1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Компоненты напряжения, вычисленные по формуле (6.66). равны о«« = «р гг —— — ЗРк,кз/2сэ + Р/2с, о,а = — «р «г —— — ЗР (сэ — хф/4са. оы = «р и —— О. Такие напряжения возникают в консольной балке под действием продольной нагрузки Р и поперечной нагрузки Г иа конце балки (рис. 6.8). 6.21. В задаче 2.36 было показано, что при отсутствии массовых снл уравнениям равновесия удовлетворяют функции оц = = е«„че; „«р,„. Доказать, что функцией напряжений Эри в этом случае служит «р„= «р (х„х,), в то время как «р„= «р, = «р, фхз фзз Компонента фзз является единственной отличной от нуля, и поэтому раве««- ство о« = е, е,.
«р превращается в и« = е«азе,ьофзз или о„а = = е„«ееэмфаэ о В силу того что фю — — ф, о„р —— (б„аб с — б ~б р) «р =б ф — «р г Поэтому компоненты напряжений выражаются через функцию «р так: ом = Ч'.««+ ф,гг ф.«« = флг, о«з = фзг а «р н+«ргг — фгг — — «р и. 6.22. При решении задачи о диске радну- о„ са а, находящемся под действием вращающего момента М, используется функция на- Рис. 6.9.
пряжений Эри Ф = ВО в полярных координатах г, 0 (рис. 6.9)..Найти компоненты напряжения н величину константы В. Вычислим компоненты напряжения. По формулам (6.66) н (6.6)) о«„) = = о«еэ —— О, а из (6.62) о«л«> = В/гз. Для равновесия люме«пов относительно гп ьт центра диска требуется, чтобы М= ) о э аз«(6 =) В«)6 2пВ, Таким абра- о о аом, В= М/2п. Линейная термоупругость ($ 6.10) 6.23.
Обратив (6.69), получить определяющие уравнения термоупругостн (6.70). При « = / из (6.69) имеем оп — — (Зь+ 2р) (ец — З««(Т вЂ” Те)). Разрешая (6.69) относительно огп находим о«/ = 2иец+ Хбц аа/(а+ 2Р) — 2 бц(т — т,) = = 2ие«/+ Хб«/ (ваа — Зс«(Т вЂ” То)) — 2набг/ (Т Тэ) = = ~ «/+ и~Ваза — Р, + 2Р) «б«/ (т — тй. Гл. а. ЛИНЕИНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 6.24. Вывести уравнение энергии (6.73) для термоупругости, используя при этом функцию свободной энергии / = ц — 7'з. Предположнм, что свободная энергия является функцней деформацнй и тем- пературы /= /(е,-р 7).
Подставнм ее в уравнение (5.41), т. е. в уравнение рп = а!/г! + рТз, где точками обозначено днфференцнроаанне по временн. Тог- да (аг/ — рд//дз,/) гг/ — Р (з+ д//дТ) Т = О. Так как члены в скобках не за- висят от скоростей йзыенеиия деформаций н температуры, то нз последнего равенства следует, что ог/ = рд//де>/ н з = — д//дТ. Уравненне второго закона термодннамнкн для термоупругой среды имеет внд Тдз = дф т. е.
/ дз дз рТз = рТ ~ — в" + — Т) = — с. „ ~ де- !! дТ ) и Отсюда, в частностн, видно, что Т (дз/дТ) с>">, где с1"> — теплоемкость прн постояяных деформацнях, когда е; =О. Всспользовавшнсь полученнымн выше выраженнямн для з н о!. через /, получаем дз/дТ = — о"/'дТз, т. е. сг"> = = — Т (д'//дТ') н дз,'де! = — гу-//двг.~ Т вЂ” (1,'р) (до, /дТ); поэтому до . !ч> гд,м ( р дТ г/ Т Иэ (6.76) вндяо, что да,//дТ = — сс (ЗЛ+ 2р) д ., поэтому ЙТ м = Рс! ">Т -1- (ЗЛ + 211) атеи, а это совпадает с (6.73).
6.25. Используя соотношения (6.13) и (6.70), получить плот- ность энергии деформации для термоупругой среды. Непосредственной подстановкой (6.70) в формулу (6. 13) находки и' = Лб /а„„е //2 + ре,, ег — (ЗЛ + 2р) гхбг/ (Т вЂ” Т ) е! ч 2 = = Лвнв/ 12 + ре!/а>/ — (ЗЛ + 2р) сс (Т вЂ” Тг~ ен/2. Смешанные задачи 6.26. Доказать, что плотность энергии искажения формы иго> для линейного упругого материала можно выразить через главные значения напряжений следующим образом: иго> = [(ат — а,)' + (а — а )' + (а — ах)а[/12(/. Как видно нз РезУльтатов задачи 6.2, иго> — — зг/ег//2 = зг.з!//46, что можно записать' через компоненты напряжений так: нг р> —— (ои — дг,оав/3) (о> — ь,. ор, 3)/46 = (о! о! — ала /3)/46.
В главных напряжениях это выраженне примет внд и!О> — — [оз>+ от + оэ — (о, + аз + о ) (о, + о + оз) '3146 = [2(а> + аз+ аз — агав — о,аз — а,о,)/31 46 — [(о, — аз)з -1- (а, — аз)з+ (аа — о,)з[/126. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 6.27. Используя выводы задачи 6.[, доказать, что для упругого материала дие/де,/ = о,./ и дие/доп =- еп-. В задаче 6.1 было получено и' = Лег!ел/2+ ребе!/; поэтому ди'/де = (Л/2) [еп (де///дер ) + е//(ден/де И[ + 2ре!/(де //де ) = = ()"2) [елб б -[-е б; б [-[-2не! бг б. =(Л/2)[еггб +едб [+2ие =Лаиб +2ре =о Аналогично, из Равенства и' = [(1+ ч) опоя — эчтно,./[/(2Е), полУченного ззадзче 6.1, имееч д" /дг'ра = [2(1+ э) пг/бгрб/~ — ч (от!бр +о//б Я(2Е~ = = [(1+ ч) ор — ъб пи[/Е = е 6.28. Представить плотность энергии деформации и* в виде функции инвариантов деформации.
В задаче 6.1 установлено, что и' = Лене//2+веге . По, согласао (3.9!), 1е = еи и Пе = (еиеи — ег/ег/)/2, н и~эх~му иа = Л (1е)э/2 + Р [ — 2Пе + (1е)з[ = (Л/2 + Р) (1 .)з — 2РПе 6.29. Цилиндрический вал длины /. и кругового сечения радиуса а находится под дейст- ха вием пары сил в торцевом сечении, как показано на рис.
6.[0. При этом отличнымн от нуля будут компоненты напряжения о;, = — Оссх„оез = Оссх„где хэ сс — угол закручивания на еди- Т ницу длины вала. Найти выражение для плотности энергии ~2 деформации и полную энергию деформации вала. В силу результата задачи 6.1 и" = [(! + ч) Е: Š— ч(!г Е)э[фЕ). В даннои случае 1г 2 — О и Е: Е = 2бэссэгэ. где г = хз!+хзз. Поэтому и* =-боэгэ/2.
Полная энергия деформации находится з виде интеграла а ел г. боэ (/ '[ ц д)г ~ 1 ~ гздгдвдхз = баэоэп/./4. 2 к оо о ат а Заметим, что так как Т = ~ '[ ба (х1~ -[- хзз) гдгдО = боаэл/2, то (/ = ТоЛ./2„т. е. е о (/ равна работе внешнего момента. 6.30.
Доказать, что упругие свойства (закон Гука и плотность энергии деформации) среды, имеющей ось упругой симметрии порядка А/ = 2, и среды с одной плоскостью упругой симметрии совпадают. 224 Га. а. ЛИИЕИНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Поворот осей нв угол О = 2пlдс = 2л/2 = и приводит к направлениям эквивалентных упругих свойств. Но в точности к тому же положеннго мы приходим прн отражении относительно плоскости упругой симметрии. 6.З(. Доказать, что матрицу (6.
19), в которой С„= С, = С,з, Свс = См = Сзз и Сзз = Сзв = С з, можно свести к виду (6.20) поворотом осей на произвольный угол В вокруг осн хз (рис. 6.11). Преобразование осей х; в оси и; дается матрицсй 1. соьВ ьшО Оч «ан1 = — яп В сов О О, О О 1 Рис. 6.11. а согласно (2.27), имеем а з = ( — яп 8 соь 0) ап + (соь' 0 — яп' 8) алз + (ып О соь 8) а, нлн в обозначенинх с одним индексом а,= ( — ЯпОсоьО)сс, +(соьз — ь(п'8) аз+(ЯпВсоьО) а,. Точно так же, используя формулу (3.76) и учитывая (6.4), получаем е =( — 2ь1пОсоьВ) е +(ссв'Π— яп'0) в, +(2з«пВсоьВ)в,. Но для изотропиого тела а =Сссез, и, следовательно, в данном случае аь— — аз = 2Ссс(ез — ел).
Наконец, в соответствии с видом матрицы (6.19) при уиа. данных выше условиях будем иметь а,=Смел+Сж(ез+е,) и аз=Спев+ .«-С, (з,-«-е,), и, значит. а,— а, =(С,— С„)(е,— е,). Таким образолс, Сл,— — С, = 2Ссс. Полагаа Ссс = Р, Сл, = Л, Сп -— — Л + 2Р, пйиходим к фоРме (В.Ю).
6.02. Упругое тело, подчиняющееся закону Гука, находится в равновесии под действием массовых сил Ьс н поверхностных сил 1«ы. Доказать, что полная энергия деформации равна половине работы внешних сил на перемещениях ис. Требуется доказать, что ~ рЬсисс/У + ) ~" исслз = 2 ~ и"с(У. Рассмотрим спа- л У чала интеграл по поверхности, в котором проведем замену Л = а/сл/, и преоб- Лп! разуем его по теореме Гаусса †Остроградско: ас исл/с!ь = ~ (аг ий / с/У = ~ (ас/ .ис + ас ис .) с/У.
з У Но ос и!/ — — а,/(е; +ы,/) =ос/ес/, а из уравнения равновесна ас .= — рЬс. Таким образом, 1 Гс!"!исс(2 — $ РЬси с)У + 2 ) (аче,,/2)с(У з У У и теорема доказана. дополнительные ЭАдАчи 6.33. Воспользоваться результатом задачи 6.32, чтобы установить единственность решения статических задач линейной теории упругости, допустив существование двух решений а('>, и('> и а(2>, и('>. 6 линейной теории упругости законно применение метода суперпознции решений, т, е.
а . =- а(.> — а-.>, и( = и! > — и-'> тоже будет решением при Ь( = (! (2 П (21 (|' и ц ! ( = О. Для этого нового решения, как установлено в задаче 6.32, ) !1">и(((З = 5 2) ие(пг. Так как оба исходных решения удовлетворяют граничным условиям. интеграл в левой части равен нул|о, потому что на границе;. > (( > — |! ! в «ю и> (г> соответствии с (6.32) и и; = и((> — и(2> в соответствии с (6.30). таким образом, ие(((( = О, но, поскольку и' — гюложнтельно определенная функция, это аоз- можно только тогда, когда е( = е(. > — е( > = =О, или в( > = е( >.
Если деформа- ции для двух допущенных решений равны, то по закону Гука равны и напряже- ния. Раввы также перемещения с точностью до перемещений абсолютно твердого тела. Таким образом, единственность установлена. 6.34. Уравнения Навье (6.31) можно представить в форме р и; // + — и/ |! + РЬ, = О, которая в случае несжимаемости (ч = '/,) становится неопреде- ленной.
Для такого случая, используя уравнения равновесия, доказать, что ри;,н + 8,|/3 -+ РЬ, = О. Из уравнения (6.24) следует, что еи=(! — 2т)ан/Е, а при т=|! Зто даст еи — и|! — — О. Таким образом, соотношение (6.24) имеет вид 2е( / — — и( /+ и. (/ — — 2 (1+ ч) а! /Š— 2тйиа |, !Е. Но и//| — — О и Е= 36, когда ч= /е; поэтому и(.:= — рб(/6 — а„(/36, или ру'гн'+ О (/3+ рб( = О. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 6.36. Доказать, что для однородной изотропной упругой среды главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
