1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 26
Текст из файла (страница 26)
14), то нъ (х, 0 дъ,. (х, о — дг дг (4 17) или дъ(Х, () дъ(Х 0 Ф д( Если же скорость выражена в эйлеровой форме (4.15), то дъ,(к, 0 дъ. (к, й ди!(к, () а;(х, () — '-д) — — ~-й) — + о„(х, /) — ф или (4. И) а(х' г) Й д( + ъ(х, /) Ч„ъ(х~ 1). 4.3. Траектории. Линии тока. Установившееся движение Траектория — это линия, по которой следует частица в процессе ее движения или течения. //инагй тока для поля скоростей в некоторый момент времени называется кривая, касательная к которой в любой точке совпадает по направлению со скоростью в этой точке. Движение континуума называется устанозиааимся (или стоционарньш), если поле скорости не зависит от времени, так что до,/д(= О. Для установившегося движения линии тока и траектории совпадают.
4,4. Скорость деформации. Завихренность, Прнр.щения деформации Пространственный градиент мгновенного поля скорости дает тгмзор градиента скорости до,/дх; (или Ун). Этот тензор можно раз- ложить на симметричную и анп!симметрннчную части следующим образом: ди 1 /дъ! ди(! ! /дн дъг1 )/, = — = — ~ — + /+ ~ — '1=Р, +У„, дх/ 2 1 дк/ дч ~ 2 (дх( дж / или У = 1/т (ъЧ, + Ч „ъ) + т/т (ъׄ— Ч „ъ) = Р + Ч„(4.19) Симметричный тензор РН =РЛ = и ~ д + д ), или Р ='/з(ъЧ„+Ч„ъ), (4.20) 162 гл, 4. движения и течение 4.6. Физическая интерпретация тензоров скоростей деформации и завихренности На рис.
4.1 скорости соседних частиц, находящихся в точках Р и !г движущегося объема сплошной среды, обозначены соответственно о, н ц +до!. Таким образом, скорость частицы относительно точки Р равна де; сЬ = — !ахн дх! (4.26) илп г(т = тЧ„ах, где частные производные вычислены вточке Р. Это выражение 1 можно записать через 0п и Ркс. 4.!. н до! = (00 + р;;) дхь или сЬ = (О + Ч) ° т(х.
(4.27) Если тензор скоростей деформации тождественно равен нулю ())и эи = О), то Йа, = 'г';!дх!, или Ит = У Их, (4.28) н движение в окрестности точки- Р будет вращением абсомотно твердого тела. По этой причине поле скоростей называют «безвращательным» ('безгихревым), если тензор завнхренностп обращается в нуль во всех его точках. Ассоциированный с тензором завихренностп вектор определяется соотношением Ч, =е!локь нли !) = 7„х к, (4.29) и называется вектором завнхренности.
Символическая форма записи (4.29) показывает, что вектор завихренности получается дей= ствиеы оператора ротор (го! пли снг)) на поле скоростей. Вектор, равный половине вектора д, ! ! г ч! = 2 е!!эок! ! ! илн 4) = — и = — Ч„Х т, (4,30) 2 до! = е!;эй!дх„или дт = 4) х дх. (4.3!) называется вектором вихря скорости. При вращении абсолютно твердого тела, как получено в (4,28), относительная скорость час- тицы, соседней с Р и находящейся от нее на расстоянии дх„дается формулой )аз СЬ, МАТЕРИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ЭЛЕМЕНТА ОБЬЕМА Компоненты тензора скоростей деформации имеют следующий физический смысл.
Диагональные элементы Ри — это скорости относительного удлинения отрезков, расположенных вдоль осей координат. Так, для чистой деформации нз (4.27) следует, что йо, =Рцйхн илн йт =Р ° дх, (4.32) а так как скорость изменения длины линейного элемента йхн приходящаяся на единицу мгновенной длины, есть аь, дт,. й)М = — ' = РН вЂ” ' = Рцт) или )()т) Р, т (4 33) то скорость удлинения в направлении единичного вектора т,- равна й = й("т, = Рут)то или й = т Р т. (4.34) Если Р, — направление какой-либо осн координат, например е„ то, согласно (4.34), й = Рмп илн й =е, ° Р е, = Рм, (4.35) Недиагональные элементы Рн характеризуют скорости сдвига и являются мерой скорости изменения прямых углов между направлениями отрезков, расположенных вдоль Осей координат (см. задачу 4.18).
Вследствие того что Рн является симметричныч тензором второго ранга, для него существуют такие понятия, как главные оси, главные значения, инвариатпы, поверхность скоростей деформации и девиатор скоростей деформации. Кроме того, для компонент тензора скоростей деформации можно написать уравнения совместности, аналогичные уравнениям, полученным в гл. 3 для тензора линейных деформаций. 4.6. Материальные производные по времени от элемента объема, элемента поверхности и линейного элемента В результате движения из некоторого начального состояния в момент 1 = 0 к рассматриваемому в мол)ент 1 состоянию частицы сплошяой среды, которые вначале занимали элементарный объем й~l„займут элементарный обьем й'Р'.
Если начальный элемент объема взят в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.2), то, согласно (1.10), А'ь =йХАе, х йХ,е, йХ,В, =йХ,йХ,йХ,. (4.36) Прп движении этот параллелепипет перемещается и искажается, но нз-за непрерывности движения не разрушается. Действительно, ь* 164 Гх. С ДВИЖЕНИЕ И ТЕЧЕНИŠ— (»У) — ( />(Ую) — >(У„ д 4 д/ и/ д> и> (4.39) д поскольку >(Ую от времени не зависит, так что — „г (Л'ю) О. Можно показать (см.
задачу 4.28), что материальная производная от якобиана 1 равна (4.4 0) и, следовательно, (4.39) принимает вид — (>(У) = д' >(У, или д> (>(У) = Чх ° тч(У. (4.41) Бесконечно малый элемент поверхности, имеющий в начальном состоянии площадь Юю, можно задаТь (вместе с его ориентацией) при помощи единичного вектора его нормали и, выражением >/8юп>. При движении среды частицы, вначале составлявшие площадку >/5'»и в рассматриваемом состоянии заполняют элемент площади вследствие связи (З.ЗЗ) г(х> = (дх>/дХ,) г(Х; между материальнымп и пространственными линейными элементами, кжидкий отрезокю, который раньше был»Х„теперь образует бесконечно малый линейный отрезок >/хг> = (дх>/дХ,) >/Х>. Аналогично >/Хю переходит в йх>>а = (дх,/дХю) г(Хю.
а >(Хю превращается в >/х>а = (дх>/дХ )»Хю. Поэтому бесконечно малый элемент объема >/У представляет собой 'хю> Кз скошенный параллелен>н>ед °,»> с ребрами >/х'В, >/х>в, >/х,'". Величина его объема вычисляется как смешанное произ>/хд> ведение с=О дха> р'%, ° = е>/ю>/х> ~>/х>~ ~г(хю"'. (4.37) дХ, Очевидно, этот объем равен е хх, Кх . дх> дх> дхю дх, е, >/У = еою — х — х дХ„ дхю дХю х >(Х>>/Хю>(ХВ = ./>(Уо (4 38) где / = /дх>/дХ; ~ — якобиРис.
4.2. ан, определенный формулой (4.3). Теперь, используя (4.38), л>ожно получить материальную производную от >/У по времени. ех.мхтвэилльныв пгоизводныа от ннтагэалл по овънмэ 1ад г)Яп,', или Ю,. Можно показать, что гВ, =.1 — „' дХи или Ж = ЛХ ° ХЧх, (4.42) откуда находим материальную производную элемента площади'. — (г(Я;) = — ~1 — ~ИХ; = — 'гБ, — — Юн (4.4'>) дХг~ д, Ь, Ж ' дГ ~ дх,) ' дх~ ~ дх Материальную производную от квадрата длины бесконечно малого линейного элемента г(х; можно вычислить аналогичным образом: д д (дх,) д, (дхз) = и (г(хФх[) = 2 и ' г(хо (4.44) Но так как г(х, = (дх;/дХ;) с(Х;, мы имеем и ! дхс т до~ до дхх ди~ — ((х,) = — ( — ) (Х, =- — )Х, = — — ах, = — (х, й ' Ж ~ дХГ ) дХГ дхх дХГ дхх (4.45) и тогда (4 44) примет вид Д дх — (ох') = 2 — 'дх„фхэ а = дх, (4.46) или — (ЖР) = 2дх Ч,ч ° 0к.
Выражение в правой части в индексной форме (4.46) симметрично по индексам ( и А, и, следовательно, можно написать — с(хфх, + — йхфхх = ~ — + — ~ ох,аахм (4.47) дис доа / дн дщ т дхх дх, 1 " (~ дхх дх ) либо, принимая во внимание(4.20), — (г(х') = 2Р;,х(хд4хп или — (Ихх) = Ых ° Р ° Их (4.48) 4.7. Материальные производные по времени от интеграла по объему, интеграла по поверхности и линейного интеграла Не все свойства континуума можно задать для индивидуальной частицы функцией ее координат так, как это сделано в (4.7) и (4.9); некоторые свойства определяются интегралами по конечной части континуума. Пусть, например, какое-либо скалярное, векторное гр. е движвнис и тсчвнив нли тензорное свойство представлено интегралом по обьему РЧ (Е) =~Рц (х, /)А', (4. 49) где г' — обьем, который рассматриваемая часть сплошной среды занимает в люмент й Материальная производная от Рн , (/) равна — (Рп (8)) = — ) Ри/,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
