1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 26
Текст из файла (страница 26)
П о л у ч и мδ( 3 - -Αν)δψδζ+ ( 3 - -Αν)δψδζ+ ( 3 - -Αν)δψδζδΦδψ_ , δφ2δχду+| Ο)|и*δψ\ , δφ2 , δφ2+δζδχ δχ5уδζδ δψ_ , δφ2 , δφ,δζдуδζ δχСледовательно, выражение в квадратных скобках должно бытьрано постоянной С . Не теряя каких-либо решений, можно положить С - 0 [6].Таким образом, выполнение только одного условияг~- л1δψδφ\, + δφ.2 , δφ33 - 4 ν δχδζδνδζдстаточно для того, чтобы удовлетворить всем трем уравнениямЛме. Полученное условие — непротиворечиво, т. е.
имеет решен а и, более того, имеет сколько угодно решений. Каждые из этихранений после подстановки в (5) даст решение уравнений Ламе.2.Обратимся теперь к четвертому представлению бигармоничских функций из списка (2). Положим2 δψи - φ^+Γδχ2δψν = φ2 + г(В)ду"2 δψ™= <Р) + Г — >δζг.е φχ, φ2, φ,, ψ — гармонические функции.Вначале вычислим Аи :( δЪ2...'ψδЭ2,„'ψδЯ2'ψ \Δ„ = 6 ^ + 4 χ — - + у — - + ζ -----δχ2ду2δχδζδχ198Так какΰ 2ψ _ дδψ λдх)дх2 дхδψдхто^ δψδψди/^Д„ = 2®- ψ + 2 х —- + у —!- + г —!дхдудгдхВведем обозначениег = х° г +у°г+гЁХдхдудг(9)ТогдаАи = 2 — (ψ + 2Р),дхΑν = 2-^~-(ψ + 2Р),ду( 10)Α\ν = 2— (ψ + 2Г).дгПодсчитаем теперь дивергенцию поля смещений:δψδ 2ψди _ д(Р\+ 2х+г2дхдхдх1дхдуд(р2дудусНг = οφ1дгдг4-д2у/ду2л-г2дг\удг 1+-1- 2ν■+ 2 ζδψду ’δψдгОтсюда и условия Δ ψ - 0 следует, чтоε = ε° + 2Ρ,дх199+^ +Мдудг(Н)Т еп ер ьм ож ноп ер ей тик уравнениямЛ ам е.
П одстав и м(1 0 )и ( 9 ) в у р а в н е н и я (1 ):1 д(е° + 2 Г )δ(ψ + 2/7)+ 2= 0,1- 2νдхдх1 δ(ε° + 2 /7)δ(ψ + 2/7)■+ 2- о,1- 2νду&у1 д (е ° + 2 П , 2 5(Ψ + 2 Γ ) =01- 2νδζδζВидно, что выполнение всех трех уравнений обеспечиваетсяодним условием------- (ε° + 2/7) + 2(ψ + 2/7) = С = СОП81:.1—2νБез ограничения общности можно положить С = 0 . Тогдаδψдхδψдуδψδζ\-2 ν3 -4 νε°6 -8 πχ ---- η у ---- ν ζ ---- 1------ ψ = ------- .( 12)Рассмотрим структуру выражения (9) для /7 . Пусть г - {х, у, ζ}— радиус-вектор точки (х, у, ζ ). Градиент функции ψ — это вектор со следующими компонентами§гас1^ =\δ ψ δ ψ δψ[дх ' ду ’ δζОчевидно, что Р = г ·&&άψ , т. е. /7 — это производная функции ψ вдоль направления г , умноженная на г .Может быть, проще и яснее будет такой анализ. Для простотывозьмем плоский случай.
Пусть в плоскости Оху введены декартовы и полярные координаты х, у и г, а :х = гсо$а, у = г 8 т а .200Тогда для функции / имеем/( х , у) = /(гс о $ а , гы па),дг—дхπдуОШ ιχ —дх г^бу г,Таким образом,Поэтому уравнение (12) можно переписать в следующем виде:δψ 1 -2 ν ψ _ε° 1(13)дг 3 - Αν г6 -8 ν гСюда вошли только производные по г . Поэтому вдоль луча гуравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное.
Будем искать его решение в виде произведения двух функций ψ = С И . ТогдагСН' + (г С + т 0 )Н =— .6 -8 и(14)Штрих — это производная по г ,1- 2νт 3 -4 ν 'ПустьгС' + т С = 0 ,С = г-т.Подстановка в (14) приводит к следующему решению:(15)Так как функция ψ может зависеть не только от г , но и от другихкоординат (например, сферических), то «постоянная» интегрирования С так же может зависеть от данных координат. Таким образом,трем уравнениям Ламе удалось удовлетворить, «пожертвовав» произволом только одной функции — функции ψ в представлении (8).201Подведем итог. Один класс точных решений уравнений трехмерной теории упругости имеет види = <р, + г2 Οψох(16)г δψы = <р3 + г — .ΟΖг -тΨ=6 -8 νдщ | 9φ, | δφ3λίдхдудг ,гт-'с/г + Сг т,(17)φ , ¢9,, φ3 — произвольные гармонические функции; С — произвольная гладкая функция, не зависящая от г .Аналогичным методом можно строить и другие классы точныхрешений упругой задачи.§ 10.4.
Задача о сосредоточенной силе,действующей в упругой безграничной средеПусть все пространство Охуг заполнено упругой средой. Вырежем в начале координат шар радиусом г и на границе сферы приложим силы, которые дают нулевой момент и единичный вектор результирующей силы, направленный вдоль оси Ох. Напряжения награнице сферы конечны. Площадь сферы пропорциональна г 2. Поэтому напряжения имеют порядок 1/ г 2.
По закону Гука напряженияпропорциональны производным перемещений по координатам. Поэтому перемещения будут пропорциональны 1/г. В нашем арсеналеесть гармоническая функция, имеющая нужную особенность — этосша функция 11г. Обратимся к решению ( 16) и положим¢9, = —, ¢9, = 0,гφ3 = 0,А - сопя!.(18)Теперь необходимо найти функцию ψ , которая соответствуетдшному выбору. Подставляя (18) в (17) и учитывая, что вдоль луча20 2интегрирования по г величина х /г = сопя1, получим (считаем, чтоС = соп81):Ахψ = ----------------.2(5 - 6ν) г3Общий результат следующий:и- Агд (х \2(5 -- 6ν ) дх уГ /„2ν = -Αд (х ^2(5 - 6у) ду К '3]„2\ν = -А(19)д ( х^2(5 - 6ν) Θζ Кг3]Осталось определить постоянную А .
Для этого вычислим сначала производные смещений (19) по координатам х, у, ζ ■ Их линейные комбинации дадут компоненты напряжения. Далее вырежемв начале координат сферу радиуса г и по формуле Коши определим вектор напряжений на данной сфере. Воспользуемся тем, что_х_у_ζсо &(п,х) = — , со $(п,у) = — , со§(η ,ζ )~ — .гггЗдесь п — внутренняя нормаль к сфере (направлена к началу координат). Интегрируя напряжения по сфере, убедимся в том, чторавнодействующие сил вдоль осей Оу и Ог равны нулю. Приравнивая силу вдоль оси Ол- единице, найдем постоянную А :5 -6 νА = -------------- .247Г/ф1 - ν)Таким образом, задачу можно считать решенной.§ 10.5.
Решения в форме ПанковичаИзложенная в § 10.2 схема не является единственно возможной.Можно вообще не переходить к бигармоническим уравнениям, асразу исходить из уравнений Ламе, опираясь на тот факт, что в каждом из этих уравнений фигурирует оператор Лапласа. Именно наэтом пути были получены решения Панковича [4].20 3Введем вместо функции ε(χ, у, ζ) другую — ψ(χ, у, ζ), положив.ди δν дмΑψ = ε = — + — + —( 20 )дх ду δζФункция ε — гармоническая, значит, функция ψ должна бытьбигармонической. Подставим (20) в уравнения Ламе (1) и вынесемоператор Лапласа за скобку:1 δψΔ ---------- — + и = 0,|_1-2 у дх1 дшΔ ---------- —+ V = 0,[1 - 2у ду1 δψΔ --------------μ νν = 0.1 - 2 ν δζУравнения удовлетворяются, если выражения в скобках будутравны произвольным гармоническим функциям φν φ2, φ2.
Отсюда1 δψ1 -2 ν δχ ’1 δψν = φ21- 2и дуи--\ν = φ2-( 21 )1 δψ\ - 2 ν δζТеперь в качестве условия совместности на функции φχ, φ2, φ2 и ψдолжны фигурировать не уравнения Ламе, как это было выше, а исходное определение (20). Подстановка (21) в (20) даетΑψ - -1- 2уд<Р\ | δφ2 δφI+ду2(1- у) дхδζ( 22)Можно попытаться найти решение данного уравнения в следующемклассе функций:ψ = Κ φ„+ χφι + γ φ 2 + ζφ3) ,где к = соп81, φα — произвольная гармоническая функция.204(23)Нетрудно убедиться в том, что идея (23) приводит к успеху.Произвола в константе к достаточно, чтобы удовлетворить уравнению (22): Л: = (1 —2ν)/4(1 —ν ) .Таким образом, результат сводится к следующему:и-φ 1ν = φ2 -(Ро + Щ + У<Рг + ζ φ 3\4(1 - ν) ох— —г— 1(<р0 + т4(1 - ν ) ду---- - — (<Ро +4(1 - ν ) οζ—Х(Р\+ у ?2 + ζ <ρ 3).+ У<Рг + ζ <Ρι)’где φ0, φ],φ 2, <Р3 — произвольные гармонические функции.§ 10.6.
Применение теоремы Бетти в общей теорииинтегрирования уравнений теории упругостиНапомним содержание теоремы Бетти. Пусть у нас есть дваидентичных экземпляра упругого тела. Нагрузим первый экземплярнекоторой системой массовых и поверхностных сил. Возможно, нанекоторых участках границы зададим перемещения. В результатеполучим в теле некоторое распределение смещений, деформаций инапряжений. Для первого тела все переменные будем отмечать одним штрихом. Второй экземпляр тела нагрузим другой системоймассовых сил, граничных напряжений и смещений. В результатеполучим другое распределение напряжений, смещений и деформаций. Отметим их двумя штрихами.В отличие от § 4.4 предположим дополнительно, что в обоихслучаях нагружение является достаточно медленным, так что инерционными силами можно пренебречь.
Тогда имеет место следующее равенство:| σ ΰ " ά 8 + 1 Χ 'ΰ"άΥ = | σ '^ ά Υ(2 4 )VV205VДанное равенство означает очень многое. Предположим, что намтребуется найти решение некоторой упругой задачи. Решение неизвестно. С другой стороны, нам известно большое количество решений других задач, полученных либо до нас, либо нами в предыдущем опыте. Отметим переменные новой задачи двумя штрихами,а переменные известных задач — одним штрихом. Обратимся к равенству (24). Теперь оно означает, что любое известное решениедает свою априорную оценку для решения, которое нам неизвестно.Причем таких оценок можно получить практически любое число В некоторых случаях они очень эффектны и производят большое впечатление.Изложим один пример, позаимствованный из [3].
В качестве известного возьмем решение о гидростатическом сжатии тела. Пустьтело подвержено всестороннему сжатию давлением р = сопьй (собственно сжатию отвечают значения р < 0). Тогда распределениенапряжений в теле будет однородным и без касательных напряжений, а распределение смещений — линейным по координатам:1- 2ν------- рх1, иЕПодставим (25) в первое равенство (24), т. е. в равенствоΊ = —=—Е /«,»и| σ 'β 'ά Ξ + 1 Хи"с1У = | σ 'ε"ά ν .V5Сократим р . В результате получим(2 6 )Здесь206— компоненты вектора граничных напряжений в декартовых координатах.Интеграл от дивергенции вектора смещений — это изменениеобъема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
