1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 13
Текст из файла (страница 13)
дх>^Следовательно, требование симметрии тензора напряжений и требование независимости функционала от ротора поля перемещенийоказались тесно связанными между собой.92Итак.5Ψи, следовательно, с учетом (11) получимΨ - Ψ {εν) - Х хщ - Х 2и2 - Х ъиъ.(12)Займемся теперь естественными краевыми условиями. Вычислим вариацию функционала (8), (12). Считаем, что уравнения (9)уже выполнены. Поэтому объемный интеграл в выражении для δ δбудет равен нулю.
Используя справочную формулу (6), получимЕсли на части 8и границы 5 заданы перемещения, то интегралпо 8и равен нулю в силу того, что на 8и: δϋχ = 0, диг = 0, диг = 0 .Там, где перемещения не заданы и, значит, вариации 6и.1 произвольны, из условия δ ^ = 0 следует, чтоσ, ,η, + σ 12π, + σ ηηι = О»σ,,π, + σ 22η2 + ст2гп3 = О,(13)σ ηηχ + σ 23«2 + σ ηη) ~ 0·Комбинации напряжений в левой части — это не что иное, как компоненты граничного напряженияσ η - { (Τ,4,σ„1,σ„3} ·Поэтому условия (13) означают, что часть поверхности 8/8„ отнапряжений свободна. Иными словами, вариационный принципδ —»тЙ 1 для функционала (8) эквивалентен заданию уравненийЛаме и краевых условий следующего вида: на любом участке границы 5 должны быть заданы либо вектор смещения, либо нулевойвектор напряжения.
Ясно, что это частный случай задач, которыенас интересуют.93Для получения общего случая функционал (8) необходимо немного подправить, именно добавить в него слагаемое, котороеобобщило бы условия (13) таким образом:σ,,π, + σ ηη2 + σ ]3η3 = σ “,σ,2«, + σ 22η2 + σ 23η3 = <τ®,(14)σ ηη\ +σ·23«2 + σ 33η3 = σ “ ,где σ° — заданные компоненты граничных напряжений.Для выполнения условий (8) необходимо, чтобы вариация (6)приняла следующий вид:δ 1 = )[ ( σ ηη, + σ ΐ2«2 + σ ]3η3- σ °)£и, ++ (σ ]2ηΛ + σ 22п2 + σ 13η3-σ°ηι)διι2 +(15)+ (σ 13Η, + σ 23«, + σ 33π3 - σ°3)δ ϋ 3]ά8 = 0.Там, где=0,., интеграл равен 0. Поэтому интегрированиенужно осуществлять не по всей поверхности 5 , а только по ее части Ξσ = 5 / 8и.
Из сравнения (15) и (4) сразу следует, как нужноподправить исходный функционал: в функционал необходимо добавить слагаемое — | σ ° ΰ ά δ . Функционал с добавленным слагав$(,мым обозначим как Я:Я = ^ΐν(ε·2) δ ν - 1 (Χ,π, + Х 2и2 + Χ 3υ3)ά ν -г'‘- |( σ ,0ηΗ ,+ σ > 2+ σ ° π 3)</5.Ч(16)Предположим, что тело удовлетворяет обобщенному закону Гука и докажем, что стационарному значению соответствует именноминимальное значение функционала.
Выше через δ Π была обозначена линейная часть приращения Я. Предположим, что δ Π = 0 ,и подсчитаем АП — приращение функционала с точностью до94квадратичных членов. Так как X , <т“ — постоянные, то последниедва интеграла (16) вклад в выражение для АП не дадут (в силу того, что δ Π - 0 ) . Поэтомуг 1 д2\УАП = Г δ ε ,δ ε ,,ά Υ .I 2 δ ε,,δ ε, "Согласно обобщенному закону Гукаσ \ί ~ ^к1, ЗсГу = С^к1& к1.Поэтому1 е 21УΙ δ ε β ε ,ι1 δσ42 δ εΜ12и, следовательно,Г2 δ ε υδε„4 2 СЛ& .; = 2·Последний переход основан на формуле Эйлера для однороднойфункции.
Напомним ее еще раз. Функция у = / ( х ) называется однородной степени п , если для любого Я имеет / (Ях) - Я"х . Продифференцируем по Я и положим Я = 1. Тогдаχ/'{λχ) = п Х '/( х ) , х/'(х) = п / ( х ) .В нашем случае п = 2 и поэтомуАП = ίίν (δ β 0.)δ ν .VТак как 1¥> 0, то А П > 0. Нуль имеет место только в тривиальном случае, когда деформации отсутствуют. Таким образом,стационарному значению функционала действительно соответствует его минимум.Подведем итог. Первое: у нас есть все основания для того, чтобыфункционал (16) назвать полной потенциальной энергией системы«деформируемое тело - внешнее нагружающее устройство». Действительно, сопоставим выражение (16) с выражением (3).
Относительно смысла последнего выражения у нас есть полная ясность —это потенциальная энергия упругой колонны плюс потенциальная95энергия тяжелого тела, нагружающего колонну. Первое слагаемое(3) аналогично первому слагаемому (16). Это запасенная энергияупругого деформирования тела. Второе слагаемое в (3) — аналогично двум последним слагаемым в (16). Данные слагаемые представляют собой потенциальную энергию нагружающего устройства,которое непосредственно контактирует с деформируемым телом исоздает на его границе Ξσ напряжения σ η° . Второе слагаемое в ( 16)— это система тел, которая создает объемную силу.
Если X. — вес,то это внешняя система всех притягивающих масс. Их тоже мыдолжны отнести к «внешнему устройству нагружения».Наверное, здесь уместно сказать о том, что при первом знакомстве с вариационным принципом (16) автор всегда испытывал дискомфорт в связи с тем, что два последних интеграла записаны безкоэффициента 1/2 и стоят со знаком «минус». И только примерс тяжелой массой и колонной позволил разрешить все сомнения ипонять все неформально.Итак, дадим теперь формулировку вариационного принципа.Вначале определение. Кинематически допустимым полем перемещений и (х,, х2, х3) будем называть достаточно гладкое поле,удовлетворяющее краевым условиям относительно перемещений.Вариационный принцип.
Из всех кинематически допустимыхполей перемещений действительным будет то, которое доставляетминимум полной потенциальной энергии системы «деформируемое упругое тело - внешние нагружающие устройства».§ 5.3. Дополнительная работа, принцип КастильяноIIIι1. Удельная дополнительная работа. Пусть диаграмма одноосного растяжения стержня имеет вид Р = Р(и) (рис. 5.3). Работа, затраченная на создание смещения и , равнаиА(и) = | Р(и)Ви .IIIД||IIII',|II96Щ||£Следовательно, процесс деформирования можно характеризовать интегралом, соответствующим вертикальной штриховке нарис.
5.3. Но ничто не мешает использовать и альтернативную характеристику процесса — интеграл, соответствующий горизонтальнойштриховке на рис. 5.3:РΩ(Ρ) = Г Μ{Ρ)άΡ.ОЯсно, чтоάΑ = Рс!и,сЮ = иАР,ά{Α + Ω) = ά[μΡ),А + Ω = иР.Величина О называется дополнительной работой. Аналогичныеопределения для элементарного объема упругого тела имеют вид:ά \ν = сгсЦ., с1А = ει]ά σ η,ά (Ψ + А) = ^ ( σ ^ .) ,\У + Λ = σ.ττ..Величина Λ называется удельной дополнительной работой. Ясно,что_ дА (аы)'УΒ σ,’т. е. Л(сг ) — это потенциал для поля деформаций (формула Кастил ья но).972. Принцип Кастильяно.
Принцип минимума полной потенциальной энергии мы построили, исходя из уравнений Ламе. Мы выписали упругие уравнения Ламе и стали подбирать такой функционал, чтобы условия его стационарности (т. е. уравнения Эйлера —Остроградского) совпали с уравнениями Ламе. Здесь мы поступимнаоборот — сразу сформулируем вариационный принцип и затемпосмотрим, каким упругим уравнениям соответствуют условия стационарности принятого функционала.Введем функционал(17)Величина Ψ называется дополнительной работой. Здесь, как ипрежде, 8и — часть границы, на которой задан вектор перемещенияΰ ° , σ η — граничные напряжения. Будем считать, что напряжениясвязаны уравнениями равновесия и краевыми условиями относительно напряжений:дх]дх2дх3дХ\дх2дх}дх]дх2дх3(18)σПоле напряжений, удовлетворяющее условиям (18), называетсястатически допустимым.Принцип Кастильяно.
из всех статически допустимых полейнапряжений действительным будет то, которое доставляет минимумдополнительной работе.Докажем это. Согласно методу неопределенных множителейЛагранжа, задача сводится к поиску минимума следующегофункционала:98+, ( д а δσ„ да„+ Я, — - + — 2±+ — - + ЯГ,^ дх1 дх2дхъ( 19)- |[(σ η«ι + σ,2«2 +а„п})и° ++ ( σ Ι2η ι + σ22η 2 +а23п 2) и °2 + (ст13и,+ ст33и3)и" ]^5.+ аТеперь все шесть функций а,- можно считать независимыми. ОбраIимея к справочной формуле (5).
Для каждой из вариаций δ σ 0 выпишем соответствующее уравнение Эйлера — Остроградского:ЭЛ(<х) _ эя,ЭЛ _ЭЯ,ЭЛ _ЭЯ,(20)дЛ _ ЭЯ, ^ ЭЯ,ЭЛ _ ЭЯ, + ЭЯ,Эсг|2Эсг]3дх2дх] ’дхгδΑ _ ЭЯ2 + ЭЯ,дх] ’ д а 2Ъдх,Эх,Система представляет собой шесть уравнений. Слева в каждомиз них стоит определенная конечная комбинация напряжений, равная соответствующей деформации.
Деформации — это комбинациичастных производных смещений л, по координатам (соотношенияКоши). Но в уравнениях (20) справа стоят точно такие же комбинации переменных Я, по координатам. Отсюда можно заключить, чтоЯ, = и ,. Далее, слева в уравнениях (20) фигурируют шесть переменных <х , а справа — только три переменных Я,. Если последниеисключить, то получим уравнения, где фигурируют только напряжения. Ясно, что это будут тождества Сен-Венана, записанные черезнапряжения. Таким образом, для шести переменных сг три уравнения (уравнения равновесия) задаются непосредственно, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
