1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если область многосвязна или бесконечна, тофункции φ(ζ) и ψ(ζ) могут иметь особенности и быть неоднозначнымда. Однако характер особенности и многозначности, еслитак можно выразиться, строго регламентирован и известен заранее.Поэтому, подставляя соответствующие представления φ(ζ) и ψ(ζ)из формул (50), (56), задачу можно свести к поиску голоморфныхфункций по заданным краевым условиям. Все детали данных постановок можно найти в монографии [5].§ 8.12. О независимости напряженного состоянияот упругих постоянных — теорема Леви — МитчеллаОбратимся к первой основной краевой задаче для упругого тела.Возьмем условие в форме (61) (для формы (67) результаты будуттакими же).
В этом краевом условии не фигурирует ни одной упругой постоянной. Следовательно, если в конечном односвязном телена всей границе заданы напряжения, то распределение напряженийвнутри тела от упругих постоянных тела зависеть не будет. Этозначит, что если исследовать распределение напряжений для одного179какого-то тела, например, изготовленного из фогоупругого материала, то результаты можно перенести на любые другие тела, имеющие ту же форму и тот же характер нагружения. Данное заключениевесьма нетривиально и имеет большое практическое значение.В случае многосвязных тел ситуация сложнее. Обратимся к формулам (50).
В эти формулы входит упругая постоянная χ . ЕслиХ к = 0 , ¥к = 0 , то члены с постоянной χ зануляются. Поэтомув случаях, когда все внутренние отверстия от напряжений свободны,распределение напряжений от упругих постоянных не зависит. Еслиже хотя бы один контур нагружен, то распределение напряжений отсвойств материала становится зависимым.Сформулированные выше утверждения и составляют содержание теоремы Леви — Митчелла.Г лава 9.
М ЕТОДЫ РЕШ ЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ§ 9Л. Метод конформных отображенийМетод конформных отображений — это не что иное, как заменанезависимой комплексной переменной ζ на другую комплекснуюпеременную ζ :ζ = ω( ζ ) .Пусть 5 — область, занятая телом в плоскости ζ , а Σ -— соответствующая область в плоскости ζ . Будем считать, что функцияω{ζ ) является аналитической, а отображение 6' на Σ — взаимнооднозначным (ω \ ζ ) * 0 ) . Ограничимся случаем, когда каждая изобластей односвязна и ограничена контуром, представляющим собой непрерывную линию без самопересечений с непрерывно изменяющейся кривизной.
Кроме того, предполагается, что координатыточек контура как функции длины дуги имеют непрерывные третьипроизводные.В целом относительно подобных ограничений можно сказать, чтов настоящем курсе мы рассматриваем наиболее простые ситуации,когда все функции, описывающие процесс деформирования, являются достаточно гладкими. Случаи, когда гладкость нарушается (естьугловые точки на гранДйе, разрывы в краевых условиях и т. д.), представляют интерес и рассматриваются в специальных руководствах.Для определенности будем считать, что область Σ представляетсобой круг радиусом К . Центр круга — в начале координат.Следуя [5], функции φ(ζ) и ψ(ζ) переобозначим как φχ(ζ) иψλ( ζ ) .
Обозначения φ и ψ будем использовать для следующихфункций:φι(ζ) = φ](ω(ζ)) = φ(ζ),ψι(ζ) = ψ{(ω(ζ)) = ψ(ζ).( 1)Отсюдаφ]:(ω(ζ))·ω'ζ =φί(ζ),(2 )181Заменим в формулах (60) главы 8 φ и ψ на φχ и ψ ] и воспользуемся (1), (2). Кроме того, перейдем к пределу ζ -> ? и, значит,ζ —>σ . Через σ обозначен аффикс граничной точки на контуре Σ .(Обозначения ί и σ сложились исторически [5] и, конечно, никакого отношения ко времени и напряжениям не имеют.)В результате получим<Р(°) + =7т= ^'(сг) + ψ(σ ) = />ω(σ)(3 )(4 )Таким образом, при переходе к новой переменной краевые условия стали сложнее, но конфигурация границы — проще.
В целомновая задача является более простой, чем исходная.§ 9.2. Метод степенных рядовОбщая идея метода сводится к следующему. Комплексные потенциалы ищутся в виде рядов по степеням аргумента ζ , если задача решается в плоскости ζ , либо по степеням аргумента ζ , еслизаранее сделано конформное преобразование ζ = ω ( ζ ) и задача решается в плоскости ζ .
На этом этапе учитываются условия типаφ{0) = 0 , данные об отсутствии или наличии особенностей того илииного вида и др.Ряды подставляются в граничные условия и значение аргументаустремляется к граничной точке. Правая часть граничного условия(т. е. функция, заданная только на границе) разлагается в ряд по аргументу, который характеризует граничную кривую.Если задача решается в напряжениях, то принимается во внимание тот факт, что равнодействующие граничных сил и моментовдолжны равняться нулю. Далее приравниваются коэффициенты приодинаковых степенях аргумента.
В результате задача сводится к решению алгебраической системы уравнений.Задача поставлена корректно, поэтому есть уверенность, что алгебраическая система будет иметь решение, причем единственное. Еслипостроенные ряды сходятся, то задачу можно считать решенной.182Рассмотрим пример [5]. Пусть в плоскости ζ область, занятаятелом, представляет собой круг радиусом К . Начало координат поместим в центр круга. Остановимся на первой основной кривой задаче, когда на границе ζ - Ксхρ(ί3) заданы напряжения Х п, У .Функции φ(ζ) , ψ(ζ) в круге голоморфны.
Поэтому отрицательныестепени в рядах необходимо отбросить. Кроме того, у функции φотбросим свободный член, полагая, что ¢7(0) = 0 . Таким образом,имеемасооφ(ζ) = ^ акг к, ψ{ζ) = ^ а ' кг к ,1О0000^ =у7 = ^ а кг к .1ОПри ζ —> КехрЦЗ)осζ φ —> ' ^ к а кКк ехр[-(& - 2)/<9].1Краевое условие выберем в формеэ/ (3 )= у ; (,3)+1/2 ( 5 ) = £ /? { (* „) с /.9оРавнодействующая сил равна нулю:2π\ ( χ „+ ϊυ „)3 3= ο .оСледовательно,/(0 ) = /( 2 ^ ) .Момент сил также должен быть равен нулю:2π| ( - / δίη 3 + / 2οοδ^)ί/5 = 0 .(5)Считаем, что / и / , разлагаются в ряды Фурье:/ + / / 2 = χ ν Μ-183(6)гдеζπА =2π\П&)е99 9 .(7 )Так как е>кЭ={е‘9)к, то ряд Фурье (6) в комплексной плоскостиможно рассматривать как ряд степенной.
Подставим полученныевыражения в формулуφ{ζ) + ζ φ \ ζ ) + ψ(ζ) = /и перейдем к пределу ζ —» /?схр(/ 9 ) . Получим[а,Яе‘9 + а2Я2е2Ш+а,Я3еш +...] ++ [а,Яе‘9 + 2а2К2 + За,К3е ‘9 + 4Б4Яле 219 +...] ++ [а'0 +а;Я2еч9Я е 19 + а'гЯ2е ш + а[Я3е 319 +...] == [...+ А_ъе~ш + А_ге ъ9 + А_хе >9+ Д, + А,е'3 + А2е2'9 + А}еш...].Отсюда для коэффициентов при одинаковых степенях е'9 :е° :2 а2Я2 + а: =А0,е'я : а,?? + а^Я —Ах,еш :а2Я2 =А2,е3'9 :а3Я3 = А3,...е~‘9 : За,Я3 + Яа[ = Ал ,е 2'9 :4а4ЯА+ Я 2а ’2 =А_2,е '319 :5а}Я3 + Я3а, = А_3,....Обратимся ко второму из выписанных уравнений (8).
Оно показывает следующее: структура формулы Колосова — Мусхелишвилитакова, что мнимая часть коэффициента А1 в разложении граничного условия обязательно должна быть равна нулю. Что это значит?Обратимся к (7). Положим к - 1 . Тогда184Отсюда1 2ГИз сопоставления с (5) сразу видно, что указанное требование намнимую часть И, — это требования отсутствия результирующегомомента. Оно выполняется.Далее ясно, что из системы (8) определить мнимую часть коэффициента а, невозможно. Ясно, что .1тц = /ти^/(0). Выше былопоказано, что данный произвол несуществен и можно положить,например, ^тφ'(()) = 0 . Остальные коэффициенты определяютсясоотношениями (8).Если предположить достаточную гладкость функций Х„(3), Υη(3)(непрерывность и существование первых производных, удовлетворяющих условиям Дирихле), то можно гарантировать, что построенные ряды будут сходящимися [5].
Задача решена.§ 9.3. Интегралы Коши. Формулы для их вычисленияПусть 5 + — односвязная конечная область, ограниченная простым замкнутым контуром Ь . Выберем на Ь положительноенаправление обхода так, чтобы область 5" оставалась слева. Через5 обозначим область вне 5 ' (рис. 9.1). Границу Ь не будет относить ни к ■!>+, ни к 5 .Пусть / ( ζ ) — функция, голоморфная в области 5 +. Считаем,что функция / ( ζ ) непрерывно продолжима на I и / ( / ) — ее граничное значение, ( е Ь .
Тогда имеет место формула Коши:22(9 ).185*Р и с. 9.1Второй случай: функция / ( ζ ) — голоморфна в области 5' , включая бесконечно удаленную точку. Функция непрерывно продолжимаЬ, граничное значение равно / ( / ) . Тогда формула Коши есть1 Г2т ·; ί —ζί - / ( ζ ) + /(αο){ / (оо)при ζ в 8~,( 10)п р и г е 5 +.Как известно, интегралы в указанных формулах называютсяинтегралами Коши. Главным в указанных определениях являетсято, что функция /(? ) представляет собой граничное значениефункции, о которой заранее известно, что эта функция — голоморфна. Для нас представляет интерес случай, когда интеграл Коширавен постоянному значению (0 или / (оо)).
Видно, что значение ζдолжно лежать вне области голоморфности / ( ζ ) . В интеграле (9)ς<εΞ, а функция голоморфна в Г , в интеграле (10) наоборот:а функция голоморфна в 5 . Оказывается, что для единичного круга можно получить постоянное значение интеграла, когдазначение ζ будет лежать именно в области голоморфности функции. Такая формула очень удобна и потребуется в дальнейшем.Будем считать, что единичный круг получен конформным отображением области 5 + в плоскость комплексного переменного ς .Поэтому дальнейшие построения будем проводить в плоскости ς .Следуя [5], для единичного круга введем специальные обозначения (рис. 9.2).
Сам единичный круг обозначим через Σ+, областьвне круга — через Σ“, окружность — через γ , точку на окружности— через σ , полярные радиус и угол — через р, 3 :186ιОбласти Σ+ и Σ с границей в виде единичной окружности обладают одним интересным свойством: точки„ /5 1 1 ί3ς - р е , — =—еς рлежат на одном радиусе $ = 00115(:. Причем одна из них лежит внекруга (т. е.
в области Σ '), а другая — внутри круга (т. е. в области Σ+). Если же р —> 1, то обе точки стремятся к одной и той жеграничной точке σ = ε'9, оставаясь соответственно в областях Σ иΣ+:σ =4 ·(И )σИменно на этом свойстве единичной окружности основана интересующая нас формула.Пусть Ρ(ς) — функция, голоморфная в области Σ+:Ρ ( ς ) - α 0+αις + α2ς 2+....(12)Введем новую функцию Ρ,(ζ), положив по определениюΡ(ς) = РИ з(11)следует, чтоΡ.(σ) = Ρ(ίт),187(13)а из определения и (12)следует, что( 14)ςсТаким образом, функция Ρ,(ς) оказывается голоморфной в области Σ . Выберем некоторую точку ς внутри области Σ+ и применим формулу (10) (точнее, ее нижнюю строку) к функции (14).В результате получимЕсли учесть, что /^,(00) = /^(()), а также равенство (13), то последнюю формулу можно переписать таким образом:где функция Ρ(σ) — голоморфна внутри области Σ+ и точка ςтакже лежит внутри области Σ+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
