1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Таким образом, 1 = о,,/+ + О221+ оэл1 = оз з1, или 1 = 1(т/ ч) и, следовательно, й (!п 1)/й! = д)ч ч. 1?8 Гя. З. ПВИЖЕНИЕ И ТЕЧЕНИЕ и, учитывая результат залачи 4.28, иахолпм — =~ — г — — г — — )дХ,дХ,= д5р / дХ~ дое дХг дое ! дг [, дхр дхр дхе дхр ) дх/ дхз ! Ове / дх/ дхз ! др "Хз дХз) — — е .з — дХз — дХз — ю. ( р/ дХз дХз ~ дхе ~ е/ дХ дХа [ дх ~ д ) Р ( ) 4.32. Используя результаты задач 4.27 и 4.23, доказать, что материальная скорость изменения потока завихренности, т. е. прод изводная — ~ г) и Ю, равна потоку вектора го( от ускорения а.
д!, Применим операцию го1 к выражению ускорения, полученному в задаче 4.27, тгха !?Х вЂ” +!?Х(ЧХч)+)?Хтг(рз/2) дч дг и учтем при этом, что ч = 4/ х т к !? х !? (р'/2) =О; тогла !? х а= дч/д/+ +'р Х (Ч Х у) = г(Ч/Ф+. Ч (!? ° ч) — (Ч ° т) ч. Если а формулу задачи 4.23 вместо р подставить Ч, то получим требуемый результат 1 С вЂ” ~ Ч пд5 =1 ~ — + Ч(!? ч) — (Ч ° !?) ч1 пд5 =~(!? Х а) пд5. д/ д 1( д( 4.33.
Доказать, что для вектора завихренности г[ имеет место д равенство д ~ ОгсЛ' = [ [Рцмтз + г//о — Ого/[г[о/. з Тождества задачи 4.3? !? х а дй'д(+ !7 Х (Ч Х ч) можно переписать в индексной форме дщ/дг = ег/заз / — ег, (е м,д,яо,) „' тогда дчг — дУ = ~ [ег „ар . — (ен ерм,о„,ог),[ дУ. р р Воспользовавшись теоремой Гаусса — Остроградского (! . ! б7), получим дчг — дУ [ е,/зазд5/ — ~ (бгтяб„— б;,брв) (чмог) д5з 5 ~ [еилпз+ чхт — Гяо/1 45/.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 4,84. Дан закон движения срезы хг =- Хтег + Хз (е — 1), хз — — Хз+ Хз (ег— — е е), х,= Хз. Показать, что 7 чье, и найти компоненты скойостн. Оямеш! г~т (Х, + Хз) ег, о Хз(ег+ е г), о = О, или ог хг — хз, оз хз(е +е )„оз О. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗЛДД1И! 179 4.35. Поле скоростей задано в переменных Лагранжа оз = — Хзе, о г = — Хз, оз 2!. Найти компоненгы )скорения в эйтеровой форме.
Отвал: аз = е ~(х + /хз — Р). аэ О, аэ = 2. 4.30. /)оказать, что поле скоростей о! = аг/ьЬ/хэ + сы где Ь! и с! — постоянные векторы, представляет вращение абсолютно твердого тела, н определить вектор вихря скорости йг для этого движения. Олмет: 2й, = а! =дгх — Ь! = 2Ь!. 32 4.37. Йоказать, что лля течения о! =х!/(1+ 1) линии тона и траектории совпадают. 4.38. Напряженность электрического поля в области, занятой движущейся жидкостью, равна л = (А соз 3!)/г, где гз х, -1- хз и А — константа.
Скорость 2 жидкости задана своимн компонентами оз = х!х, + хз, о, = — х! — х,ха, оз = О. Найти д)./д! в точке Р (х„ хе, хз). Отлет: дй/д/ = ( — ЗА з)п 3/),'г. 4.39. Доказать, что для поля скоростей оз = хтхз+ «зз, оз — хз! — х,хз. 2 оз — — О линии тона будут окружностями. 4.40. Дан закон движения сплошной среды х, = Хм х, = е/ (Хв+ Хэ)/2+ +е ~(Хз — Хз)/2, хэ —— е (Х2-1-Х,)/2 — е ~(Хз — Хз)!2. Доказать, что 02/= = дег//д! при 1=0. Сравнить этн же тензоры при 1 О.б.
4.41. ПО ДанномУ полю скоуостей о, х!хе+ хз, оз = — (х! + хзхз), оз = О хч найти главные осн и главные значения тензора 0 в точке Р (1, 2, 3). 6 О 0 3/) 10 1/Р 10 О Ответ! Вг/ —— 0 О О; аг/ = О О 1 ΠΠ— 6 1/УГΠ— ЗП !0 О 4.42. Для поля скоростей задачи 4.4! определить скорость удлинения материального отрезка в направлении т — (е, — 2еэ + 2ез)/3 в точке Р (1, 2, 3).
Какова максимальная скорость сдвига в точке Р? ОЬ тг д!'1= — 24/9, 7,„-6. 4.43. Доназать, что д (дх!/дХ/)/д/ = ог ьха Р и, используя зто равенспю„ получить формулу (4.41) непосредственно из (4.38). 4.44. Доказать тождество '/,е, (о,о,) = йрп + оей — йео, где и! — снорость, а й! — вектор вихря скорости. Показать также, что о! о/!= = Р!!0г/ — 2й;й!.
4 43. /(оказать, что материальная производная от суммарной заеихренности вычисляется по формуле д — ! дрй'=~(ей аз+а/о!) 45/, д/ л Глава 5 Основные законы механггкгг снлошной среды 5.1. Сохранение массы. Уравнение неразрывности Всякий материальный континуум обладает свойством, называемым массой. Суммарная масса некоторой частя сплошной среды, занимающей в момент 1 объем пространства $~, выражается интегралом т=) р(х, г)й', г где р (х, г) — непрерывная функция координат, называемая плотностью.
Закон сохранения массы утверждает, что масса вьщеленной частя среды остается постоянной и, следовательно, материальная производная от (5.1) равна нулю. Если в формуле (4.52) положить Р,у (х, Г) = — р (х, 1), то получим выражение для скорости изменення массы и — = — ~ р(х, 1)Л~ 1~ — +р — 1Л'=О.
(5.2) г гГ бр <ъь 1 бГ = бГ ) 1 '1 бГ дяь Поскольку это равенство верно для произвольного объема У, подинтегральное выражение само должно обращаться в нуль, т. е. — + роь ь = О, или — „+ р (7 ° ч) = О. (5.3) бр бо Это уравнение называется уравнением неразрывности (или непрерывности). Раскрывая оператор материальной производной, его можно написать в другой равнозначной форме — + (роя)л = О нли — + Ч ° (рч) = О.
(5.4) В несжимаемой среде плотность массы каждой частицы не зависит от времени, т. е. йргйг = О, и уравнение (5.3) принимает вид оюь = О, нлн с))чт = О. (5.5) Поле скорости т (х, 1) в несжимаемой среде можно гГоэтому представить выражением о; = еЧАяььз нли т = Ч Х з (5.6) где функция э (х, Г) называется векторным лотенци ом т. Уравнение неразрывности можно записывать лагранжевой, иля материальной, форме.
Для сохранения массы т))ебуется, чтобы 1В! 62. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВ!ОКЕНИЯ выполнялось уравнение ~ Рс (Х, О) сЛ'с = ~ Р (х )) дР. (5.7) Здесь оба интеграла взяты по одним и тем же частицам, т. е. У— это объем, который теперь занимает среда, заполнявшая в момент 1 = 0 объем У,. Используя (4.1) и (4.38), интеграл в правой части (5.7) можно преобразовать следующим образом: ~ ро(Х, 0)й)1о = ~ р(х(Х, ~), 1)И(~'с — ~ Р(Х, ()ИЪ'р, (5.8) !', Р, Соотношение (5.8) должно иметь силу для произвольно выбранного объема Г„и поэтому Ро =Р(. (5.9) Это означает, что произведение р( не зависит от времени, так как объем !' произволен, т. е. что (РЛ (5.10) Уравнение (5.10) является лагранхеевой ди44ерен1(иальной Формой уравнения неразрывности.
5.2. Теорема об изменении количества движения. Уравнения движения. Уравнения равновесия На рис. 5.1 изображен движущийся объем сплошной среды Р в момент й На него действуют массовые силы с плотностью распределении Ь,. На каждом бес- а конечно малом элементе йЬ' поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, действует вектор напряження 1',."'. Во всей области, занятой средой, определено поле скоростей о, = йи, Яй Общее количество движения системы масс, заполняющих объем определяется интегра- 1 лом Рис. ЕЛ.
(5.11) Р1 (1) = ) ро,.йр. р Основываясь на втором законе Ньютона, теорема об измене- нии количес1ява движения утверждает, что скорость изменения со 182 Гл. Б. ОСНОВНЫВ ЗАКОНЫ ИГХ1ННКН СПЛоп!НОП ГНЕДЫ временем количества движения некоторой части континуума равна результирующей снл, действующих на рассматриваемую область '). Если внутренние силы, действующие между частицами данного объема (рнс.
5.1), подчиняются третьел1у закону Ньютона о действия н противодействии, то теорема об изменения количества движения для этой системы масс выражается уравнением ) 1~~йБ + ) рЬ,А' = — „~ ри,.е(У, (5.12] нлн ~ 11"Ч5 + ) рЬйУ = — „, ) АУ. ПОСЛЕ ПОдСтаНОВКИ 1!та =О!,л; В ПЕрВЫй ИНтЕГраЛ Н Прсабразовання интеграла по поверхности в интеграл по объему (согласно теореме Гаусса — Остроградского) это уравнение примет внд ~(о»,;+ рб!) йУ = — „1 ро!1(У, нлн ~(У. ~+рЬ)йУ= — „', (рчйУ,. У Распишем материальную производную правой части (5.13) н воспользуемся уравненнем неразрывности в форме (5.10).
Это даст — ! ро,.йУ = — „, ( ро,ЛВ'~ = л е е — е! + р! ~ ~Л'в = ~ —,!' р!!У. (5.14) Подстановка этого выражения в правую часть (5.13) н объединение членов приводят к интегральной форме теоремы об изменении юличеетлва движения! ') (о;1; + рЬ, — ро!) дУ = О, (5.15) ') (Чк Х+ рЬ вЂ” рч) с(У = О. р П Теорел!ы об изменении ноличества движения н об измененки момента количества движения (см, стр.
183) фактически уже были использованы вгл.2.— Прим. перел. л. теогвмл ов изменении момянтл количвсзвл движения 183 Так как объем )л произволен„само подинтегральное выражение (5.15) должно обращаться в нуль. Полученные таким образом уравнения олв+рд, = ро„ или Чк Х + рЬ = рт (5.16) называются уравнениями движения. Для важного случая равновесия, когда отсутствуют ускорения, ' из (5.16) сразу получаются уравнения оъ;+ рд; = — О, плп Ч„Х+ рЬ = О. (5,17) Оин называются уравнениями равновесия и широко используются в механике твердого тела.
5.3. Теорема об изменении момента количества движения Будем предполагать, что л1омент количеслчва движения для сплошной среды равен моменту вектора количества движения относительно какой-либо точки. Так, для части континуума, изображенной на рнс. 5.1, полный момент количества движения относительно начала координат по определению равен интегралу Л', (1) = ~ ейях1ролй~, или Ь( = ~ (х Х рч) д(л, (5 16) р где х; — радиус-вектор элемента объема И(л. 7Ьоре.иа об изменении момента количесп1ва движения утверждает, что скорость изменения момента количества движения произвольно выбранной части континуума относительно любой точки равна главному моменту (относителы1о той же точки) массовых и поверхностных сил, действующих на рассматриваемую область среды (более общая формулировка этой теоремы дана в задаче 5.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
