1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Результирующее касательное напряжениеи его свойстваПродолжим изучение напряженного состояния стрежня, подвергнутого крутящему моменту. Обратимся к рис. 6.6. Векторг = ίσ( ΖΧ,^σ туу)назовем результирующим касательным напряжением. Смысл егоочевиден: г(х, у) — это касательное напряжение, действующее наплощадку с нормалью е. в точке (х, у). Как мы выяснили, зависимость от координаты ζ отсутствует.Рис. 6.6Выпишем два равенства:( 21 )Первое равенство следует из (11), второе — это определениевектора градиента. Отсюда сразу следует, что|г| = //г9 |§гас1Ф|,( 22 )г §гас!Ф = 0.Видно, что имеет смысл ввести линии, которые в каждой своейточке касаются векторов г .
Такие линии называются траекториямирезультирующих касательных напряжений. Второе равенство (22)означает, что вдоль указанных траекторий значение Ф не меняется:Ф = сопк!. Таким образом, траектории касательных напряжений —123это линии уровня функции Ф (х,у ) . Раньше мы выяснили, что награнице X сечения значение Ф постоянно. Следовательно, в граничных точках векторы сдвигающих напряжений направлены покасательной к границе.Касательные напряжения обладают еще одним интересным свойством: их максимальное значение достигается на границе области.Это нетрудно доказать. Функция Прандтля удовлетворяет уравнению Пуассона ΔΦ = - 2 .
Поэтому ее производные — это функциигармонические:1ЗДФδΑΦ1Α σ ,. = 0.: Δ σ ν- = О,дуμ3дхμθЗначит, и функции σ χζ, σ ν: являются гармоническими. Гармонические функции достигают своего максимума на границе. Нам этого,однако, недостаточно, так как нас интересует максимум модуля^ ( σ κ,)2 + (σ,,.)2 . Предположим, что данный максимум достигаетсявнутри области 5 в некоторой точке (х°, у ' ) . В этой точке известнонаправление вектора т . Повернем систему координат так, чтобыось Ох была параллельна г(х °,у °). Все уравнения инвариантныотносительно такого поворота. В новой штрихованной системе максимум σ'χζ будет достигаться во внутренней точке области 5 .
Противоречие. Таком образом, касательное напряжение г действительно достигает своего максимума на границе области 5 .§ 6.7. Аналогия ПрандтляНередко бывает так, что различные процессы описываются одними и теми же уравнениями и краевыми условиями. С точки зренияматематика такие процессы вообще можно не различать, хотя с физической точки зрения между ними не может быть ничего общего.Возьмем, например, проволоку и изготовим некоторый плоскийзамкнутый контур X . Натянем на контур мыльную пленку и приложим к ней снизу некоторое постоянное давление р (это можносделать слегка сжатым воздухом). В результате пленка выгнетсяи образует небольшой холм.124Оказывается, этот процесс полностью аналогичен процессу закручивания линейно упругого стержня. Это нетрудно доказать.
Обратимся к рис. 6.7. Для ясности здесь изображен элемент одномерной мембраны — цилиндра с образующей, параллельной оси О у .Мембрана характеризуется тем, что ее натяжение Т — постоянно,не зависит от прогиба и направлено по касательной к поверхностимембраны. Угол наклона касательной характеризуется производной и/ , а изменение угла — второй производной νν’χ .ζхОРис. 6.7В двумерном случае появляются такие же производные по х и у .Поэтому при малых прогибах и малых производных уравнение равновесия сводится к следующему:где р — равномерное нормальное давление, приложенное к мембране. Перемещение νν на границе области равно нулю. Таким образом, имеем полную аналогию с кручением упругого стержня.Можно представить себе изогнутую мембрану как холм на местности.
Топографическая карта такого холма описывает распределение касательных напряжений. Вектор напряжения направлен вдольлинии уровня и7= сопь! и там, где горизонтали сгущаются (холмкруче), — напряжения больше. Известны и другие аналогии [3].§ 6.8. Перемещения в задаче о кручении стержнейДля определения перемещений у нас есть общий алгоритм, изложенный в главе 2.
Вначале необходимо определить деформации.125Т ак как= σ„, = σ = = σ ν = Ο,α сФσ · · = 9μ - χ ·дФσ··="^·&то из закона Гука сразу следует, что== = £*ν = 0’3 дФЗдФ2 Эу ’ ^2 дхДалее,ω= —хδννθζ '2 &диδζω.δ\\δдх ,δνδχοχдилдУуПоэтомуδωχδ εχζдхду6εχν & δ2Φ^3 δ 2Φδζ2 ду~δωχ _ δ ε ν!1 δ ε,, _3 δ 2Φ2 δζ2 дхдудуду2δχ2δοχ _ 1 δ ε= δ ε,ζ _ ρδζ2 дуδοχ _ δ ε,,δζδεχζ _δχδζδχδοχδεχ,δε„3 δ 1Φдуδζδχ2 δχ23 δ 2Φ2 дхду3 δ2Φ2 ду2δω, = δε„ 1 δ ε= _ 0δζδζ 2 δχИнтегрируя, получимα δΦωχ = - 3 χ - —— .2 δχαα δΦω, - ~ 3 у - —2 ду(Последнее равенство было получено раньше).126со, = 3 ζ .Перейдем к перемещениям:άιι = ε χ άχ + (εχν - ω,)άγ + (εχζ + ων)άζ,άν = (εχχ + ωζ)άχ + ε χ άν + (εγ: - ωχ)άζ,(2 3 )ών = (εχ2 - ων)άχ + ε ννάγ + (ε + ωχ)άγ + ε„ άζ.Отсюдаи = -9уг,ν - 9χζ,дх\ν = 3φ(χ, у ),дугдеδφИх■у-дФδφду ’ ду___ дФ1к '(24)Функция (р{х,у) называется функцией кручения Сен-Венана.Очевидно, что она удовлетворяет уравнению Лапласа, т.
е. являетсягармонической:Δ ^ = 0.(25)Сам факт существования функции φ означает, что функция кручения Прандтля удовлетворяет уравнению Пуассона ΔΦ ——2. Инаоборот. Есть соответствие также и в краевых условиях для Ф и φ .Обратимся к рис. 6.5. Условие постоянства Ф вдоль Ь означает,что/?7§гаёФ = 0.Отсюда и из определений следует, что5ФсФ— 81П ( X ------+ С 0 8 « ----- —= 81П ССдхдуг+ созагδφу + — = 0,дхν(26)δφδφ δφС 0 8 « ------ 1- 8Ш ОС —— = — = — X 81П СС + у С О З Л .дхду дпСледовательно, для функции φ мы пришли к задаче Неймана. Правая часть (26) для всех точек контура Ь известна. Легко показать,что для замкнутого контураάΙ = | ( у с о в а - х з т а ) ^ =^ус1у+хс1х=—|й?(дг + у 2) = 0 .127Решение уравнения (25) определяется с точностью до аддитивной постоянной, которая значения не имеет. Таким образом, теориюкручения можно строить, опираясь только на функцию крученияСен-Вснана <р(х, у) (24). В этой постановке есть определенные преимущества.
Во-первых, функция φ имеет ясный механическийсмысл: Э<р(х, у) = νν. Поэтому отличие φ от константы и линейнойфункции указывает на депланацию сечения стержня (в связи с этимφ(χ, у) называют также функцией депланации). Согласно решению (23) сечения поворачиваются вокруг оси стержня и в общемслучае искривляются. Второе (и основное) преимущество связано стем, что функция φ — гармоническая. Поэтому можно ввести сопряженную к ней гармоническую функцию и затем перейти к комплексной (аналитической) функции. Это открывает возможностииспользования всех методов и результатов теории функций комплексного переменного.ПримерыОсновная задача состоит в определении функции Ф из следующих уравнения и краевого условия:а 2Ф д2Ф..-,ч Λа 7 +^= - 2;Если уравнение контура можно задать как достаточно гладкуюфункцию вида / (х, у ) = 0 , то в качестве функции Ф можно рассмотреть функцию с/(х, у) = 0 , с - сопа1.
В некоторых случаях этаидея приводит к успеху. Например, для эллипса—2 + £1.2. = 1аЬпроизвола в константу с достаточно, чтобы удовлетворить уравнения Пуассона.Второй классический пример — кручение стержня, профиль которого представляет собой равносторонний треугольник, образованный прямымил/Зл/Зл/3у - —-х , у = ------ х, х = ---- а ,128а — дл и н а стор оны треугольн и к а. К р еш ен и ю п р и в оди т ф ункция2хс = сопз1.л13аПрактически неограниченное число точных решений можно получить для функции кручения Сен-Венана.
Функция φ(χ, у) —гармоническая. Поэтому, как указывалось, от φ легко перейти каналитической функции комплексного переменного. Задавая любыеаналитические функции, мы будем каждый раз получать те илииные точные решения для φ(χ, у ) . Весь вопрос будет состоять втом, чтобы выбрать из них (либо из их суперпозиции) такие, которые представляли бы практический интерес.В списке задач (2) осталась еще одна задача — изгиб стержняпоперечной силой Рх. Данная задача сводится к задаче о кручениии может быть решена с использованием принципа и полуобратногометода Сен-Венана [3].Ф = с(х2 - 3 у 2) 1-129Глава 7.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИТЕОРИИ УПРУГОСТИВыше мы рассматривали статические задачи. К этому классу относятся и так называемые квазистатические задачи. В последнихраспределения напряжений, деформаций и перемещений зависят нетолько от пространственных координат, но и от времени. Однакопредполагается, что нагружение тела осуществляется медленно так,что инерционными членами в уравнениях можно пренебречь.
Поэтому время играет роль параметра и фактически описывает толькопостепенную смену различных статических состояний.В случае быстрых процессов инерционные силы становятся существенными. Поэтому уравнения равновесия заменяются уравнениями движения и все упругие процессы приобретают качественноновые черты. Область приложения динамической теории являетсячрезвычайно обширной и связана с исследованием землетрясенийгорных ударов, различного рода вибрационных и взрывных воздействий на среду и т. д.§ 7.1. Анализ размерностейПостроение любой теории лучше всего (и проще всего) начать санализа размерностей. Что это такое? В качестве примера рассмотрим одну классическую задачу — задачу о математическом маятнике.
Пусть на гибкой нерастяжимой нити подвешено тяжелое теломассы т (рис. 7.1). Отклоним тело на угол а и предоставим егосвободным колебаниям. Сопротивлением воздуха и трением в подвесе пренебрежем. Чему будет равен период колебаний маятника Т ? Можно составить уравнение колебаний и найти его решение,например, при малых а , затем перейти к общему случаю и т. д.Однако можно продвинуться в решении проблемы, вообще не прибегая к уравнениям, исходя только из общих и фундаментальныхсоображений. Начнем с перечисления параметров, от которых может зависеть период колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
