1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Уравнение (8.15) дает поверхность нагруження, что озцачает следующее: (~ О определяет границу упругой зоны, /> ~ О соответствует упругой зоне внутри поверхности напружения, а /~ ) О соответствует области вне поверхности нагружения и смысла не имеет. Найдем полный дифференциал функции (8.15): д/ д/~ р д/1 до С(пи+ р "гу+ д (8.!6) Ц дау Если /~ =О и (д/~/даи)с(ау(О, то говорят, что имеет место процесс разгрузки; если /1 О и (д/,/дау) доу = О, то мы имеем нейтральное нагружение; если 11 = О и (д/~/дау) с(сч/) О, то происходит процесс активного нагружения. Тот способ, каким пластические деформации ей входят в функцию (8.15) в процессе нагружения, определяется законом упрочнения. Здесь описывакпся два наиболее простых из этих законов.
Уачовьиые кредыв меаучесп и а 6 рис. В.б. а — окружности Мизеса; д — нрааиаьные шестиугольники Треска. Гипотеза изотропного упрючнения при нагружении постулирует, что поверхность текучести просто увеличивается в размерах, со- ВЗЕ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА храняя при этом свою начальную форму. Кривые текучести в П-плоскости для критериев Мизеса и Треска будут концентрическилии окружностями и правильными шестиугольнпкал|и соответственно (рис.
8.6). Прн кинематическом упрочнепии начальная поверхность текучести поступательно перемещается о' в новое положение в пространстве напряжений без изменений разме- Рис. З.т. ров н формы. Тогда формулу (8.4), задающую начальную поверхность текучести, нужно заменить следующей: Гл(оц — ац) =О, (8.17) где ац — координаты центра новой поверхности текучести.
Если упрочнение предполагается линейнььз то ац = сац, (8.18) причем с в постоянная. В одномерном случае кривая текучести Треска переносилась бы так, как показано на рис. 8.7. 8.6. Соотношения между напряжениями и деформациями в пластическом состоянии. Теория пластического потенциала Как только возникают пластические деформации, определяющие уравнения теории упругости перестают быть верными. В силу того что пластические деформации зависят от всей истории нагружения материала, в теории пластичности соотношения между напряжением и деформацией очень часто формулируют через приращения деформации. Эго так называемые инкрементальные теории, или теории течения. Например, уравнения Леви — Мизеса, при записи которых пренебрегают упругой частью деформации и предполагают, что главные осн тензоров приращений деформации и напряжений совпадают, связывают приращения полной деформации с компонентами девиатора напряжений следующим образом: Г(ец = зцл(А.
(8.19) Здесь коэффициент пропорциональности Г1А дается в диффереи. циальной форме, чтобы подчеркнуть, что приращения деформации связань1 с конечными компонентами напряжений. Множитель Ж может меняться в процессе нагружения и является поэтому скалярной функцией, а не фиксированной постоянной. Соотношения (8.19) представляют закон течения для жестко-идеально-пластического материала. Разложив приращения деформации на упругую и пластическую части: Г(ец — — йеац + Г(елц (8.20) 9 дж. Мив. Гв.
З. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ и связав приращения пластической деформации с компонентами девиатора напряжений: «)егу = в«!«(Х, (8.21) мы приходим к уравнениям Прандпгля — Рейеса. Формулы (8.21) представляют закон течения упруго-идеально-пластического материала. Онн устанавливают связь между приращениями пластической деформации и девиатором текущих напряжений, но не дают самих величин приращений деформации. Функцию компонент напряжения д (д«!), которая обладает следующим свойством: «)Ег«7 = — «В, (8.22) де« называют пластическим покченциалол«.
Для тан называемого устойчиво пластического материала такая функция существует и тождественно совпадает с функцией текучести. Если к тому же функция текУчести взЯта в виДе11(ог«) = Пар. то Равенства (8.22) пРевРащаются в уравнения Прандгля — Рейеса. 8.7. Эквивалентное напряжение. Эквивалентное приращение пластической деформации .1(ля математической формулировки закона упрочнения полезно определить вквиваленпгное, или вффек«пивное, напряжение и,„, формулой ввгг с — Ц(о11 22) + (озз зз) + ( зз 11) 1 + 1 + 6 (о«2+ овз+ оз!)) и (8.23) Кратко это выражение можно записать так: авгв = 1 35юФсу/2 = ) — 311хо (8.24) Подобным же образом вводится эквивален«нное, или зффекпгивное, приращение пласпшческой дефорлтции «геввв = ( lз ((дег! — «(З22) + («(222 — «(ею) + («(езз — «(еп) ! + + в!~((«(212)2+ («(ем)з + («вез!)з!) '.
(8.26) Его компактная форма имеет вид де' = 1~'У,дебре,ч (8.26) Используя зквивалептные напряжеш!я н приращения пластической деформации, определенные соответственно формулами (8.24) 859 88. ГИНОТЕЗЫ УПРОЧНЬНИЯ и (8.26), получим выражение для коэффициента сР. нз соотношения (8.2!): з а8'. (8.27) 8.8. Работа на пластических деформациях. Гипотезы упрочнения Скорость, с которой напри>кения совершают работу на деформациях, или так называемая лющность напряжений, была определена для единицы объема формулой (5.32) как а>;Р>;.
Согласно (4.25), ден = Ю>;д(, поэтому можно ввести приращение работы в единице объема: Г((Р = о>>т(е>Т, (8.28) Применяя разложение (8.20), зту величину тоже можно представить суммой Л7 = ГГЧ (!(г,"-! + Дву) = с((ре + ЛГ~ . (8.29) Для пластически несжимаемого материала приращение работы на пластических деа!>орлГациях будет равно дйУ = а>>де>! = з>>т(е>! . Р (8.30) Если к тому же этот материал подчиняется уравнениям Прандтля— Рейеса (8.21), то приращение работы на пластических деформациях представляется выражением !(В' = а,„,йв,, (8.31] а (8.21) принимает вид (8.32) эки Из всех гипотез, предложенных для расчета мгновенных пластических напряжений при пластическом деформировании материала с изотропны>и упражнением, наибольшее распространение получили две: энергетическая и деформационная.
Энергетическая гипотеза упрочнения заключается в том, что мгновенная поверхность текучести зависит только от полной работы на пластических деформациях. Итак, через полную работу на пластических деформациях, которая дается интегралом я Р ( 1 Р (8.33) критерий пластичности выражается в символических обозначениях равенством 1! (а>!) р ((~ ) (8.34) гл. а теОРия пллстичности /,(ап) = Н(е ), (8.38) в котором вид функциональной связи находится из экспериментальной зависимости напряжение — деформация при одноосном испытании материала.
Можно показать, что для критерия Мизеса законы упрочнения (8.34) и (8.38) эквивалентны. 8.9. Деформационная теория пластичности При изучении пластических деформаций наряду с теорией тече- ния, которая основывается на уравнениях (8.19) и (8.21) и связы- вает приращения деформаций с напряжениями, существует так на- зываемая де4орлюцлоннал теория плппличлости Генки, в которой предполагается зависимость между напряжениями и полными де- формациями. Эти соотношения имеют вид еп =(гр + 1/(26)) зп, (8.37) ел = (1 — 2ч) оп/Е.
(8.38) Г/араме~ир Генки ~р можно выразить через эквивалентные напряже- ния и деформацию е (8.39) здесь е , = ) 2епе,;/3 и, таким образом, — 1' з е, еп = — — Бп 2 о г' (8.40] 8.10. Задачи упругопластичности Ситуации, в которых и упругие, и пластические деформации, возникающие в теле при нагружении, имеют примерно одинаковый порядок, обычно относят к задачам упруеопластичности. Много широко известных задач такого типа встречается в теории балок и теории кручения валов, а также в исследовании толстостенных труб и оболочек, находящихся под давлением. В общем случае постановка задач в упругой зоне, пластической зоне и на границе между ними включает следующие соотношения. в котором точный вид функшюнальной зависимости должен быть определен экспериментально.
Деформационная гипотеза упрочнения состоит в том, что упрочнение определяется величиной пластических деформаций. Через полную эквивалентную деформаш~ю е,„, =)т(е (8.35) закон упрочнения в символических обозначениях представляется соотношением 26! ан. злементАРнАя теОРия линии скОльжения а) Упругая областы уравнения равновесия (2.23), связь 88ежду напряжениями и деформациями (6.23) или (6.24), граничные условия, наложенные на напряжения или перемещения, условия совместности. б) Пластическая обласгпье уравнения равновесия (2.23), связи между напряжениями и приращениями деформации, определяемые формулами (8.20), (8.21) и (6.24), условие совместности полных деформаций, условие пластичности (8,8) или (8.1!), граничные условия на границе пластической области, если таковая граница существует. в) Гранича между упругой и пластической областями." условия непрерывности напряжений и перемещений.
аи ам О оп= о, О„О О О о„ (8.4!) и, так как упругими деформациями мы пренебрегаем, тензор ско- ростей пластической деформации будет равен 88, 888 О еп = ем Е„О О О О (8.42) Неизвестные в выражениях (8.41) и (8.42) являются только х, и х,. Кроме того, известно,' что еп = '/8(оса+ оя8) где о; — компоненты скорости. функциями (8.43) 8.11. Элементарная теория линий скольжения при плоской пластической деформации В неограниченном пластическом течении, например при прокатке металла, часто допустимо пренебрегать упругими деформашгями и рассматривать материал как жестко-идеально-пластическую среду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
