1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При простом одноосном растяжении в направлении оси х, можно ввести технические упругие модули Е и т, которые служат коэффи- ЦИЕптаМИ В СООТНОШЕНИЯХ О„= ЕЕ„И Е„= Е„= — тЕРИ ПОСГОЯН- ная Е называется модрлем Юнга, а т — козффиу(иентом Пуассона. Через этн упругие постоянные закон Гука для изотропного тела записывается следующим образом: ь Е ! осу = — 11еу.
+ — бууеАА), или Х = — 1Е+ 1е), 1+т 1 У 1 — 2у У' 1+У 1 1 — 2у (6.2З) или, в обращенной форме, ету = Е Оп — Е бйоАА, ИЛи Е = —. Х вЂ” — 18. (6,24) 1+У 1+т 6.3. Изотропные среды. Упругие постоянные Л+2р Х Х )+2р г. )' 1 )+2р О О О О О О О О О О О О О О О О О О рОО О р О ООр К4. ПОСТАНОВКА СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ При изучении состояния равномерного гидростатического сжатия вводят модуль объемного сжатия (6.26) который связывает давление с величиной кубического расширения при нагрузке такого типа.
В случае так называемого состояния чистого сдвига модуль сдвига б связывает касательные компоненты напряжения и деформации. Коэффициент 6 фактически равен )с; легко установить его связь с другими модулями: (6.26) 6.4. Постановка статических и динамических задач теории упругости При постановке статических задач для упругой однородной изо- тропной среды используются следующие уравнения, которые дол- жны выполняться всюду внутри тела: а) уравнения равновесия или+ Рдб = О, или Ч Х+ рЬ = О, (6.27) б) закон Гука ои = Хбигы+ 2речь или Х = Ые+ 2рЕ, (6.28) в) соотношения, связывающие деформации с перемещениями, 1 1 еп = — (иш+ исл), нли Е = — (нЧ + Чн). (6.29) Кроме того, на повеохности, ограничивающей тело, должны быть удовлетворены заданные условия, наложенные на напряжения и/нли перемещения.
Краевые задачи теории упругости обычно классифицируют по типу этих условий. Их разделяют на группы, для которых: 1) на всей границе заданы перемещения, 2) на всей границе заданы напряжения (поверхностные силы), 3) на части границы заданы перемещения, а на остальной поверхности — напряжения. Во всех трех случаях предполагается, что всюду в теле массовые силы известны. Для тех задач, в которых на всей границе даны компоненты пере- мещения в виде функции и,=у,(Х), нли н=д(Х), (6.30) выражение деформаций через перемещения (6.29) можно подставить в закон Гука (6.28), а результат в свою очередь подставить в (6.27). Гл л1!Иптнля теОРия ь'пРуГОсти Так получа!отея основные уравнения для перемещений ри1 ау + (Л + р) иь;! + рЬ, = О, или РЧ'н+ (Л+ р) ЧЧ н+ рЬ = О, (6.31) которые называются уравнениями Навье — Коши' ).
Решение задач этого типа состоит в отыскании вектора перемещения и„удовлсгворяющего уравнению (6.31) всюду внутри тела и условиям (6 30) на его границе. Для тех задач, в которых на всей границе известны поверхностные силы г)м = о;!пь или 1'м = Х и, (6.32) комбинацией уравнений совместности (3.104), закона Гука (6.24) и уравнений равновесия (6.27) получим основные уравнения для напряжений ! нее П -1- р (Ь! ! + Ь; 1) + бооЬь,й = О, (6.33) ЧеХ+ — ЧЧ6+ р(ЧЬ+ ЬЧ) + — 1рЧ ° Ь = О, которые называются уравнениями совместности Белылрал!и — Мичелла.
Решение задач этого типа состоит в нахождении тензора напряжений, который удовлетворяет уравнениям (6.27) и (6.33) всюду внутри тела и условиям (6.32) иа границе. Для задач, имеющих смешанные граничные условия, должна решаться система уравнении (6.27), (6.28) и (6.29). Решение дает поле напряжений и перемещений для всех точек тела. На некоторой части граничной поверхности компоненты напряжений должны удовлетворять условиял! (6.32), а иа оставшейся ее части перемещения должны удовлетворять условиям (6.30). При постановке динамических задач уравнения равновесия (6.27) нужно заменить уравнениями движения (5.16): о;; !.
+ рЬ; = р61, или Ч ° Х+ рЬ = ру, (6.34) или и наряду с граничными угловиял1и нужно задать еще начальные условия. Основные уравнения для поля перемещений в этом случае аналогичны уравнениям (6.31) статики Рис,я + (Л + Р) иу я + РЬЬ = Ри1, или рЧ'н+ (Л+ р) ЧЧ н+ рЬ = рц. (6.35) ') Гь русской литературе этн уравнении обычно ннзынмотсн уравнениями Лные.— Прил. нерее. бл. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Решение уравнений (6.35) ищел! в виде и! = и, (х, Г). Оно должно удовлетворять не только начальным условиям, которые Обычно записываются в виде равенств и! = и! (х, О) и и! =- и! (х, О)„ (6.36) но и граничным условиям, наложенным либо на перемещения и! = и! (х, (), или и = д (х, !), (6.37) либо на напряжения Г!л! =- 4"! (х, (), или (!"! = (!"! (х, (). (6.38) 6.5.
Теорема о суперпозицнн. Единственность решений. Принцип Сен-Венана Вследствие того что в линейной теории упругости уравнения и граничные условия линейны, можно использовать принцип суперпозиции для получения новых решений из ранее найденных. Если, например, о1,", и!!" — решение системы (6.27), (6.28) и (6.29) при массовых силах, равных Ь!", а о)!1, и!!б! — решение при массовых силах Ь!|, то ой = а,'!'+ о)!1, и! = и,'!' + й!! будет решением той же системы при массовых силах Ь, = Ь! + Ь!1~, !а Единственность решения общей статической задачи теории упругости может быть установлена при помощи принципа суперпозиции и закона сохранения энергии.
Доказательство единственности включено в задачи к этой главе. Принцип Сен-Венана касается разностей между напряжениями и деформациями в некоторой области внутри упругого тела, вызванными двумя различными, но статически эквивалентными системами поверхностных сил, приложенных к определенной части границы. Принцип утверждает, что в областях, достаточно далеких от места приложения нагрузки, эти разности пренебрежимо малы. Это допущение часто оказывает большую помощь при решении практических задач. 6.6.
Плоские задачи теории упругости. Плоское напряженное состояние и плоская дефо'!мация Во многих задачах теории упругости можно вполне удовлетворительно обойтись двумя измерениями, или так называемой плоской теорией упругости. Имеется два общих типа задач такого рода. Хотя эти два типа можно выделить, принил!ая определенные ограпкчения и допущения для полей напряжений и перел!ещенпй, часто их вводят описательно при помощи типичных примеров.
Для реализации плоскою напряженного состояния тело должно представлять Гл. 6 ЛИНЕЙНЛЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Рис. 6.2. В задачах с плоским напряженным состоянием (рис. 6.2, а) компоненты напряжения аам амь а„принимаются равными нулю всюду, а остальные компоненты считаются функциями только х И Хм ааа — аса (хн хД (а, ин = 1, 2). (6.39) В соответствии сатин постановка задач для плоского поля напряжений содержит следующие уравнения: а) аяв,в+рда — — О, или T-Х+РЬ=О, (6.40) 1+У М 1+У б) еаа = - ааа — — бааатт, или Е = Е е Е Е Х вЂ” — Ю, (6.41) (6.421 в) е в = '/е(и,„,а+ иа,„), или Е = '/е(и~7+ 1'„7ц), д " д где ~7= — — е,+ — е, и дхт дк~ /'ам а„О / ем е,, 0 Х = ~ а„аея О, Е = ~ е„, е„О 0 О 0 0 0 еет (6.43) Из-за специальной формы тензора деформации в случае плоского напряженного состояния шесть уравнений совместности (3.104) собой пластину, у которой один размер много меньше, чем другие.
Нагрузна распределена равномерно по толщине пластины и действует в ес плосности, нак показано стрелками на рис. 6.2,и. Лля реализации плоской деформации тело должно иметь форму цилиндра, когда один размер много больше, чем друтце. Нагрузка равномерно распределена вдоль оси наибольшего размера и действует перпендикулярно ей, кан показано стрелками на рис. 6.2,6. 2д плоские злдхчи таовии хпюгости для очень тонких пластин с достаточной точностью сводятся к одно- му уравнению а!1.22+ 222.11 = 2212,!2 (6. 44) Выписанную систему уравнений можно преобразова!ь и получить основное уравнение для компонент перемещения иел! !Р иа + в (! щ.аа + РЬи — — О, (6. 46) или Е 2 Е О,, 'Г~п+ О Ч ~7~7 и+РЬ=О где д2 д2 'У2= — — + —.
дх21 дх22 Для задач о плоской деформации (рис. 6.2,б) компонента перемещения иа принимается равной нулю, а остальные компоненты считаются функциями только х, и х,: и = и„(х„х2). (6.46) В этом случае система уравнений, дающая постановку задачи, имеет вид: (6.47) (6.48) а) о<,на+ рЬ„= О, или !7 Х+ рЬ = О, б) а,!а=18„ватт+ 2ре р, или Х=Х)а+2рЕ, Х им=то = д х ° о ( +и) в) Рад ='/2(иа,а+ив ), или Е ='/2(и~7+!7н), причем (6.49) о„ о„ О етт е12 О! Х = с!!2 а22 О и Е = ед е О~. О О о22 О О О (6.60) (6.6)) или р !7!2 и+(Х+ р) T~ ° и+ рЬ = О.
Так же как при плоском напряженном состоянии, уравнения совместности для плоских деформаций сводятся к одному уравнению (6.44). Из уравнений (6.47), (6.48), (6.49) в случае плоской деформации г.олучается соответствующая форма уравнений Навье: р 1(7 'и„+ (Х + р) ива,„+ рЬ„= О, 2Ю Гк б. ЛИИЕИНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Если силы, приложенные к ребру пластины на рис. 6.2,а, распределены по толшине не равномерно, а симметрично относительно средней плоскости пластины, то нап~ яженное состояние называют обобщенным плоским напряженным соеп!оянием. При постановке задач в этом случае переменные поля истинных величаи о в, е е и и нужно заменить напряжениями, деформациями и перемешениями, осредненными по толщине пластины.
Для таких осредненных переменных формулировка задач в случае обобгденного плоского напряжения в сущности такая же, как при плоской деформации, если ) заменить на величину 2лр УЕ (6. 52) л+2р 1 — тл В курсах теории упругости иногда упоминается понятие обобщенной плоской деформации, когда е,б в (6.50) будет постоянной, отличной от нуля. 6,7. Функция напряжений Эри Если массовые силы отсутствуют или постоянны, то при решении плоских статических задач теории упрутости (задач о плоской деформации или обобщенном плоском напряженном состоянии) часто пользуются функцией напряжений Эри (еслимассовые силы Отличны от нуля, то их вклад в решение может быть учтен дополнительно прн помощи принципа суперпозиции путем нахождения частных интегралов системы линейных дифференциальных уравнений). Для плоских статических задач при отсутствии массовых сил уравнения равновесия сводятся к следующим: о в,в = О„или тз! ° Х = О.
(6.53) Уравнения совместности, выраженные через компоненты напряжений (уравнения Бельтрами — Мичелла), дают !„Гб(ОГТ+ О,Д = О, ~р" !Э! = О. (6.54) Из уравнений (6.53) видно, что компоненты напряжений можно представить частными производными функции напряжений Эри Гр = Гр (х„х,): ам = Гряг, оы = — ГР !и о.„= ГР,И. (6.55) При этол! уравнения равновесия (6.53) удовлетворяются тождественно, а условие совместности (6.54) превращается в бигармоническое уравнение ~рп ((У' ГР) = ЦР"ГР = ГРш! + 2ГР пбе+ ГРлтее = 0 (656) Функции, удовлетворяюшис атому уравнению, называются бигармоническими.
Пользуясь бигармоническими функциями с однозначными вторыми производными, можно строить многочисленные СТАТИ'!ЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ решения плоских задач теории упругости, которые автоматически удовлетворяют и уравнениям равновесия, и условиям совместности, Конечно, зти решения нужно еще «подогнать» к заданным гранич- ным условиям. (6.69) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
