1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В качестве первого шага необходимо рассмотреть вопрос о степени определенности комплексных потенциалов φ(ζ) и ψ ( ζ ) . Имеется в виду следующее. Предположим, чтонекоторое распределение напряжений задано. Тогда первые два соотношения (35) можно рассматривать как уравнения относительноφ(ζ) и ψ{ζ) . Вопрос: с каким произволом находятся эти функции?165Второй вопрос: насколько уменьшается этот произвол, если привлечь еще третье соотношение (35)?Решение данных вопросов никаких трудностей не вызывает.
Согласно первому соотношению, действительная часть φ \ ζ ), т. е.К&φ\ζ), определяется однозначно. Условия аналитичности Коши —Римана показывают, что по известной действительной части мнимаячасть функции восстанавливается с точностью до константы:<Ρ[(ζ) = φ'(ζ) + С /.После интегрирования получимφχ(ζ) = φ(ζ) + С/ζ + γ .Для второй производной φ"(ζ) произвола нет. Поэтому из второгоравенства (35) функция ψ'(ζ) определяется однозначно.
Следовательно, сама функция ψ(ζ) определяется с точностью до постоянной:ψ [(ζ) = ψ(ζ) + γ ' .Здесь С — произвольная действительная постоянная; γ, γ' — комплексные постоянные; φ,(ζ), ψ χ(ζ) — функции, на которые можнозаменить φ(ζ) и ψ( ζ ) , не меняя напряжений. В зависимости от задачи данным произволом можно распорядиться по-разному.Например, можно принять, что<р(0) = 0,1//(0) = 0,Μηφ'(Ο) = 0 .(37)Предположим теперь, что наряду с напряжениями заданы такжеперемещения и, ν. Тогда из третьей формулы (35) следует, что(1 + х)гСг + χ γ - γ ' = 0 .ПоэтомуС = 0, χ γ - γ ' = 0 .Таким образом, произвол сузился до одной комплексной постоянной. Можно задать, например,φ(0) или ψ(0).(38)166§ 8.8.
Формулы для конечной многосвязной областиВыше, исходя из качественных соображений, было показано, чтоесли тело является многосвязным (например, пластина с отверстиями)и, кроме того, равнодействующая сил, приложенных к внутреннемуконтуру, отлична от нуля, то комплексные потенциалы обязаны бытьфункциями многозначными. Разберемся в характере данной многозначности. Начнем с самого простого случая, когда деформируемаяобласть является двусвязной (см.
рис. 8.7, пластина с одним отверстием). Обозначим через Ц и I , внутренний и внешний контуры.Выберем на контуре Ь2 точку А и сделаем обход контура Цпротив часовой стрелки, т. е. от точки А к точкам В, С и опять к А.АПриращение функции будем обозначать как ( ) , имея в виду укаАзанное направление обхода.Предположим, что напряжения и смещения являются однозначными функциями координат. Следовательно, любые разрывы, которые могут быть связаны с появлением трещин в теле, исключаются.Однозначность означает, что приращения выраженийАА(39),> (σ νν - σ χΧ+ 2 ΐ σ ) , 2μ(ιι + ιυ)ААдолжны равняться нулю.
Напротив, приращение равнодействующейсил должно быть от нуля отличнымΐ ${Χ„+ίΥη)άΙ = - Κ Χ χ+ ί Ό ·(40)АВСАЗдесь Х х, У| обозначены компоненты результирующей силы, действующей на контур Ц изнутри. Поэтому справа в формуле (40)поставлен знак «-». Перепишем (39), (40) через потенциалыφ(ζ) и ψ ( ζ ) :2(φ' + φ')= 0,2(ζφ"+ ψ')= 0,( 4 1 )( χ φ - ζφ' ~ Ψ )= 0,(φ + ζφ' + ψ )167Равенства (41) можно рассматривать как систему условий относительно φ(ζ) и ψ{ζ). Система линейна и неоднородна. Следовательно, ее решение определяется как сумма общего решения однордной системы и любого частного решения неоднородной систеш . Поставим задачу найти частное решение. Рассмотрим услошя (41) по порядку.Начнем с первого условия. Первое условие означает, что прирацение реальной части φ \ ζ ) равно нулю.
По известной реальной1асти мнимая часть аналитической функции восстанавливаетсясточностью до постоянной. Самой простой функцией, получающейгриращение при обходе по замкнутому контуру, является функцияΗ(ζ —ζ,) , где ζ, — произвольная точка внутри контура 1Л . Пустьφ'(ζ) = Д 1η(ζ - ζ,) + Φ*(ζ),це А, — действительная постоянная и Ф*(ζ) — однозначная(}ункция. Тогда[Д 1η(ζ - ζ,)]= 2πΐΑχАПроинтегрируем (42), используя формулу^ \η χ ά χ = χ\χ\ х - х + С ,(42)С = сопз1.Получимζφ(ζ) = 4 [(ζ - ζ,) 1η(ζ - ζ,) - (ζ - ζ,)] + 1 Φ \ ζ ) ά ζ + С , (43)гце ζ0 — некоторая фиксированная точка в области между контуI, и Ь2.
Функция Φ*(ζ) является однозначной, но это не гарштирует однозначности интеграла от нее. Если путь интегрировагая замкнут и охватывает контур Ц , то интеграл может получитьширащение, равное некоторой комплексной постоянной. Обозначил ее как 2ятС ,. Если записать равенствоρίΜΗ(4 4 )168то можно утверждать, что функция φ0(ζ) приращения при обходепо замкнутому контуру (охватывающего контур), получать ужене будет.Подстановка (44) в (43) даетφ(ζ) = Α,ζΙη(ζ- ζ,) + у, 1η(ζ - ζ χ) + φ (ζ) ,(45)где у, — комплексная постоянная (комбинация постоянных, введенных выше).Перейдем теперь ко второму условию (41). Если продифференцировать правую часть (45) два раза, то можно убедиться, что вторая производная функции φ(ζ) будет функцией однозначной. Поэтому однозначной будет и производная ψ \ ζ ) .
Поэтому, аналогично (44), можно записатьψ(ζ) = γ\ 1η(ζ - ζ,) + ψ \ ζ ),(46)где γ\ — комплексная постоянная; ψ \ ζ ) — однозначная функция.Обозначения у, и у' сложились исторически и к сдвигам у никакого отношения не имеют.Обратимся теперь к условию однозначности перемещений, т. е.к третьему условию (41). Подстановка (45), (46) в (41) дастχ·[Α,ζΙη(ζ-ζ,) +^ Ιη(ζ-ζ,)]- ζΑ, 1η(ζ - ζ ,) + у,'1п(г - ζ , ) ++ ( χ φ ( ? ) - ζ Φ \ ζ ) - Ψ '(ζ)) = 2μ(μ + ίυ).Приращение левой части должно быть равно нулю. Отсюда2т(1 + χ ) Α ί = 0,2π ί ( χ γ Χ+ у') = 0 .(47)Точно так же из последнего равенства (41) следует, что4πϊΑί = 0,2л7(у, + у,') = - ί Χ ί + Υχ.Из уравнений (47) и (48) следует, чтох \ +ίΥι2ζτ(1 + χ Υ<_ Χ(χ \ +гУР1 2π(\ + χ )169(48)В итоге получаем следующие представления для комплексныхпотенциалов:(49)где функции φ (ζ) и ψ \ ζ ) являются аналитическими однозначными (т. е.
голоморфными) в рассматриваемой двусвязной области.Переход к случаю, когда отверстий много, никаких трудностейне вызывает. Обратимся к рис. 8.8. Пусть число внутренних контуров Ц , . . . Ь т. Через Ьт+Х обозначим внешний контур, а через X к, Ук— усилия, действующие на внутренний контур номер к = \, .. ., т.Возьмем функцию 1η(ζ - ζ,) . Если точка ζ обходит любой из контуров Ь2, Ь3,... Ьт, то функция 1η( ζ - ζ , ) никаких приращений не получает, т. е.
является однозначной функцией ζ. Она получает приращение только при обходе контура Ь1. Поэтому мы сразу можемобобщить представление (49) следующим образом:(50)0Рис. 8.8Подведем итог.1701. Если область деформирования является многосвязной и равнодействующая сил на внутренних контурах равна нулю (например,контуры от напряжений свободны), комплексные потенциалы будутфункциями голоморфными во всей многосвязной области.2. Если равнодействующие сил отличны от нуля, то потенциалыдолжны быть функциями многозначными и иметь вид (50).§ 8.9. Ф ормулы для бесконечной областиЕсть немало задач, где деформируемую область удобно рассматривать как бесконечную. Пусть граница области Ьт+] представляетсобой окружность радиусом К с центром в начале координат.
Рассмотрим поведение функции (50) в окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. при | ζ |> К , где К неограниченно увеличивается.Так как | ζ |>| Кк | и при -1 <х< 11п(1 + х) = х - — + —— .. + (-1)”' 1— + ...,23пто можно записать(ζ \(ζ λ1η(ζ - гк) ~ Ιηζ 1 - ^ = Ιηζ + 1η 1 - ^1Ζ )1Ζ )ζ1(= Ιη ζ — к- ~ - — I +··· ·ζ2 VζПодставив (51) в (50), получимчΧ + ϊΥ*», ч^ ) = - - - ----- -1ηζ + φ 0 0 ,2π(1 + κ)(51)(52), ч κ{Χ - ίΥ),ψ { ζ ) ~ ------------ 1ηζ + ψ (ζ).2/г(1 + κ)Здесь к функциям φ"(ζ ) , ψ " \ ζ ) отнесем функции φ (ζ) , ψ ’ (ζ)из (50) и слагаемые из (51), начиная со второго.
Необходимо выяснить поведение функций φ"(ζ) , ψ “{ζ) на бесконечности. По теореме Лорана вне Ьт+1ψ \ ζ ) = Υ α ΛζΤ,ψ~{ζ) = Σ ° .'ζ "/7=-00171(53)Опыт решения прикладных задач показывает, что нет большогосмысла рассматривать задачи, в которых допускается неограниченный рост напряжений на бесконечности. С другой стороны, естьсмысл допускать неограниченный рост перемещений. Например,одноосное растяжение стержня длиной Ь приводит к перемещениямпорядка Ь. При Ь —+сс задача имеет ясный смысл, хотя перемещенияявляются неограниченными.
Подобных ситуаций достаточно много.Подставим (52) в формулы Колосова — Мусхелишвили длянапряжений:σ ,Λ + σ νν = 2.[φ\ζ) + φ \ ζ ) \ == 2(α, + 2 α,ζ + 3α3ζ 2 + ...),(54)σ ,ν - σ „ + 2 ί σ χ = 2 \ ζ φ \ ζ ) + ψ\ ζ) ] == 2(α[ + 2 α'2ζ + 3α'3ζ 2 +...).Для ограниченности напряжений необходимо (и достаточно),чтобы в разложении (53) положительные степени по ζ, начиная совторой, отсутствовали, т. е.аг =аг =... = 0,α '= α ( = ... = 0.Если коэффициенты при первой степени обозначить какГ = В + гС, Г = В' + 1С\(55)то представление (52) можно уточнить2π(1 + χ)(56)ψ(ζ) = ψ ~ . .. 1 " 1η.ζ + Γ'ζ + ψ0(ζ),2π(\ + χ )гдеΨο(ζ) = αο+—-I——+ζζ*В, С,В',С' —-действительные постоянные.172Выясним механический смысл постоянных Г и Г '.
Для этогоподставим (56) в (54) и перейдем к пределу при | ζ |-> оо. Предельные значения напряжений пометим индексом «со». Из (54) получим2(Г + Г ) = 4 5 = <т" + <т“ ,2 Г = 2(5' + /С') = σ* - σ " + 2/сг".Таким образом, три действительные постоянные В , 5', С' выражаются через три напряжения сг“ , <т“ ,В- ± ^ ,5 ' Л■.' —С —σ <(57)Для выяснения смысла четвертой постоянной С необходимопривлечь какую-то новую формулу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
