη αάΐ = - φ | άχ = 0 .5$ίАЗдесь мы воспользовались формулой Грина и тем фактом, что наконтуре Г значение Ф = сопз1. В последнем равенстве равны нулюоба сомножителя.Равенство Р = 0 проверяется аналогично.
Перейдем теперь к последнему условию — крутящему моменту М _:2 μ З ^ Φ(χ, у)с/5 - μ 3 ^дхду ,Применяя формулу Грина к последнему интегралу, получимд(хФ) ( д(уФ )"ά§,дхφ» ;φ | ί | (χάν - γάχ) = 0 .Таким образом,(20 )Величина Ω называется жесткостью на кручение. Легко заметить, что величина ϋ / μ от свойств стержня не зависит (лишь быон был линейно упругим), а зависит только от геометрии его сечения. Таким образом, крутящий момент пропорционален относительному углу закручивания, модулю сдвига материала и определенной характеристике поперечного сечения стержня (называетсягеометрической характеристикой жесткости при кручении).122§ 6.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
