1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Следуя тому же общему правилу разделения эффектов искажения формы и изменения величины объема, напишем трехмерные определяющие соотношения вязкоупругости в форме интеерилов ползучесиссс ° 291 99. АНАЛИЗ ВЯЗКОУПРУГОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ (9.51а) (9.5! б) 9.8, Анализ вязкоупругого напряженного состояния. Принцип соответствия Задача исследования напряженного состояния нзотропном вязкоупругом теле, которое занимает ограничено поверхностью 5 (рис.
9.12), ставится следующим Образом. Пусть заданы массовые силы Ь,, действующие внутри У, и пусть на части О„границы тела известны внешние поверхностные силы 1(АЯ (х„, 1), а на части 5, поверхности тела— смещения поверхности а,. (х„, 1). Тогда система, дающая постановку Рвс. 9.12. задачи, состоит из следующих соотношений: 1) уравнения движения (или равновесия) бил+ Ь~ — — ри;; в некотором объем 1' и (9 52) 2) соотношения, выражающие деформации через перемещения 2еп = (и;„+ ил1) (9.53) 10' и интегралов релаксации д!' О Ф би = ~ 1р„(1 — 1') —,са'.
(9.50б) 9 Для того чтобы распространить на трехмерный случай описание вязкоупругого процесса при помощи комплексного модуля, требу- ется ввести комплексный объемный модуль К*. Уравнения, раз- дельно написанные для чистого сдвига н для чистого расширения, таковы: зц = 26* (йо) е;1 =- 2 (69 + 16 ) е;, би = ЗА* (йо) еи = 3 (Кг + 1К ) ен. Гл. 9. ЛИНЕЙНАЯ ВЯЗКОУПРУГОСТЬ (9.54) Преобразования уравнений теории вязкоупругости о;;,г+Ь,=О 2ел = (и~ г+ и;;) 4АЯ суп; =4 на 5, и, = д, на 5, Р(з) зу = 2чг(з) гу пи = ЗКеи пупг = 6~" на 5, ьч и,=у, на 5, еу = 26еу ои = ЗКеи или скорости деформации через скорости 2еи = (о;;+ оп;); 3) граничные условия оп(хь, Оп,(х„) = 4"'(хм )) на 5,, и;(хА, Ф) =а,(хгР () на 5,; 4) начальные условия и,(хгР 0) =и, (9.57) о,-(х„, 0) = о;, (9.
58) 5) определяющие уравнения, записанные в одном из следующих видов: а) через линейные дифференциальные операторы, т. е. в форме (9.48), б) через интеграл наследственности, т. е. в форме (9.49) или (9. 50); в) через комплексный модуль, т. е. в форме (9.51). Если форма тела и условия нагружения достаточно просты и если поведение материала может быть представлено одной из простейших моделей, то приведенную выше систему уравнений мож- но проинтегрировать непосредственно (см.
задачу 9.22). Однако для более общих условий обычно принято искать решение, поль- зуясь принципом соответствия упругой и вязкоупругой задач. Этот пршщип основывается на том, что система основных уравнений тео- рии упругости и преобразования Лапласа по времени вышеприве- денной системы основных уравнений теории вязкоупругости запи- сываются одинаково. Соответствующие уравнения для квазиста- тических нзотермических задач, в которых черточки означают преобразования Лапласа по времени, например Дх„, з) = ) 7(х, г)е — *И, (9.59) о сопоставлены в следующей таблице: Уравнения теории упругости пул+Ь,=О 2еу = (ис + ир) ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Из этой таблицы видно, что если 6 в уравнениях теории упругости заменить на ь//Р, то обе группы уравнений будут иметь одинаковую форму.
В силу этого, если в решении соответствующей задачи теории упругости О заменить на г",1/Р для вязкоупругого материала, то полученный результат будет преобразованием Лапласа решения задачи теории вязкоупругости. Обратным преобразованием найдем само решение для вязкоупругого материала. Этот принцип соответствия может быть установлен и для задач, отличных от квазистатических.
Более того, определяющие уравнения не обязательно записывать через линейные дифференциальные операторы, а можно брать в виде (9.49), (9.50) или (9.5(). В предлагаемых далее конкретных задачах каждый раз будет указываться форма, в которой следует использовать этот принцип. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Простейшие механические модели вязкоупругого поведения (9 9.1 — 9.3) 9.!. Проверить правильность соотношений между напряжениями и деформациями, данных формулами (9.3) и (9.4) для моделей Максвелла и Кельвина соответственно. В модели Максвелла (рис.
9.2, о) полная деформация равна сумме деформации пружины и перелгешення поршня в вязком элементе. Таким образолг, е = ел + + е, а также е = ел + ер. Так как напряжение в каждом элементе равно а, формулы (9.1) и (9.2) позволяют найти в а/О+ а/г1. В модели Кельвина (рнс. 9.2, 6) а = аз + оо и непосредственно нэ формул (9.1) и (9.2) получаем о Че+ Се.
9.2. Использовать операторную форму соотношения между напряжением и деформацией для модели Кельвина и получить закон, связывающий напрягкение и деформацию в стандартном линейном твердом теле (рис. 9.3,а). В указанной модели полная деформация равна сумме дефорлгашгй упругого элемента и элемента Кальвина, т. е. е = еэ + е , или в операторной форме е = о/О, + а/( О, + Члдт). Отсюда находим О, (Оа + гглдг) е = (Оэ+ т1эдт) а -1- Оло н, следовательно, 0,0,е + Олт(лв = (О, + 0,) о -(- т),а. 9.3. Написать соотношение, связывающее напряжения и деформации в четырехпараметрической модели (рис.
9.4). При т)з-ь -Р оо сравнить с результатом задачи 9.2. Гл. З ЛИНЕйнля ВЯЗКОУПРУГОСТЬ Для указанной модели полная деформация вычисляется как сумма е е + + е, иля в опера~орной форме как е = а/(бе+ 11 дг) + (дг + 1/т,) о/61 (дг). Распишем операторы н сгруппируем члены: а+ (61 11, + (О, + 0 )/Чт) а+ Огбта/(Чгпт) =О е+ Огбаег11,. При Чг .ь со зто соотношение принимает вид а+ (61+ Она/т1, бе+ + б,б,е/чт, что зквивалентно результату.
полученному в задаче 9.2. 9.4. Рассматривая модель, изображенную на рис. 9.13, как частный случай обобщенной модели Максвелла, найти для нее сос т) 1 отношение между напряжениями и деформациями. Равенство (9.10) при /У = 2 дает о о бе 1 с, ')а 1д+е/ 1 + б,в Рис. 9.13. (дг+ 1/т.) Выполняя указанные действия, получаем (дг + !/тт) (а + а/т,) = 61 (дг+ 1/т,) е + 0 (де + 1/тд) е. Раскроем операторы и перегруппируем члены; зто дает Оте е '=""+ (д/) + (дг/бз+ !/Ча) нли (д,/6, + 1/чт) а = (дг/ба + 1/чз) (тае + О,е) + е.
Выполняя действия, указанные операторами, получаем Рнс. 9.14. о/б, + о/та гне/б, + (1 + От/Оз+ ти/Чд в+ Ов/тнв что после интегрирования можно записать в форме т)та + Оао = 111тне -1- (О,т)„+ б„т), + багЬ) е + О Оае. а + (та + т,) а/т,т, + о/тдтт = (01 + бг) е + (О„'т, + 6,/т,) е. 9.5. Модель, изображенную на рис. 9.14, можно считать вырожденпьш случаем обобщенной ьюдели Максвелла (/1/ = 3) при 61 = Ч, = оо. Используя такие значения о коэффициентов в уравнении (9.10), написать соотношение между напряжениями и деформациями для этой модели. с з В данном случае уравнение (9.10) принимает внд ) апачи с ввшвнцими Ползучесть н релаксация ($9.4) 9.6. Найти выражения для характеристик ползучести в моделях Кельвина и Максвелла непосредственным интегрированием уравнений (9.17) и (9.21) соответственно.
Пользуясь интегрирующим множителем егЛ. из уравнения (9.П) находим гл "о ~вил [ц(! )1 б! о а применяя формулу (9.18), имеем еепт = (о, [ц (г))л)) [таг'л~г = (о /б) (ецт — 1) [ц (!)[, нли е = (оо/б) (1 — е~Л) [ц (Г)1. Возьмем ест в качестве интегрирующего множителя в (9.21); тогда оегл = б е~~ ег л [б (!')1 ги', е и по формуле (9.28) получим ое~!"= бе,[ц(!)1, или и бее Лт[ц(!)1, 9.7. Найти деформацию ползучести для стандартного линейного твердого тела (рис. 9.3,а). В силу того что е ез+ ек, леформация ползучести для данной модели, согласно (9.!) и (9.!9), вычисляется по формуле е (!) = [!/б, + (1(бо) (1 — е )т*)1 о, [ц (()1. Тот же результат можно получить, положив Чз со в обобщенной модели Кальвина(прий! 2), где лефорл1ацня равна е ~lг(1 — е цт!)оо[Ц(!)1, или не- г ! посредственным интегрированием закона, связывающего напряжения н дефорл1ацни для стандартного твердого тела.
Читателю предлагается провести соответствующи выкладки. 9.8. Эксперимент по исследованию обратной ползучести состоит нз нагружения, как в опыте на ползучесть: о = ао сохраняется некоторый период времени, а затем мгновенно снимается. Найти кривую деформации обратной ползучести для стандартного твердого тела сг (рис. 9 З,а) при законе нагружения, изображенном на рис.
9.15. Пока приложена нагрузка (т. е при ! < 2та < 2тй. как найденов задаче 9.7, деформация Рис. 9, 15. о еияется по закону е = по [1(бз + (! /бо) (! — е 'Л')1. В момент ! = 2то нагрузка снимается, о обращается в нуль и одновременно восстанавливается упругая деформация оо(бм При г,л2т, изменение леформаци« Го. О.
ЛИНЕЙНАЯ ВЯЗКОУПРУГОСТЬ описывается уравнением в+ е/т = О, которое отражает закан связи между напряжением и деформацией для указанной модели прн о=о (см. задачу 9.2). Решение этого дифференциального уравнения есть е = Се г/о', где С в постоянная, а Т = / — 2т,. При Т = О мы имеем е = С= оо(! — е ~)/6„ следователыю, е = оо(! — е ) е /о'/бо = оо(ео — !) е 1/тбб прн / > 2 9.9.
Модель, изображенная на рис. 9.!6, растягивается с постоянной скоростью е = ео//л, как показано на рнс. 9.11. Найти 8 Рис. 9.)б. Рис. 9.(7. напряжение в такой модели при указанном процессе деформирования. По результатам задачи 9.5 зависимость между напряжением и деформацией в такой модели будет описываться уравнением и+о/г Че+Збе+бе/т, а для нашего случая уравнением о+о/т = Збеобл+ бео//т/л. Проинтегрируем его и найдем о = е, (2Ч + 6/)//л + Се 1/', где С вЂ” постоянная интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
