1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Таким образом, в случае постановки первой основнойкраевой задачи (на всей границе заданы напряжения) формула (26)— явное выражение для изменения объема тела.Рассмотрим частный случай, когда массовые силы отсутствуюти тело сжимается заданной силой N , которая передается через двежесткие гладкие плиты (рис. 10.1). Пусть нижняя плита неподвижна.
Ее плоскость — это плоскость х, = 0 . Подсчитаем интегралЗдесь 5", 5 + — части поверхности тела, которые соприкасаютсяс нижней и верхней плитами, а 5 11 — боковая поверхность тела.Первый интеграл справа в (27) равен нулю, так как на 5 “: х3 = 0 ,/ = 0 , / 2 = 0 (условие гладкости плиты, т. е.
отсутствие на контактекасательных напряжений). На 5° интеграл равен нулю вследствиетого, что = 0 , / 2 = 0 , / , = 0 (боковая поверхность не нагружается).хNИРис. 10.1Остается интеграл по 5 +. На 5 +: х, = Н , /, = 0 , / 2 = 0 . Следовательно,| <7л+ л*2+=207и \ и 13·Результирующая сжимающая сила N известна. Поэтому\ / ^ 5 =Ν .5 +Окончательный результат следующий:ΔV =-Ν .(28)ЕИменно такую зависимость от упругих постоянных можно было ожидать: если каждый элементарный объем тела несжимаем, тои тело в целом будет несжимаемым.
Пропорциональную зависимость от N также можно было ожидать. Ясно, что она являетсяследствием линейности поведения материала.Формула (28) показывает, что изменение объема зависит толькоот расстояния между плитами и никак не зависит от формы и размеров деформируемого тела. Для тел типа, изображенных нарис. 10.1, изменение объема будет в точности таким же, как и длятел типа, показанных на рис. 10.2. Это весьма нетривиальный инеожиданный результат.По изложенной выше схеме можно получить еще целый ряд различных оценок.Следующий шаг состоит в том, чтобы в качестве известноговзять не одно какое-то решение, а целый класс решений, зависящихот определенной совокупности параметров.
В этом случае можнополучить более полную информацию о решении.Рассмотрим один результат, полученный на этом пути (формулу Сомильяна). Пусть безграничная упругая среда заполняет всепространство. В качестве известного возьмем решение о действии208сосредоточенной единичной силы, действующей в направленииОх и приложенной в точке с декартовыми координатами (ξ, η, ζ ).Решение данной задачи имеет вид (19), если в (19) заменить х на( χ - ξ ) , у на ( у - η ) , Ζ на (ζ - ζ ). Под г понимается^ Ι ( χ - ξ ) 2 + { у - η ) 1 + ( ζ - ζ Ϋ . Теперь смещения зависят от координат х, у, ζ и трех параметров ξ, η, ζ . В равенствах (24) выберемтолько первое и последнее выражения:| σ'ηΰ"άΞ + 1 Χ ’Γι’ά ν = | σ ϊ ί ’άΞ + 1 Х'и'йУ.5V5(29)VПодставим решение (19) в (29) в качестве м '. Сосредоточеннуюединичную силу можно было с самого начала рассматривать какобъемную силу, приложенную к шару радиусом К с центром в точке (ξ, η, ζ ) .
Тогда при К —>0 интеграл| Χ 'Γ ι'ά ν -> и \4 , η, ζ ) .VОтсюда и из (29) следует, чтоη \ ξ , η , ζ ) = \σ μ 'ά Ξ - 1σ ’Τι”ά5 + 1 Χ " ΰ 'ά ν .55(30)ν'В точке χ = ξ , }’ = η , Ζ - ζ функция и имеет особенность порядка Мг.Объемные силы | Х"| ограничены. Объем шара радиусом Кимеет порядокПоэтому последний интеграл в (30) существует.При выводе формулы (30) подразумевалось, что тело, ограниченное поверхностью 5 , вырезано из бесконечного пространства,которое нагружено в точке (ξ , η , ζ ) сосредоточенной силой.
Приэтом на границе тела приложены нагрузки, которые компенсируютсосредоточенную силу и распределены так, как это диктуется решением для безграничной среды. Таким образом, формула (30) (формула Сомильяна) дает выражение для смещения произвольной точки через граничные смещения и напряжения — й " , σ " .Результат (30), конечно, не может рассматриваться как решениезадачи, так как одновременно и смещения и напряжения на границетела 5 не задаются. Можно, однако, изменить постановку задачи209таким образом. Возьмем тело V, закрепим его на границе Ξ (и = Она Ξ).
В точке тела ( ξ , η , ζ ) приложим единичную сосредоточенную силу. Решим задачу и найдем граничные напряжения σ [ . Обратимся к формуле (30) (ясно, что она по-прежнему имеет место).Теперь в этой формуле первый интеграл в правой части отсутствуети поэтому4 '\ξ, η, ζ ) =σ[Έ"ά5 + 1 Χ"Γι'άΥ .(31)XVАналогичные формулы имеют место и для сосредоточенных силвдоль осей Оу и 0ζ .
Функции и', ν', νν' в данной задаче называютсяфункциями Грина. Формулы вида (31) дают решение второй основной краевой задачи, когда на границе задан вектор перемещений й " .21 0ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА1. Ляв А. Математическая теория упругости. — М., 1935.2. Амензаде Ю. А. Теория упругости: Учебник для университетов. — М. : Высш. шк., 1971. — 288 с.3. Демидов С.
П. Теория упругости: Учебник для вузов. — М. :Высшая школа, 1979. — 432 с.4. Новожилов В. В. Теория упругости. — Л. : Судпромгиз, 1956.5. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Изд. 5. — М. : Наука ; Физматгиз, 1966.— 707 с.6. Филоненко-Бородич Μ. М. Теория упругости, ОГИЗ. — М. ;Л., 1947.— 300 с.7. Партой В. 3., Перлин П. И. Методы математической теорииупругости: Учеб, пособие. — М. : Наука, 1981.
— 688 с.ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРАД1. Трехмерные задачи математической теории упругости итермоупругости / Под ред. В. Д. Купрадзе. 2 изд-е. — М. : Наука,Физматгиз, 1976. — 663 с.Д2. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика иприкладная математика: логика и особенности математики. 2 изд-е.— М. : Наука, Физматгиз, 1990. — 330 с.ДЗ.
Новацкий В. Теория упругости. — М. : Мир, 1975. — 872 с.Д4. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механикисплошной среды. — М. : Наука ; Физматгиз, 1983. — 448 с.Д5. Рогозин Л. А. Вариационные постановки задач для упругихсистем. — Л. : Изд. ЛГУ, 1978. — 224 с.Д6. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. — М. : Мир, 1987. — 542 с.Д7. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике.
—М. : Наука ; Физматгиз, 1987. — 432 с.211ОГЛАВЛЕНИЕВВЕДЕНИЕ3Задача о растяжении стержня6Глава 1. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ121.1. Определение напряжений1.2. Тензор напряжений. Формула Коши1.3. Инварианты и главные направления тензора напряжений.Главные напряжения1.4. Диаграмма Мора для напряжений. Максимальные касательные напряжения. Параметр вида напряженного состояния(параметр Лоде — Надаи)121525Глава 2.
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ312.1. Нелинейный тензор деформаций2.2. Относительные удлинения и сдвиги2.3. Линейный тензор деформации2.4. Компоненты вектора поворота. Геометрически нелинейные теории упругости2.5. Определения векторов поворота и перемещения по заданным деформациям. Тождества Сен-Венана2.6. Инварианты и главные направления тензора деформаций,главные деформации2.7. Диаграмма Мора для деформаций, максимальные сдвиги,параметр вида деформированного состояния31363840424647Глава 3 УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИУПРУГОСТИ493.1. Уравнения равновесия и движения3.2. Закон Гука для однородного изотропного тела3.3.
Закон термоупругости Дюамеля — Неймана3.4. Замкнутая математическая модель упругого тела3.5. Уравнения Ламе и Бельтрами — Митчелла3.6. Постановка основных начально-краевых задач495258596165212Глава 4 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ4.1. Теорема единственности основных краевых задач (статика)4.2. Термодинамика упругого деформирования. Теорема единственности (динамика)4.3. Анизотропные упругие среды. Обобщенный закон Гука4.4. Формула и теорема взаимности БеттиГлава 5. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИУПРУГОСТИ5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.5.6.ВведениеПринцип минимума полной потенциальной энергииДополнительная работа, принцип КастильяноПринцип РейснераПолный функционалПринцип Гамильтона — Остроградского707074798284849096100107108Глава 6.
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА1116.1. Принцип и полуобратный метод Сен-Венана6.2. Постановка задачи Сен-Венана6.3. Задача об одноосном растяжении стержня (задачаКлебша)6.4. Изгиб стержня моментом, или парой сил6.5. Кручение стержней. Жесткость на кручение6.6. Результирующее касательное напряжение и его свойства6.7. Аналогия Прандтля6.8. Перемещения в задаче о кручении стержней111114115117118123124125Глава 7. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИУПРУГОСТИ1307.1. Анализ размерностей7.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
