1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(х, /) др', (4.50) а так как интегрирование идет по определенной части континуума (т. е. индивидуализированной системе масс), операции дифференцирования и интегрирования можно менять местами. Таким образом, — ~Рч (и, /)и'р'= ~-д)-(Р;;, (х, /)Щ. (4.51) После выполнения дифференцирования с учетом (4.41) приходим к следующему равенству: Оператор индивидуальной производной определен формулой (4.12) как д/д/ = д/д/ + о д/дх .
Тогда равенству (4.52) люжно придать внд д ~ Рч...(х, т)Й1 = ~ ~ "а~ + д (орРн (х, /)) дР. (4.53) дхр По теореме Гаусса — Остроградского (1.157) преобразуем второй член в правой части (4.53) в интеграл по поверхности; получим — ~Рц, (х, /)Л'= ~ '/"' ' (й~+~ор(Р/„(х, /)]дЯр. (4.54) р У э Это соотношение утверждает, что скорость изменения некоторой величины Р„.. (/) в части сплошной среды, занимающей в данный момент объем 1', равна сумме изменений этой величины во всех точках внутри 1l плюс поток величины Р;; (х, т) через поверхность В, ограничивающую К Процедура определения материальных производных от интеграла по поверхности и линейного интеграла в общем та же, что только что проделанная для интеграла по объему.
Так, для любого тензорного свойства сплошной среды, которое выражается интегралом Шт ЗЛДАЧП С РЕШПН1ЯМП по поверхности 1Ец... (1) = ~ 1Е11 . (х, () е[$р, (4.55) где Ъ вЂ” поверхность, занятая в момент 1 рассматриваемой частью континуума, имеем, как н прежде, — ~1Е11.,(х, 1)е(5р = ~ — „ЯЦ, (х, 1) 1(Я [. (4.56) Отсюда, учитывая (4.43), получаем правило дифференцирования интеграла по поверхности: ~Цц 11) е1 Для величин, выраженных линейным интегралом типа )1Ц. (Г) = ( КЦ".„(Х Г) Йхр, с (4.58) материальная производная равна — ~КЛ„(х, Г)е(хр — — ~ — „Яц (х, ()г(хр[. (4.59) с с Проводя указанное дифференцирование в правой части (4.59) и учитывая прп этом (4.45), находим материальную производную линейного интеграла: — [Яц„.(Щ =~ ' '~ 1(лр+ ~ — Р[йц,,(х, ()[1(хе.
(4.60) с с ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Материальные производные. Скорость. Ускорение (9 4.1 — 4.3) 4.). Дано пространственное (эйлерово) описание движения континуума х, = Х,е" + Х, (е' — 1), х, = Х, (е' — е — ') + Х„кр = = Х,. Доказать, что якобиан / для такого движения отличен от нуля, и найти материальное (лагранжево) представление этого движения, обращая уравнения для перемещений. Гл. С. ДВИЖЕ!и!Е И ТГГЧЕСШЕ Согласно (4.3). якобиан равен е О еС вЂ” ! ./ ! дхс/дХ/! О ! О О е — е -С Обращая ураанення движения. получаем Х, х,е +х,(е — !), Х,— хз — хз(ес — е с), Хз —— х,.
Заметим, что нри обоих способах описания хс = Хс при != О. 4.2. Дан закон движения континуума х, Х„хз = е' (Хз + + Хз)/2 + е "(Хз — Хз)/2,хэ = е'(Хз + Хз)/2 — е '(Хз — Хз)/2. Определить компоненты скорости в эйлеровой и лагранжевой форме. Иэ второго н третьего уравнений получаем Хз+ Хз е (хз+ хз) " Хз— — Хз = ес (хз — хз). Разрешая их, находим обращенные уравнения Х, = х„ Х, = е с (х, + хз)/2 + е (х, — хз)/2, Х, = е с (х, + х )/2 — е (х, — х )/2. тогда компоненты перемещения ис = х; — Хс можно записать либо а лагранжеаой форме: ис = О, из =е (Хз+ Хз)(2+ е с(ХС вЂ” Хз)/2 — Хз.
из = е (Хз+ Хз) 2 — е С(Хз — Хз)/2 — Хз, либо а эйлероаой форме: из =О, из = х, — е С(хз+ + хз)/2 — еС(хз — хз)/2, из — — хз — е С(х, + х)(2+ е (хз — хз),'2. Согласно (4.!4), о; = диз/д/ дхс/д/, и компоненты скорости э лагранжеаом предстаалении будут равны о,=о, оз=е (Х +Хе)/2 — е (Хз Ха) 2 оз = ес (Х, + Х )/2+ е с (Хз — Хз)/2. С учетом соотношений Хз + Лз = =е с(х -1-х) и х,— х ес(х — х,), эти выражения для компонент сеолятся к ос = О, ох =я„о =я . С другой стороны, если даиженне задано н эйле.
рааых переменных, то йэ формулы (4.!5) находим диз(дг = оз = е с(х, + х,)/2 — ес (х, — х,)(2 + о (2 — е — ес)(2 + +о ( — е с+ес)/2, дсс /д/ = оз = е с (х, + х,)/2+ ес (х, — хз)/2+ о ( — е + е )/2+ +о (2 — е с — ес)/2. Разрешая эти уравнения относительно оз и оз, получаем. как и прежде, а, = хз, оз х.
4,3. Дано поле скоростей о, = х,/(! + с), о, 2х,/(1 + !), о, = Зкз/(1 + !). Найти компоненты ускорения. Пользуясь формулой (4.!8), находим с(о,сдС = аз = — хс/(1+ С)з+ х,/(! + С)з = О, до /д( = а = — 2хз/(! + Оз + 4хз/(! + Оз = 2хз/(! + С)з, "оз/дг = аз = — Зхз/(! + О~+ вхз/(! + 0~ блз/( + С)~.
4А. Проинтегрировать выражения для скорости, данные в задаче 4.3, и получить уравнения для перемещений х, = хс (Х, () (закон движения); по ннм найти компоненты ускорения в лагранжевой форме. 169 ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ По определению (4. 13) ог = Ахг/а/ хз/(1 + 1); разделяем переменные ахз/хз = а// (! + 1) и интегрируем: 1п хг =!и (1 + О + 1п С, где С вЂ” постоянная интегрирования. Так как хг = Хг при 1 = О, то С = Хь и, следовательно, хз = Хз(1+ й. Точно так же накодим хз = Хз(1+ Вз и х, = Х, (1+ /)'. Затель используя (4.14) и (4.!7), получаем ш =- Хп ш = 2Хз (1 + 1), оз = = ЗХз (1+ 1)' н аг = О, аз = 2Хз, аз = 6Хз (! + /).
4.5. Задан закон движения сплошной среды х, = А + + ;;вл/й) „„ Х ( 1 + „/) В ( -в~/Л), , т (А + ю() = Хз. Показать, что траектории — окружности, а величина скорости постоянна. Определить также связь между Х, и Х, и константами А и В. Перепишем закон движения в виде хд — А =(е ~гй) япа(А+ а/), х,+ + В = ( — е ~~/а) сов х (А -!- ю/). Возведя зти равенства в квадрат и сложив ре.
зультаты, исключим ! и получим траектории — окружности (х, — А)з+ (х + + В)з = е звл/Аз. По формуле (4.6) найдем скорости о, = ме вл соз л (А + ы/), о, = ые вл зш )г (А + ый, оз = О, следовательно, оз = о!в+ озз + озз — — ызе Наконец, х! =Х! при 1=0, откуда Х, А-(-(е вл/л) ып АА, Хз = — В— (е — вл/)) соз)гА 4.6. Поле скоростей задано вектором и = хз/е, + хз/зез + +х,хз(ез.,Определить скорость и ускорение частицы, находящейся в момент != 1 в точке Р (1, 3, 2). Прямой подстановкой найдем т, = е, + Зе + 2е,.
Пользуясь векторной формой формулы (4.18), получим поле ускорений а х! е, + 2хзге, + х,хзез+ + (х,1ег+ х,/зев + х,хз/ез) ° (ихзге,е, + хз/е,ез+ гаере + х,/езез). а (хз+ 2хз!В) е, + (2х,/+ хз/з) е + (х,ха+ 2хз!хз/з) ез. Таким образом, ав —— - Зег + 9ез 'г' без.
4,7. Для поля скоростей задачи 4.3 найти линии тока и траектории и доказать, что оии совпадают. Касательная к линни тока в каждой точке направлена по вектору скорости. Следовательно, для бесконечно малого вектора бх касательной к линии тока можно написать ч Х ак = О и получить тамил~ образом дифференциальные уравнения линий тока ахг/оз = ахз/оз = ахз/оз.
Для указанного течения этн уравнения имеют вид ахг/хт —— с(хз/2хз = ахз/Зхз. Интегрируя ик с учетом начальных условий хг = Хг при 1 = О, находим уравнения линий тока: (хг/Ху)з = хз/Хз (х1/Хг)з = = х,/Х,, (хз/Хз)' = (хз/Хз)'. Интегрирование выражений для скорости г/хг/а = о, было выполнено в задаче 4.4 и дало закон движения хг = Хз (! + 1), хз = Хз (1 + й~, хз = Хз (! + + 1)'. Исключая из втих уравнений время 1, получаем траектории, которые в точности совпадают с найденньпзи выше линиями тока. !ТО !'л.
4. ДВИЖЕНИЕ И ТЕЧЕНИЕ 4.8. В электромагнитном континууме напряженность магннт— А! 2 2 2 ного поля равна л = е lг, где г' = х! + хз + хз и А — константа, и движение задано полем скоростей о, = Вхтхз4, о, = Вхз[2, 2 2 оз = Вх х,, Определить скорость изменения напряженности магнитного поля для частицы, расположенной в момент 1 = 1 в точке Р (2, — 1, 2). Так кан д(г ~)/дх! = — х4/гз, формула (4.11) лает ). = — Ае ~[г — е (Вхзхз!+ Вхфз+ Вхзхй[гз. Танич образом, в точке Р в момент ! = 1 лл = — е л (ЗА+ В)/9 4.9. Дано поле скоростей о, = 4хз — Зхз, о, = Зх„оз = — 4х,. Определить компоненты ускорения в точках Р (Ь, О, 0) и [',) (О, 4Ь, ЗЬ) и обратить внимание на то, что поле скоростей соответствует вращению абсолютно твердого тела с угловой скоростью, равной 5, вокруг оси, направленной вдоль иектора е = (4е + Зез)/5. По формуле (4.
!8) а, = — 25х„а, = — 9х + 12хз, аз = 12х — 18х . Тоглз в точке Р [Ь, О, О) а — 25Ье, и ускорение имеет только осестреыительную компоненту, а в точке Я(О, 4Ь, ЗЬ), расположенной на осн вращения, а = О. Можно заметить, что т = а4 Х х = (4ез+ Зез) Х (хзе! + хает+ хзез). (4хз — Зх,) е, + Зх,е — 4х,ез и, слеловательио, а4 5е. Скорости деформации, завихренность ($ 4.4 — 4 5) 4.10. Некоторое течение задано полем скоростей и! = О, о, = — х— = А(х,х,— хз) е, о,= А (хз — х,х,) е, где А и  — константы. Найти градиент скорости до,.гдх! для этого двюкения н вычислить тензор скоростей деформации 0 и тензор завнхренностн и' в точке Р (1, О, 3) в момент 1 = О.
Согласно (4.19), [ О О О дог/дх! = х, х, — 2хз Ае В!. — хз 2хз — х, Этот тензор можно вычислить в тачке Р в момент ! = О, а его составные части Волсчитать соответственно по формулам (4.ж)) и (4.21): 44 О О О У = 1)+'т'= О А — 6А — ЗА Π— А ! —,,5Я М вЂ”.~) ( —, 5.3 2. 1 ) задачи с Ртшян;!ями 4.11. Для 'движения х, = Х„х, = Х, + Х, (е —" — 1), х, = = Х, + Х, (е — з' — 1) вычислить тензор скоростей деформаппп 1) и тензор завихренности Тг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
