1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Однако подобные тела к упругим не относятся. Ясно, что за цикл «нагружение - разгрузка» частьэнергии внешних устройств необратимо рассеивается в теле. Такиетела называются телами с внутренним трением и используются длягашения различных колебаний и вибраций. Данное выше определение указанную ситуацию исключает. Очевидно, что растягивающей75силе Р° могут отвечать два значения смещения — и, и и2.
Следовательно, зависимость от истории нагружения — есть.Рассмотрим теперь, какие уравнения можно извлечь из принятого определения упругого тела. Вначале выведем одно интегральноетождество. Оно того же типа, что и тождество (6). Отличие будетсостоять только в том, что здесь мы рассмотрим не работу, а мощность внешних сил и, кроме, учтем инерционные члены.
Итак,Преобразуем отдельно следующее слагаемое•IЯ/Я/”δί дгр_а11 2 Я/δίν8()ди· Т ά ν = — Κ ,(IV- —δίд(}· 2 I δί ,где— кинетическая энергия тела (т. е. сумма кинетической энергиивсех элементарных объемов тела). Теперь тождество (8) можно записать таким образом:илиάΑ = άΚ + 1 σ ηάβ^άΥ,(9)νгде А — работа, совершаемая поверхностными и объемными силами. Следует подчеркнуть, что при выводе тождества никакие связи76между напряжениями и деформациями не использовались. Следовательно, равенство (9) имеет место для любых связей сг <-» .Обратимся теперь к понятиям термодинамики.
В термодинамикенаряду с понятием механической работы вводится понятие количества тепла и соответствующего ему механического эквивалента.Возьмем некоторое тело V. Пусть άΑ — работа внешних сил ис/(1 — количество тепла, подведенного к телу за время ά ί . Согласно первому началу термодинамики (это не что иное, как закон сохранения энергии), подведенная работа могла пойти только на увеличение кинетической энергии тела άΚ и на увеличение внутренней энергии тела и :άΑ + ά ρ = ά Κ + ^ ά ϋ ά ν .( 10)VПодставив (9) в (10), получим^ σ υά ε υά ν + ά Ο = ^ ά υ ά Υ .V( 11)УРассмотрим два основных случая.а) Адиабатические процессы, которые совершаются достаточнобыстро, так что обмена теплом не происходит. При άζ) = 0 имеем^ σ υάευά ν = ^ ά υ ά Υ .У(12)УПредположим, что внутренняя энергия элементарного объемазависит только от достигнутых величин деформаций этого объема:и = υ ( ε υ).(13)Дальше технически все довольно просто.
Из (12), (13) заключаем, чтодиσ-. йЦ, = ά υ , σ. =δε,.Переобозначим и через Ψ и на основании равенстваσ>]770ε,:(14)назовем Ψ упругим потенциалом. Таким образом, для адиабатических процессов имеют место определяющие уравнения (14), гдеупругий потенциал Ψ имеет смысл внутренней энергии.б) Изотермические процессы — это достаточно медленные процессы, когда температура тела Т поддерживается постоянной:Т = соп81. В этом случае άζ) = Τά83 = άΤΞ,, где— энтропия. Отсюда из равенства (11) получимσ νάευ = ά (υ -Ώ > 3).Введем обозначение1У = и - Т 8 эи предположим, что 1¥ = 1¥(εν) . В результате придем к равенству (14) — формуле Грина.
Новой будет только интерпретацияупругого потенциала.Предположение (13) есть фундаментальная основа всей нашейтеории. Именно здесь мы отметаем все варианты возможной зависимости поведения тела от истории его нагружения. Именно этим равенством — равенством (14) мы даем определение упругого тела,точнее, даем определение идеально упругого тела, или гиперупругоготела.
Условие (14) жестче, чем просто требование однозначной связинапряжений и деформаций. Ниже будем рассматривать только идеально упругие тела, поэтому слово «идеальные» будем опускать.В заключение докажем теорему единственности в решении динамических задач линейной теории упругости. Запишем тождество (9) в приращениях и учтем (14):ди, V\ σ ηάΠ ·άΞ + ^Γ ·ά ΰά Υ = ά Р_άν2 ■ д( у5• (15)VПусть начально-краевая задача имеет два решения:Все переменные зависят от х1, х 2, х 3 и 1.Возьмем разности решенийσ υ = σ ϋ ~ σ 'ρ и, = и" г и'г78* * = < -< ·(16)Уравнения линейны. Поэтому тождество (15) будет иметь место идля разностей (16).
Очевидно, что для разностей (16) Р - 0 , и поэтому второе слагаемое в левой части равно нулю. Первое слагаемое равно нулю в силу краевых условий. Таким образом, приращения двух неотрицательных интегралов равны нулю. Следовательно,весь вопрос сводится к выяснению из значений в начальный моментвремени. Интеграл для кинетической энергии равен нулю в силузаданных начальных условий для скоростей, интеграл для потенциала Ψ равен нулю в силу заданных начальных смещений.
Отсюдаπ ( 15) заключаем, что и в последующие моменты времениТаким образом, решение линейной динамической задачи — единственно.§ 4.3. Анизотропные упругие среды. Обобщенный закон ГукаПонятие упругого потенциала позволяет по-новому подойти кпостроению определяющих уравнений. Для упругого тела определяющие уравнения связывают напряжения и деформацииНаличие упругого потенциала накладывает на данные связипринципиальные ограничения:д(Т„ _ д а и(17)деидеиОни сразу следуют из равенствад2\Уδ2\νδε,δε,, δε,,δε^Таким образом, теперь конструирование определяющих уравнений можно осуществить путем выбора того или иного вида упругого потенциала \Υ(ε(]) :(18)Аддитивная постоянная С никакой роли не играет.
Ее можно отбросить. Члены первой степени также необходимо отбросить. Ос79нованием для этого является гипотеза о существовании естественного состояния: нулевым деформациям тела отвечают нулевые деформации в нем. Следовательно, все напряжения и деформации тела отсчитываются от его естественного состояния.Можно указать довольно много ситуаций, когда естественногосостояния не существует: например, когда при отсутствии внешнегонапряжения внутренние напряжения в теле тем не менее есть. Такиенапряжения называются самоуравновешенными. Представим себецилиндрический образец, из которого удален небольшой сектор(рис. 4.3).
Соединим берега выреза вместе, склеим их, и получимобразец с внутренними самоуравновешенными напряжениями. Вметаллах самоуравновешенные напряжения могут появиться в результате его передела, в горных породах — в результате процессових формирования. Если данные напряжения не влияют на линейность поведения материалов, то больших проблем нет.
В линейнойтеории их можно не учитывать. Получение в результате решениялинейной задачи напряжения накладываются на исходные, самоуравновешенные. Однако если нас интересует разрушение материала, то в соответствующих критериях необходимо учитывать ужеполные напряжения. Более сложной будет ситуация в нелинейныхслучаях. Здесь самоуравновешенные напряжения могут уже явнофигурировать в уравнениях для определения дополнительныхнапряжений. В данной книге мы ограничимся только основнымслучаем, когда естественные состояния существуют.Рис.
4.3Далее, наличие квадратичных членов в (18) приводит к линейнымсвязям напряжений и деформаций. Кубические члены должны отсутствовать как не имеющие механического смысла. (Если σ. = кег{ , то80т а к напряжения не зависит от знака деформаций.) Члены четверт и степени в (18) допустимы и т. д. Остановимся на линейном варианте. Пустьσ >ί = СукРы ■Из симметрии тензоров и формулы Грина (14) следует, чтоС —'-'уШС ’ ’-'СДОМ= '-'/у/*’СС */ —УС'Ы1/’'-'у*/( 19)Таким образом,= С1Ц|£,| + ^,122¾ + С, 133^33(Т22=^ 2 2 ! I+ 1 ! +^2222^22+^ 2233¾+- 2С7,,3,£·,3 +2С, ,23^23>+2^2212^12 +2^2231^13 +2^2223^23 >σ33 = ^-3311+11+ ^3322^22 + ^3333^33 + 2^33,,6,, + 2С33з,£|3 +,(7,2 = 0,21,6·*,, + ^-,222+22 + ^3233+33+ 20,2|26|2+ 2С]23]£,3+ 2(3,223¾,(7 ,з = С , 3, ,6',, +0,322^22 + ^1333¾+ 2 С ] 3|26'|2 + 2 С ,33,£*,3 + 2 0 , 3336-,3,(7,3 = 0 231,6 ,, + 0 2322^22 + 0 ,333¾ + 2 0 23|2£·,2 + 2 С 23з,6'|3 + 2 0 ,,,36 ,3,| де Счк, — упругие постоянные.
Подсчитаем их число. В первомуравнении 6 постоянных. В силу симметрии во втором уравнении5 постоянных, затем 4, 3, 2 и 1. Всего 21 постоянная. Таким образом, в самом общем случае анизотропный упругий материал характеризуется 21 упругой постоянной. В другом крайнем случае, когдаматериал изотропен, имеем 2 упругие постоянные £ и у .Представляет интерес целый ряд промежуточных случаев: ортотропная среда и другие частные случаи анизотропии.В заключение приведем выражение для упругого потенциалаIV = —σ2чε и = —С2цк· (/ «/.Коэффициент 1/2 — это следствие формулы Эйлера для однородных функций степени 2. Напомним ее вывод. Функция у = / ( х )называется однородной степени п, если/(Я х ) = Л "/(х).Продифференцируем равенство по Я и положим Я = 1.
Получимх/'(Ях) = иЯ"_|/( х ) , х /'(х) = п / (х) .81§ 4.4. Формула и теорема взаимности БеттиПусть упругое тело удовлетворяет обобщенному закону Гука.Возьмем два его элементарных объема. Первый объем нагрузимнапряжениями σ '., а второй объем — напряжениями σ " . Напряжения вызовут соответствующие деформации ε'. и ε " .Подсчитаем работу напряжений первого состояния на деформациях второго состояния:Г " С' п„Г _п гσ иε и СукРкРц( 20 )' к1ц£ и£ к1 ~ ° к / £ к/ ·Оказывается, она равна работе напряжений второго состояния надеформациях первого.
Выражения (20) названы работой только дляудобства. На самом деле это только некоторые формальные суммы.Равенство( 21 )σ 0£ ϋ ~ СГк1£ к1называются формулой Бетти.Перейдем теперь к теореме Бетти. Запишем еще одно энергетическое тождество. Оно отличается от основного энергетическоготождества только учетом инерционных сил. Это значит, что комбинация напряжений σ η заменяется теперь не на - / г , а надочдХ)·Таким образом,αάΥ -1σ ^ε^άν .( 22 )VКак и прежде, σ η — это граничные напряжения; Р — объемныесилы; ΰ ,σ υ,ε 0 — смещения, напряжения и деформации.Возьмем теперь два идентичных экземпляра одного и того жетела V. Первый экземпляр тела нагрузим системой сил, которуюотметим одним штрихом. Соответствующие смещения, напряженияи деформации отметим также одним штрихом.
Второй экземпляртела нагрузим другой системой сил. Для нее будем использоватьдва штриха. Напряжения и деформации в тождестве (22) между со-Г>ой никак не связаны. Поэтому ничто не мешает в правой части по'1ожитьσ и - σ ч.Предположим теперь, что тело удовлетворяет обобщенному закону Гука. Тогда, используя формулу Бетти и тождество (22), получим|5σ·„ ■й 'ά 5 + \ \ Х 'г - р ~ г λ ίΤ ά ν = 1 σ ',ε ίά ν =VνΟΙ= | σ ; ε \μ ν = \σ'„ · Μ+)γ(23)X ' - ρ ~ ] ΰ'ά ν.Таким образом, для линейно упругого тела, удовлетворяющегообобщенному закону Гука, работа сил, включая силы инерции, первого состояния на перемещениях второго, равна работе сил второгосостояния на перемещениях первого (теорема Бетти):>Λо и\σ 'η·Ώ'άΞ + \ [ χ : - ρΰ'άν = |(Т "и'с/5д(283ίК -рд2й " лдгΰ’άν.Глава 5.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫТЕОРИИ УПРУГОСТИ§ 5.1. ВведениеПусть нам известно, что переменная х приняла определенноезначение, например х = 5 . Эту информацию можно сообщить разными способами. Можно, например, взять функцию / (х ) , котораяимеет корень х = 5 , и сообщить: / (х) = 0 . Можно взять функциюЯ(х) , которая в точке х = 5 имеет минимальное значение, и сообщить: Р(х) —у т ш . Ясно, что для разных функций ценность такихсообщений будет различной. Может оказаться, что, кроме х = 5,функции могут иметь много других корней и минимумов. Это однаситуация. В других ситуациях можно подобрать другие функции,чтобы значение х = 5 было единственным корнем / ( х ) или единственной точкой минимума Я(х). Причем степень «остроты» минимума может быть различной. В идейном плане все указанные ситуации равноценны между собой.
Однако с точки зрения практической реализации (т. е. поиска корня или минимума) различия междуними очевидны.Точно так же и для упругих тел задачу поиска распределениянапряжений, деформаций и перемещений можно поставить либокак задачу решения определенных дифференциальных уравнений,либо как задачу поиска минимума (стационарного значения) техили иных функционалов.Рассмотрим один пример. Возьмем вертикальную колонну высотой Я. Предположим, что на нее необходимо положить некоторуютяжелую массу М ( рис. 5.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
