1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Ниже предпо­лагается, что устойчивость есть.Описанное состояние называется обобщенным плоским напря­женным состоянием (Файлон).При его исследовании мы не будем рассматривать распределе­ние напряжений в пластине, а ограничимся описанием только ихсредних значений. Если /( х , у, ζ) — поле некоторой величины / ,то под средним будем понимать~1 и1 0 , у) = ( / О , У, г)) = — [ /( х , у, ζ)ά ζ.2п -И·>,Следовательно, осреднение производится по высоте пластины.Уравнения теории упругости линейны, поэтому проблемы с ихосреднением не возникают. Начнем с уравнений равновесия5 σ ν,.(χ, у, ζ) | д а ху(х, у, ζ) | д а л:(х, у, ζ)■+ Г = 0 ,дхδζδζ9сг (х, у, ζ) δ σ (х, у, ζ) 3 σ ν,(χ, у, ζ)■+ +К = 0 ,дхδζδζдо-'Дх, у, ζ) | дстуг(х, у, ζ) | д а :_(х, у, ζ)дхδζδζТак как1 ίг дοσа= σ «(·*> У.

Λ) - σ χζ(χ, у, - И) = 0 ,δζ1 гд а— I“Г 21* =2η δζΛ) - σ (х, у, —/г) = 0 ,то осреднение первых двух уравнений дает146(6 )Займемся теперь последним уравнением. В силу (4) имеемσ χ:(χ, у,±Н ) = 0.Поэтому все производные по х, у при фиксированных г = ±И бу­дут равны нулю.

В частности,д а х:{х, у, ± И) 0д а г (х, у, ± К)дх’дуПоэтому из последнего уравнения следует, чтоΰζНа этом основании примем, что&~(х, У, ζ) = 0.(7 )Конечно, любому математику ясно, что из того, что некотораяфункция и первая ее производная на концах малого отрезка равнынулю, не следует, что и сама функция тождественно равна нулю навсем отрезке. Но в рамках логики прикладной математики и меха­ники подобное заключение является вполне приемлемым. Вначалеоно может быть принято как рабочая гипотеза. Если выясняется,что оно не приводит к противоречиям и — более того — даетвполне приемлемые результаты, то оно может быть введено как не­который постулат соответствующей теории.

В плоской теорииупругости мы имеем именно такую ситуацию.Посмотрим, как можно воспользоваться условием (7). Запишемэто условие через деформацииди + до да/чдхдудг уЛ( диди''λ + 2 μ \удxду)Отсюдади>дг147Подставим последнее равенство в закон Гукади δ υ дм_ диσ = λ -----1------1------ + 2Μ~ζ~>δχδχ δγ δζди δ υ дм■■λ -----1------1------ + 2 μ ^ Τ 'δγν δχ δγ δζ{ ди δ υ 'σ χν =ИδγδχЗатем сделаем операцию осреднения. В результате получим(σ«) = Х( σ >*) = Χд(и ) , д{*>)дхδγ2μд (и )2μк дхду ;дхду(8)г д(и) | β (υ)ΛЫ = //δγдхгде2μ-■λ.X =λ, + 2μТаким образом, мы получили замкнутую систему пяти уравне­ний (6), (8) относительно следующих пяти неизвестных:(σ «)> (σ„)> К · ) ,(м ),( о ).Обратимся теперь к краевым условиям на боковой поверхностиσ ,νΟ> Г, Ζ)·ΠΛ+ σ Λν · ην - σ ηχ,(9)СГТретье условие (так как на боковой поверхности σ χζ - 0 , σ γζ = 0 ,п.

= 0) удовлетворяется тождественно. Переходя в (9) к осредненным величинам, получим148(σ » ) · η*+ (σ« ) ' η»= (σ« )·/\\ σ .ϊ.ν/ ■ηχ+\\ а уу)/' Пу = \СГпу}\ .(1 0 )Таким образом, система (6), (8) и краевые условия (10) полно­стью совпали с уравнениями и краевыми условиями для плоскойдеформации. Отличия только в смысле искомых функций и упругихпостоянных Я и Я*.

Поэтому ниже достаточно будет рассмотретьтолько плоскую деформацию. На обобщенное плоское нагруженноесостояние все результаты переносятся путем замены обозначений.§ 8.2. Функция напряжений, или функция ЭриИтак, математическая модель плоского упругого деформирова­ния свелась к решению следующих пяти уравнений:д^а ху... да.^-+ -да... д а ху” += 0,дхдуа. = я(—диа. = я(—диσ ,ν· =М^дхдхду]ду)+ — + 2μду■ —0,дидхзИду+ — + 2μ1^с!х ду ;дуди д\>-----1---ду дхОбъемные силы полагаем равными нулю. Плоская задача реша­ется в напряжениях. Выше было показано, что в общей ситуациитрехмерного деформирования гидростатическое сжатие являетсяфункцией гармонической, т. е.Δ(σ χχ + сгуу + σ _ ) = 0.В случае плоской деформацииσ * = ^ (σ „ + σ„ν),в случае обобщенного плоского напряженного состояния, а_ - 0 .149В обоих случаях имеемΔ(σ ,, + σ ,ν) = °·(И )Добавим это уравнение к двум уравнениям равновесия. В ре­зультате получим задачу в напряжениях.Механический смысл уравнения (11) будет более ясен, еслипривести его вывод.

Вспомним определение линейных деформаций:диЕхх ~ т - > Еудхδν1 диду е*у = 2 кдуδνΛдх уСлева стоят три переменные, справа — две. Значит, должно бытьодно условие, связывающее между собой ε χχ, еуу, еху. Очевидно, что32ί νа 2*....э 2*„дхдуду2дх2^Это есть не что иное, как условие совместности деформаций, т. е.тождество Сен-Венана для плоского случая. Пользуясь законом Гука,можно записать условие совместности деформаций через напряже­ния.

В случае плоской деформации= υ (σ χχ + σ νν).υ (σ γ>+ σ .) ] = - [ ( ! - ο1)σ χχ - ( ^ + υ2)σ νν],- [ ( ί - υ 2)σ π - ( υ + υ 2)σ χχ],\ +υε... = ------σ„Подстановка в (12) даетд2а .Ί ^^ι α - υ )σ · · ~ υ σ ·’ί + ί1(' - υ>σ·οσλ.(13)Упростим запись условия совместности (8), (13), пользуясь уравне­ниями равновесия150да,до~„ 5 σ ».νЭх ’ Эх5 σ ,ν■ ду(14)дхду32σ„32σ νЭх2Эу2Из (14),(13)следует, чтоΔ(σ„ + σ „ ) = 0.(15)Таким образом, данное уравнение — условие совместности де­формаций, записанное через напряжение и упрощенное с использо­ванием уравнений равновесия. Как уже отмечалось, в этом и состо­ит смысл уравнения Бельтрами — Митчелла.В случае обобщенного плоского напряженного состояния а_ = 0и условие совместности в напряжениях приобретает вид2(1 + ь>)υσ ” )+ Έ ? {σ ·υ σ ).XX У(16)Из (14), (16) следует прежнее уравнение (15).

Таким образом,плоская задача свелась к решению следующей системы уравнений:д а „ да.да., да,.= 0,■+ = 0,ЭхдуЭхду(17)Μ σ χχ + а уу) = 0.Нетрудно подобрать представление напряжений, которое обратитпервые два уравнения в тождества. Действительно, пусть А(х, у) —некоторая функция иЭА__ЭАа .. = ду ’ "ЭхТогда первое уравнение будет тождественно удовлетворено. Анало­гично представлениедБдВ(х, у)=■ду'обращает в тождество второе уравнение (17).151И, наконец, из условиядА_дВдх дуА _дУ_ β _<?νдудхполучаем окончательный результатд2У_ д2У_ δ2ν^ Χχ — Й . 2 ’ ® У У — Й 2 ’ ® *У —дудхдхду »где функция V = У(х, у) называется функцией Эри, или функциейнапряжений.Из определения следует, чтосгX X + σ у у = АУ1*♦♦и, значит,ΔΔΓ = 0 .Таким образом, система уравнений плоской теории упругостисвелась к одному уравнению относительно функции Эри, а именнок бигармоническому уравнению.

Замечательная особенность этогоуравнения состоит в том, что в плоском случае его общее решениеможно представить в замкнутой и очень изящной форме. Решениедается формулой Гурса. В различных руководствах даются различ­ные выводы этой формулы. Мы остановимся на выводе, которыйпредставляется наиболее ясным и который восходит к оригиналь­ной работе Гурса [5, сноска на с. 109]. Вначале приведем формулы,упрощающие выкладки плоской теории.§ 8.3.

Некоторые вспомогательные формулыI**♦Пусть ζ = х + /у и/ ( ζ ) = и(х, у) + ϊν(χ, у).(18)Обычно последняя запись трактуется весьма широко. Считаетсятак: раз аргумент г = х + 1у задан, значит, заданы значения х и у.Поэтому по ним можно образовать любые функции и(х, у), ν(χ, у)и в результате получить функцию (18). Например,/ ( ζ ) = ζ; / ( х + /у) = х - /у .Для наших целей класс функций (18) удобнее описать подругому.152♦Что такое функция от некоторого аргумента? Функция — это за­данная последовательность операций над аргументом, результатвыполнения которых и называется значением функции.

Предполо­жим, что из перечня допустимых операций исключается операциявзятия сопряжения. Такие функции назовем функциями, не содер­жащими операцию сопряжения. Например,£(Ζ) = Ζ2 + Ζ,£(Ζ) = Ζ2 +Ζ.Ясно, что исключение операции сопряжения равносильно ис­ключению операций Κοζ, / т г и любых их комбинаций.

Фигураль­но выражаясь, можно сказать так: функции рассматриваемого типа«работают» со своим аргументом ζ «целиком», не расщепляя егона отдельные части Ке ζ и .]тг.Ничто не мешает в качестве функций, не содержащих операциюсопряжения, рассматривать функции двух аргументов. Например,к этому классу принадлежит функция§ (ζ ], ζ 2) = ζι +Ζ2.Очевидно, что§(ζ, г) = 2 х - 2 К е ζ.Теперь также очевидно, что нам вообще нет необходимости ра­ботать с функциями типа (18).

Можно работать только с функциями«не содержащими операцию сопряжения». Ниже, если не оговари­вается противное, будем предполагать, что функции относятсяименно к этому классу. Функции же класса (18) охватываются те­перь функцией, «не содержащей операцию сопряжения», но уже отдвух независимых аргументов:§(ζ, ζ) = и(х, у ) + ίν(χ, у ) .Достаточно просто изложить некоторые свойства операции со­пряжения.

Подсчитаем производные функции § по ζ и ζ :( ζ +ζ ζ - ζν 2 ’ гг= - Κ + ν ν) + - ( Λ - Μ ν),1533 §(ζ, ζ)1Ν,ί ,Здесь и ниже индексами обозначаются соответствующие производ­ные по т и у . Видно, что8§(ζ,ζ)= 0,δζ(19)еслиди _ 5 ν ди _ δν( 20 )дх д у ' дудхОбратное тоже верно: из (20) следует (19). Условия (20) — этоусловия Коши — Римана. Они могут быть получены также из усло­вия аналитичности функции / ( ζ ) , фигурирующей в равенстве (18)(изначально для / ( ζ ) допускались операции взятия сопряжения).Условие аналитичности функции / ( ζ ) эквивалентно требованиютого, чтобы / ( ζ ) относилась к функциям, не содержащим опера­цию сопряжения.

(Везде предполагается, что функции Κ ε /( ζ ) и,/»?/(ζ) являются достаточно гладкими.) Такая формулировка поз­воляет получить одно полезное следствие. Введем функциюΚ ζ ,ζ ) = § (ζ ,ζ ) = и( ζ + ζ ζ-ζ^2/-IVζ+ ζζ-ζ2/Вычислим ее производные:δΗ(ζ, ζ) 14 ί,~ ~ ίζ = 2 * ~ ')" 2 ν'δΗ(ζ, ζ)“ Κ + ν,) + ^ Κ •V,).δζЕсли имеют место условия (20), тоθΛ(ζ,ζ) _ δ § (ζ,ζ)= 0.θζ&Таким образом, функция, сопряженная к аналитической функ­ции / ( ζ ) , т. е. / ( ζ ) , сводится к функции к ( г ) , где к относитсяк классу функций, не содержащих операцию сопряжения:1541/ О ) = Α(ζ).Приведем еще некоторые формулы, которые потребуются в даль­нейшем.

Характеристики

Список файлов книги