1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Доказать, что определяющие уравнения ньютоновой жидкости с нулевым коэффициентом объемной вязкости можно представить двумя группами уравнений: аг/ — 2Р*Рг/ и — пгг = Зр. 7.36. Доказать, что„ используя вектор взвихренности Ч, уравнения Навье— Стокса для несжимаемой жидности можно записать следующиьг образом: т Ь— — тр/р — т*(/ Х Ч, где те = Рь/р — кинематический коэффициент вязкости. Показать, что для безвнхревого движения эти уравнения приводится к виду (7.36). 7.39. Движение жидкости происходит по радиусам со скоростью т = ч (г, О, где г' хгхь Доказать, что уравнение неразрывности имеет вид — + о — + — — (г'о) =О. ОР ОР Р 6 з ОГ дг гз дг 7.40.
Жидкость вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью а вокруг вертикальной оси хз. Из массовых снл действуег только сила тяжести. Доказать, что р/р — ызгз/2+ йхз = сонэк дополиитгльнып задачи 247 7,41. Имеем совершенный газ в поле силы тяжести в условиях изотермии (при ПОСГОЯННОй тЕМПЕРатУРЕ 7ц). ДОКаэатЬ, ЧтО Р/Рц Р/Рц Е 1Х/Лт'"'1, ГДЕ р, и рц — плотность и давление при ха О.
7.42. Массовые силы потенциальны, т. е. Ьг — 1) и и процесс баротропный. Доказать, что для безвихревого движения можно проинтегрировать уравнения Навис †Сток — Дзшема н получить соотношение — р (д~р/дг + ((/гр)з/2) + р(7 + Р + ()цц + 2цц) Чтгр = / (Г) (см. задачу 7.15). 7.43. Показать, что в повязкой жидкости при потенциальных массовых силах и постоянной плотности векторы скорости и зааихренности связаны соотношением дг — д.о . = О. Доказать, что для стационарного потока той же жидкости и/4..
~ д/— е/ Ч вд" / / 7.44. Доказать. что для баротропного процесса, в котором р р (и) и функция Р (Р) определена формулой (7.29), выполняется равенство йгзб Р = йгад р/р, 7.45. Доказать. что уравнение Бернулли (7.39) при установившемся движении совершенного газа записывается в виде: в) Я+ р 1и (Р/р) + гр/2 = сопз1 при нзотермическом течении; б) й+ [й/(Д вЂ” Ц) (Р/Р) + па/2 = оопп при изэнтропическом течении. 7А6. Доказать, что поле скоростей в, = — 2х,хчхз/гч, в, (хт1 — хзз) хз/га.
Оч = хт гэ Где г = х~~+ ха+ З~з. возможно при двшкеиии несжимаемой жидкости. Будет ли это движение безвихревыму Ответ: да. 7.47. Потенциал скорости Ф (г) = ф+ пр является аналитической функцией номплексного переменного г = х, + )хз = ге' . Показать, по в полярных ноордн. .е дф 1 дф ! дф дф натах — = — — и —— дг г дО г дО дг Глава 8 Теория пластичности 8.1. Основные положения и определения Упругие деформации, которые изучались в гл. 6, обладают свойством полного восстановления недеформироваиного состояния после снятия приложенных нагрузок. Кроме того, упругие деформации зависят только от величины напряжений и не зависят от истории деформировання нлн нагружения.
Любая деформация, возникающая как ответная реакция материала иа приложенные нагрузки илн изменения в окружающей среде и не нодчиня|ощаяся определяющим законам классической теории упругости, может рассматриваться как неупругая деформация. В частности, необратимые смещения, которые получаются в результате скольжения илн дислокаций на атомном уровне и как следствие ведут к остаточным изменениям размеров, называются пласагичсскими деформацшииа.
Такие деформации имеют место только при интенсивности напряжения выше некоторого ворога, известного как предел упругости или предел текучести. Будем обозначать этот предел ою Основные проблемы теории пластичности состоят в математической формулировке соотношений между напряжениями и деформацнямн, соответствующих феноменологическому описанию пласткческих деформаций, и в установлении правил определения количественных критериев для указания начала наступления пластичности.
С другой стороны, изучение пластических деформаций с микроскопической точки зрения относится к области физики твердого тела. Термин пластическое течение широко используется в теории пластичности для обозначения процесса пластического деформирования. Однако в отличие от течения жидкости, при котором предцолагается движение частиц среды, понятие пластического течения относится к непрерывному изменению суммарной деформации, а скорость представляет собой скорость деформации. В самом деле, твердое тело в состоянии пластичности может испытывать касательные напряжения, оставаясь в покое. Многие основные понятия теории пластичности можно ввести непосредственно, рассматривая диаграммы зависимости напряжений от деформаций при испытании некоторого гипотетического материала на простое одиоосное растяжение (или сжатие).
Такая диаграмма представлена на рис, 8.1. г1а этой схеме о — условное напря- ьз. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 949 на рис. 8.1 на упругую облпсть и пластическую область. К сожалению, предел упругости разнь|е авторы определяют по. разному. Иногда он берется как предел пропорциональности и лежит в верхнем конце линейной части кривой. Иногда за него принимают точку Х, которая называется пределом теку- ес Ф( Рис. 8Л чести Джонсона и по определению представляет собой точку, где наклон кривой достигает 50% от своего первоначального значения. Есть и другие способы определения предела текучести. Так, один из них принимает за предел текучести такое значение напряжения, которое дает 0,2% остаточной деформации. В начальной упругой области, которая может быть как линейной, так и нелинейной, увеличение нагрузки заставляет точку, изображающую напряженно-деформированное состояние, двигаться вверх по кривой, а уменьшение нагрузки (разгрузка) ведет к движению точки вниз по тому же самому пути.
Таким образом, в упрутой области существует взаимно однозначное соответствие между напряжением и деформацией. В пластической Области дело обстоит иначе. Прп разгрузке от некоторого состояния, например В на рис. 8.1, точка, изображающая состояние, следует по пути ВС, практически параллельному линейной упругой части кривой. В точке С, где напряжение достигает нуля, обнаруживается остаточная пластическая деформация а'. жение (сила, деленная на начальную площадь сечения), тогда как в качестве е можно взять либо обычную (техническую) относительную деФормацию, определяемую формулой е = (с — 4.о)/~о, (8. 1) где ь — текущая длина образца„а 1о — его начальная длина, либо натуральную (логарифмическую) Относительную дефорл1ацию, определяемую формулой е = 1и (ЦЕь) = 1п (1 + е) = е — е'/2 + О (е').
(8.2) Для малых деформаций зти две их меры почти равны, как видно из (8.2), и часто допустимо пренебрегать разницей между ними. Предел текучести точка Р, соответствующая предельному напряжению аю разделяет кривую напряжение — деформация а в Гл. Д ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ На рис. 8.1 символом е обозначена восстановленная упругая дев формация, соответствующая точке В. Прн повторной нагрузке точка, изображающая состояние, движется из С обратно к В по пути, очень близкому к ВС, но не попадает точно в В'), и нз-за потери энергии в цикле разгрузка — нагрузка образуется небольшая певпля гистперезиса. После возвращения к точке В требуется увеличение нагрузки, чтобы вызвать дальнейшую деформацвю. Это явление связано с так называемым свойством упрочнения материала.
Итак, ясно, что в пластической области напряжение зависит от всей истории нагружения или дефорглирования среды. Хотя известно, что температура оказывает существенное влияние на пластическое поведение реального материала, в теории пластичности часто принимают условие изотермии и считают температуру просто параметром. Точно так же на практике в общепринятой теории пластичности обычно пренебрегают влиянием скорости нагружения на диаграмму напряжение —.деформация. В соответствии с этим пластические деформации считаются не зависящими от времени и изучаются отдельно от таких явлений, как ползучесть и релаксация.
8.2. Идеализированные диаграммы пластического поведения Многие нз трехмерных теорий, изучающих пластическое поведение, можно рассматривать как некоторое обобщение ряда идеализированных одномерных диаграмм зависимости напряжения от деформации. Четыре из наиболее часто употребляемых диаграмм такого рода представлены на рис. 8.2 вместе с простыми механическими схемами осуществления каждой из них. В этих схемах перемещение массы М имитирует пластическую деформацию, а сила В играет роль напряжения. На рис.
8.2, а упругая область и явление упрочнения полностью отсутствуют, тогда как на рис. 8.2, б существует упругая зона, предшествующая пределу текучести, а упрочнения нет. При отсутствии упрочнения деформация называется идеально пластпичеекои. Представления а и б наиболее полезны при изучении Ограниченных пластических деформаций, когда большие деформации запрещены. На рис. 8.2, в упругая зона отсутствует, а упрочнение предполагается линейным.
Эта модель, так же как и модель, представленная на рис. 8.2, г, широко используется при изучении не ограниченного внешними условиями пластического пи чения. Диаграммы напряжение — деформация, изображенные на рнс. 8.2, именуются в тексте кривыми растяжения. Кривая сжатия для недеформированного предварительно образца (прн отсутствии истории ') Чтобы понзсть точно н В, нужно было бы разгрузку продолжить несколько дальше зз нулевое нзпрнженне.— Прим.
лервв. вд идевлнзиРОВАнные диАГРАммы плАстическОГО пОВедения 251 , .!~~В~Фв::!вл в Рис. 8.2. а — жестко-идеально-пластический материал; б — упруго-идеально-пластический материал; в — жесгкопластический материал с линейным упрочнением; г— упругопластический материал с линейным упрочиеиисм. Во всех механических моделях существенно трение между массой М и горнвоитальной плоскостью. пластического деформирования) обычно представляет собой отражение кривой растяжения относительно начала координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
