1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Математически про. цесс нагружения при ползучести и релаксации выражается единичной ступенчатой функцией ((1 (1 — т,)), определенной следующим образом: 284 Гл. 9 ЛИНЕЙНАЯ ВЯЗКОУПРУГОСТЪ причем [О (()] — единичная ступенчатая функция со скачком в момент 1, = О.
Деформация ползучести для модели Кельвина определяется решением дифференциального уравнения ал!ы (01 (9,17) ч которое получается при подстановке функции (9.18) в уравнение (9.4). Введенная здесь величина т = т]/6 называется временем запаздывания. Можно показать, что для любой непрерывной функции времени ] (() верно интегральное соотношение С ~ )(й) [(7(й — (т)]йй = [(] (1 — (т)]~~(й) сИ', (9.18) где й — переменная интегрирования. С помощью этого соотношения можно проинтегрировать уравнение (9.17) и найти изменение деформации со временем при ползучести для модели Кельвина е(г) = й' (1 е-ам) [(7(1)]. (9.19) Закон нагружения в опытах на ползучесть вместе с соответствующей деформацией ползучести для моделей (материалов) Кельвина и Максвелла представлены на рис.
9.8. аа а т б с 9ис. 9.8. о — закои иатружеиия а опыте иа ползучестсч б — деформация ползучести Релаксация напряжения, имеющая место в материале Максвелла после приложения деформации, меняющейся по закону В = [и (г)], (9.20) дается решением дифференциального уравнения а+ а/т = бее [6 (1)], (9.21) которое получено подстановкой производной по времени от функции (9.20) в уравнение (9.3). Здесь [6(1)] = й [[)(0] ай] — функция, называемая единичной импульсной функцией или дельта-функцией аз Функция ползучвсти. Функция Реллксхцип Дираит.
По определению это такая функция, для которой [6 (( — 1~)] = О, ( чь (м (9.22а) ~ [6(1 — (,)]с(1 =1. (9.226) Она равна нулю всюду, кроме 1 = (и где, как видно из определения, она должна иметь бесконечно большой пик. Можно показать, что для любой непрерывной функции Р (Г) при 1) 1, выполняется равенство ) ~ (Г') [6 (1' — Я й' = ~ (1,) [У (1 — (,)), (9.23) О с помощью которого можно проинтегрировать уравнение (9.21) и найти релаксацию напряжения для материала Максвелла п®=О; аа[(7(()]. (9.24) Релаксация напряжения для материала Кельвнна получается непосредственной подстановкой е = е, [6 (1) ] в уравнение (9.4), откуда о (Г) = Оеа [(l (1)] + г]е, [6 (1)].
(9.25) Наличие дельта-функции в уравнении (9.25) указывает на то, что потребовалось бы бесконечное напряжение, чтобы вызвать мгновенную конечную деформацию в материале Кельвина. 9.5. Функция ползучести. Функция релаксации. Интегралы наследственности Деформация ползучести любого материала (модели), вызванная нагрузкой специального вида а = и, Ш (1) ], может быть записана в виде е(г) = ф (г) о,.
19.25) Введенная таким образом функция ~р (г) называется функцией ползуести. Например, для обобщенной модели Кельвина (рис. 9.5) функция ползучести определяется в соответствии с (9.19) формулой ф (1) = ~ l, (1 — е ~') [У (г)], (9.271 1 ! где 1; = 1/б, называется податливостью материала. Если число узлов Кельвина неограниченно растет, так что ]У -э и конечную совокупность постоянных (т,, l,) можно заменить непрерывной функцией податливости / (т), то функция ползучести для модели гл. ».
Лннейнля Вязкоуп»»гость Кельвина принимает вид ф (1) = ) У (т) (1 — е-о«) дт. о (9.28) Функция У (т) называется функцией распределения времен запаздывания или спектром запаздывания. По аналогии с ползучестью релаксация напряжения для любой модели, подвергаюшейся' деформации вида е = е, [6 (1) ), может быть записана так: (9.29) <р (Г) называется функцией релаксации. Для обобщенной модели Максвелла (рис. 9.6) функция релаксации в соответствии с (9.24) определяется как ц (г) = Х 6,.е-'1[6(1)) (9.30) В этом случае прн )У -+ дискретный набор настоянных (6,, т«) заменяется функцией 6(т) и функция релаксации определяется выражением р (1) = ) 6(т) 'мдт.
(9.31) о Функция 6 (т) называется функцией распределения времен релаксации или спектром релаксации. В линейной вязкоупругости имеет место принцип суперпозицин, т. е. полный «эффект» от суммы «причин» равен сумме «эффектов» от каждой пз «причин». В силу этого если к материалу, для о» ц с, «, Рис. 9.9. которого функция ползучести равна»р (г), прикладывается напряжение со ступенчатым изменением во времени, как показано на рис. 9.9, а, то деформация ползучестн будет вычисляться звт »д «анкция полз»чисти. етнкцня евлхксхцни по формуле е(») = а,ф(1)+о«ф(1 — 1,)+ о»ф(« — 1»)+ о»ф(1 — «») = з = Х о~~ И вЂ” (»).
г=н (9.32) Тогда произвольный закон изменения напряжения о = о (г), представленный на рис. 9.9, б, можно рассматривать как функцию, состоящую из бесконечного числа ступенек, величина каждой из которых равна «(о. Соответствующая деформация ползучести по пршщипу суперпознции дается интегралом е(() = ~ л~, ф (г — 8') «У'. (9.33) ОЗ Такие ьттегралы часто называют интегралами наследстеенности, так как деформация в любой момент времеви оказывается зависящей от всей истории изменения напряжений.
Для материала первоначально «мертвого», т. е. полностью свободного от напряжений и деформаций в нулевой момент времени, в формуле (9.33) можно заменить нулем нижний предел интеграла и представить деформацию ползучести в следующем виде: е(() = ~ ~, ф(г — г') й'. о (9.34) Если закон нагружепия, кроме в виде ступеньки величины а«в обычно записывают следующим Ф того, содержит в себе еще разрыв момент г = О, то выражение (9.34) образолк Для материала, у которого в момент « = О отсутствуют напряжения и деформации.
интегралы, аналогичные тем, что были в (9.34) и Проводя рассуждения, аналогичные тем, что были выше, но принципу суперпознции можно представить напряжение как функцию времени интегралом, содержащнм указанную историю деформации е (Г) и функцию релаксации <р (г). Подобно (9.33), напряжение дается выражением оФ- ~ ~"„~) р(г — г') и'. (9.36) 289 Гл.
о линейнля Вязкоупеугость (9.35), соответственно будут равны оЯ = ~ „, [р(( — (') с((' о (9.37) а(г) = е ~р(г) + ) „(,) ср(г — г')с(('. о (9.381 Поскольку для описания характерных вязкоупругих свойств данного материала могут быль использованы в равной мере как интеграл ползучести (9.34), так и интеграл релаксации (9.37), должно существовать некоторое соотношение между функцией ползучести ф (Г) и функцией релаксации со (г). Такое соотношение в общем случае получить непросто, но, воспользовавшись преобразованием Лапласа, которое по определению дается интегралом ОР (9.39) 9.6.
Комплексные модули н податливости Если образец из линейного вязкоупругого материала подвергается одномерному (растяжение или сдвиг) нагруженню по закону а = аоз)п Ы, то в результате устанавливается деформированное со- а,е Рис. 9.10. стояние е = е з(п(сот — 6), т. е. деформациябудетсинусоидальной стой же частотой со, что и напряжение, но по фазе отстанет от напряжения на угол запаздывания 6.
В таком случае напряжение и деформацию можно графически представить вертикальными можно показать, что указанные преобразования $ (и) и ср(з) функций Ф (Г) и ср (() связаны равенством ф (з) р (з) = 1М где з — параметр преобразования. аь комплексныв модели н податливости проекциями векторов, имеющих постоянную длину и вращающихся с постоянной угловой скоростью ю, как показано на рнс 9.10. Отношение амплитуд напряжения н деформации определяет абсолютный динамический модуль о /еь и абсолютную динамическую податливость е,/о,.
Кроме того, совпадающие и не совпадающие по фазе компоненты вращающихся векторов напряжения и деформации на рнс. 9.!О,а используются для определения следующих козффипнентов: оь с05 о 1= Яр а) модуль накопления аоып Ь бт еь б) модуль потерь еесш б в) податливость накопления оо г) податливость потерь У, = е мпь по Обобщение приведенного выше описания поведения вязкоупругого материала достигается представлением в комплексной форме как напряжении о =оье"'. (9.41) так и деформации аь е ецы — В) (9 42) Прн использовании представлений (9.41) и (9.42) вводится комплек- сный модуль 6*(ио), по определению равный величине о~/еь = 6* (Йо) = (оо/ео) е'ь = бг + 16„ (9.
43) действительная часть которой равна модулю накопления, а мнимая часть — модулю потерь. Аналогично комплексная податливость определяется формулой а'/о* = У~ ((оэ) = (е,/оп) е — 'ь = * — У ь/, (9.44) ь 1 гдедействнтельная часть рав- С1 на податливости накопления, В Ух а мнимая часть — взятой с обратным знаком податлиРис. 9.!к вости потерь. На рнс.
9.11 приведены векторные диаграммы бь и Уь (заметим, что по определению 6" = 1,l*). 1р дик. меьз гсс. 9. линеинсся Вязкоупэугость 9.7. Трехмерная теория При создании трехмерной теории линейной вязкоупругости обычно принято рассматривать отдельно вязкоупругое поведение в условиях так называемого чистого сдвига и чистого расширения. Таким образом, эффекты искажения формы н изменения величины объема изучаются независимо и затем их описания комбинируются, чтобы построить общую теорию.
Математически это обеспечивается разложением тензоров напряжений и дес)юрмаций на их девиаторссую и шаровую части, для каждой из которых затем пишутся определя. ющие соотношения вязкоупругости. Разложение теизора напряжений дано формулой (2.70) псс = гис + бссоссс/3, а разложение тензора малых деформаций — формулой (3.98) есс ='есс+ бссзсс/3. (9.48) Г1ринимая обозначения, использованные в этих равенствах, запи- шем в операторной форме трехмерное обобщение определяющих уравнений вязкоупругости (9.13): ! Р) зсс = 2 Я) есс (9.47а) и дес есс = ') сР,(с — Р) —,Жс, а (9.49а) (9.496) (М) ис; = 3 (ссс') еи, (9.476) где (Р), ((е), (М) и (лс) — дифференциальные операторы, определенные в соответствии с (9.14), а числовые множители введены для удобства. Так как практически все материалы упруго реагируют на умеренные гидросгатические нагрузки, в качестве операторов (М) и )ссс), связанных с расширением, обычно берут постоянные и преобразуют соотношения (9.47) к виду (Р) зсс = 2 ((е) еи, (9.48а) пи = 3Кесс, (9.486) где К вЂ” объемный модуль упругости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
