1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Именно в таком виде данная формула потребуется в дальнейшем.§ 9.4. Приведение основных краевых задач плоскойтеории упругости к функциональным уравнениямРассмотрим первую основную краевую задачу для конечной односвязной области 5 . Отобразим область на единичный кругв плоскости ς . Задача сводится к тому, чтобы найти две голоморфные в круге функции φ{ς) и ψ{ς) при условии, что они связанызависимостьюφ(σ) + = ύ = φ ' { σ ) + ψ(σ) = / ( σ ) ,ω'(σ)где, как и прежде, а = е'а — точка на окружности γ ,/0 Ф = «л[ ( Χ η+ ίΥ„ №о188(16)— задано. Последнюю функцию считаем достаточно гладкой, именно, считаем, что /(>9) однозначна, непрерывна и имеет непрерывную по ι9 производную, удовлетворяющую условию Гельдера [5].Функция ψ ( ς ) голоморфна в области Σ+.
Возьмем произвольную точку ς е Σ 1' и перепишем формулу Коши (9) для ψ ( ς ) :(17)Если функция φ(σ) каким-то образом определена, то граничноезначение ψ{σ) можно считать известным из соотношения, сопряженного к (16):ψ( σ ) = /(σ -) - φ { σ ) ----— <рХ&) .ω(σ)Подставим (18) в (17) и учтем, что согласно (15)(18)Получим следующий результат:Таким образом, задача свелась к определению одной функцииφ{ς) из условия (16). Для этого исключим из (16) функцию ψ ( σ ) иполучим уравнение, в которое войдет только функция φ . Функцияψ{ς) голоморфна в области Σ+.
Возьмем ς &Σ' и запишем формулу (15) для ψ{σ):( 20)Если подставить ψ ( σ ) из (16) в (20) и воспользоваться формулой Коши для φ :189то можно прийти к следующему уравнению:1 Γω(σ)φ'{σ)άσ2т * ω'(σ)'σ-ς2πΐ*/ ( σ)άσ(21)σ -ςУравнение (21) называется функциональным — в нем фигурируют как граничные значения голоморфной в круге функции, так изначения функции внутри круга.
Для второй основной краевой задачи, когда на границе заданы перемещения, все построения будутаналогичны рассмотренным выше.§ 9.5. Решение первой основной краевой задачи для кругаПусть в плоскости г область 5" представляет собой круг радиусом К . На единичный круг она отображается тривиальным образомс помощью функцииζ = ω(ς) = Κς .Отсюдаω(σ)( 22 )ω\σ)Функциональное уравнение (21) приобретает следующий вид:Займемся интегралом в левой части уравнения. Функция φ(ς)голоморфна в области Σ +. Следовательно, ее можно искать в видерада(24)φ(ς) = α0 + α,ς + α2ς 2 + α3ς 3....Если учесть, что(25)σтс можно записатьσ ■φ \ σ ) = α,σ + Ρ{ σ ) ,где190ч3α, 4а.Ρ (σ ) = 2α, н--- 4 + —4.
+ ....σσ'Функция Ρ(ς) голоморфна в области Σ*, причем Ρ(οο) = 2α2.Функция α,ς — голоморфна в области Σ+. Точка ς в интеграле (23) берется вне области Σ ' , т. е. в области Σ+. Поэтому1 г Ρ(σ )ά σ2πί ·"-ς2α,_ ι г αχσάσ-αχς .2πί’ σ - ςОтсюда и (23) следует, чтоψ(ς) + αχς + 2α2 = —1 ίГβ σ )ά σ2πι ■*(26)Осталось вычислить постоянные α, и α2. Проще всего это сделать таким образом. Разложим последний интеграл в (26) в ряд постепеням ς :1 ί /(σ)άσ2т Ί σ - с1 г(2т ·>I- Γ ι + ϋ ^ 2 ·2т г*βσσ,ι^σ(27)1 гβ σ | ς г/ά σ |τβσ [2πΐ*У σ2πί^У σ 2 2 π Υ ί σ 3Подставим (24) и (27) в (26) и приравняем коэффициенты при ςи д 2. В результате получима, + а,а21 Гϊ ( σ ) ά σ2т ■* σ:У1 г ϊ ( σ )ά σ2πί ·*У σ3191(28)Решение существует, если мнимая часть интеграла (28) равна нупю.
Напомним, что данное условие совпадает с условием отсутствия главного момента внешних сил, действующих на деформируемую область:2π| ( - / 8Ϊη Э + / 2соз>9)й?.9 = 0 .ОДанное условие выполняется. Таким образом, функция φ{ς) вычислена. По известной функции φ{ς) функция ψ(ς) легко определяется из условия (19).192Глава 10. ТРЕХМЕРНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИТЕОРИИ УПРУГОСТИ§ 10.1. ВведениеТрехмерные задачи рассматриваются в перемещениях [6, 7]. Постановка задачи следующая: требуется найти поле перемещенийи, ν, νν, которое удовлетворяет уравнениям Ламе1 δε+ Аи —0,1- 2ν дх1 δε+ Δν = 0,1 - 2 ν ду(1)_ δν δ\νди1 δε+ Δντ = 0, ε —-----1------ 1----- ,1- 2ν δζдх йу &а также удовлетворяет заданным краевым условиям.
Если область,где ищется решение, бесконечна, то ставятся также условия на бесконечности. После определения перемещений вычисляются деформации и затем по закону Гука — напряжения. Для трехмерных задач,в отличие от плоских, нет математического аппарата, аналогичноготеории функций комплексного переменного. В свое время было показано, что в трехмерном случае аналог подобного аппарата построить невозможно.
Поэтому здесь будем действовать по-другому.Вначале рассмотрим упрощенную постановку исходной задачи:отбросим краевые условия. Будем искать различные классы точных решений системы (1), не принимая во внимание никаких краевых условий. Задача (1) является линейной, поэтому любая линейная комбинация построенных решений будет являться такжерешением.
Ясно, что, располагая достаточно большим произволомв гаком решении, можно удовлетворить определенным видам краевых условий. Некоторые специальные решения можно использовать в общей теории интегрирования уравнений Ламе.Выше было показано, что функция ε (дивергенция вектора перемещений) является функцией гармонической, а компоненты перемещений — функциями бигармоническими. Напомним вывод.Продифференцируем первое уравнение (1) по переменной х , второе — по у , третье — по ζ . Сложим уравнения. Сразу получим,что Α ε = 0 . Далее применим оператор Лапласа к каждому из уравнений (1).
Получим системуААи = 0, ΔΔν = 0, ΔΔνν = 0 .(2)Система (2) следует из (1), но, конечно, ей не эквивалентна.Ясно, что взятие вторых производных от левых частей ( 1) приводит к существенным потерям информации. Поэтому не все решения уравнений (2) будут удовлетворять упругим уравнениям (1).Следовательно, план действий должен быть таким.
Вначале ищемрешения системы (2), причем находим их достаточно произвольно.По-другому можно сказать так: находим решения (2) с точностьюдо произвольных функций. Далее полученное решение подставляем в (1) и получаем новые уравнения на указанные «произвольные» функции. Если данные уравнения удастся удовлетворить засчет уменьшения произвола, то можно считать, что некоторыеточные решения упругости построены. Таков общий план. Перейдем к описанию его реализации.§ 10.2.
Метод Буссинеска построения частных решенийуравнений Ламе через гармонические функцииПрежде всего отметим, что бигармонические функции можнопредставить через функции гармонические, т. е. функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа. Так, если функции φ и / будутфункциями гармоническими, то следующие функцииφ ,φ + χ · / , φ + γ · ϊ , φ + ζ · / ,/ 2 + у 2 + ζ 2ч/*''φ + {χ)/будут бигармоническими. Это нетрудно проверить.
Действительно, вторая производная произведения функций и ■ν равна(ну)" = ι/*ν + 2и ν' + и г".ОтсюдаА(х ■/~) = 2 — + х А / = 2 —дхдхФункция / — гармоническая, значит, и любые ее производныетоже функции гармонические:Δ/ = 0,Δ — = 0,дхΔ—ду1940,А— =0 .дгСледовательно,Δ Δ (/ γ) = 2 ^ = 0,ихт. е. функция х / — бигармоническая. То же самое можно сказатьо функциях у / и г / .Для функции г2/ , гдег" = х 2 + у 2 + Ζ2,имеемд2αχ",,,ήίαν, д2/,αν"-— [(.г + у- + ζ ) / ] = 2 / + 4 х ^ - + г-А а/ахΔ ( γ 2/ ) = 6 / + 4 X — +а/д /λ+ 2 + γ 2Δ / =а_уV—дга/а /Л= 6 / + 4 х — + у— + Ζ—ах&Так как^ а/а/а /лх — + V— + Ζ— - 0 .ахсфдгто из последних двух равенств сразу следует, чтоΔΔ(χ2/ ) = 0 .Для первой функции из списка (2) проверка тривиальна: еслиΑφ = 0 , то ΑΑφ - 0 (можно было бы неформально сказать «тем более ΔΔ^ = 0»).Таким образом, проблема выбора подходящих бигармоническихфункций свелась к подбору гармонических функций, фигурирующих в представлениях (2).
Следовательно, для построения частныхрешений необходимо располагать определенным набором гармонических функций. Известно, что важную роль в этом наборе играетфункция1 , ,2 2х-3φ = — = (х + у + ζ ) -.гВыкладки, которые показывают, что данная функция являетсягармонической, будут полезны в дальнейшем. Проведем их.195Ясно, чтодг1 _ 2 дг _2х,дхдхдг _ хдг удгдх г ’ ду г ’ дггГд г η _ д Г П дг_ = 1 хг2 гдх уГ) дг и ) дхгд_ Г Пд ГпУзг3’ дг и удух(4 )3Для вторых производных имеемд2дх2дхд х \г уд2 Г Пдг1 \ г )Следовательно, Мг(-х г 3) = - г 3 + Зх2гэ 1 Гп1}£_г{+ г51У + Хду3ζ2——функция гармоническая:Г1Л\г )= 0 .Гармоническими будут и любые производные от данной функции, например, первые производные (4).
Их тоже включим в арсенал наших средств в поиске частных решений уравнений Ламе.§ 10.3. Некоторые частные решения уравнений Ламе1.Обратимся к четвертой функции из списка (3). Попробуемнайти решения в следующем классе функций:ду/дшдши - φ ,+ ζ, ν —τ, + -г ——, \ν = φί + ζ( 5)дхду'дгФункции φι, φ2, φ3, ψ -— гармонические. Поэтому и , ν , νν будут функциями бигармоническими. Теперь представление (5) необ196ходимо подставить в уравнения Ламе ( 1) и дальше за счет суженияпроизвола в (5) — попробовать удовлетворить этим уравнениям.И з(5 )следует, чтоди _ д(Р\дхдхδνδφΊδ 2ψдх2δ2ψдудудуды _δφ2δζδζδ 2ψ δψδζ2 δζОтсюда с учетом того, что Α ψ = 0 , получим„ _ дщ | д<р2 | δφ3 | δ ψдхдуδζδζ( 6)Вычислим Δη . Так какд2 ( δψдх V дхд2 ( δψζду2 дх63ψ' дх3 ’=ζа>дхбу2д2 ( δ ψ λ о δψ , _ а у—λ -------ν ζζдхдхдуδχδζ2δζ2тоδψΔη = Δ φ' + ζ ~ Γοχ(2 &ψδχδζ2 ’Αν - А φ2+ ζδψдуΔη’= Δ φ2+ ζδψ Λ 9е у5ζ2 'δζ1972^ν_дудг(7)П о д с т а в и м (6 ), (7 ) в у р а в н ен и я (1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
