1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 21
Текст из файла (страница 21)
— Нзпгзтв9р9п1жева-тензора.деформаций 1и вектор относительного перемещения на единицу длины дан формулой (3.47). которую можно представить еще и так: Д- = ()ц+ В'ц) тн или лх = (1. + %) ° т. (3.85) ад .м.з* Гл. х деФОРмхцин Обозначим через Е("' величины т(и,/т(Х для линейного элемента в направлении единичного вектора и,. Для чистой деформации ()17,(в 0) из (3.85) следует Еы' = Ецпв нли 1'"' = 1. ° п. (3.88) Если направление и; главное, а 1 — соответствующее главное значение тензора 1,), то Еем = Еп, = Ебцпе, или 1'"' = 1п = Л ° п. (3.87) Приравнивая правые части (3,88) и (3.87), приходим к соотношению (1;е — 601) пе = О, или (1.
— П) ° и = О, (3.88) которое вместе с условием цп, = 1 на единичные векторы и, дает необходимые уравнения для определения главного значения деформации 1 и направляющих косинусов и, соответствующего главного направления. Нетривиальные решения системы (3.88) существуют тогда и только тогда, когда определитель из коэффициентов обращается в нуль, т. е. ) 1ц — бц1) = О, или )$.— 11( = О, (3.89) что после раскрытия определителя приводит к характеристическому уравнению для тензора 1ц.
Это кубическое уравнение Ег — 1~Ее+ П~Š— П1~ = О (3,90) где 1ь = Еи = (г1., Пь = т/э(Еи(п — ЕцЕц), П1ь =(Ете(= т(е(1. (3.91) — соответственно первый, второй и третий лагранясевы инварианты деформации. Корни уравнения (3.90) являются главными значениями деформации и обозначаются Еш, Еч и 1в>. Первый инвариант лагранжева тензора деформаций является суммой главных деформаций 1ь = Еи = Еео + Ед + Ев) (3.99) и имеет важный физический смысл. Чтобы обнаружить это, рассмотрим элементарный прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны главным направлениям деформации (рис.
3.8). Изменение объема на единицу первоначального объема этого элемента называешься коэффициентом кубического расширения и по определению равно дК„ВХт (1 + ЕШ) ЕХ~ () + Етв) ВХз (1 + Ев~) — ВХЕЕХЕЕХд ~'о ВХВЕХгеХ, . (3.93) В теории малых деформаций это соотношение в первом приближении дает интересующую нас сумму Е)о = Еш + 1(2 г+ 1<9) = 1ь (3.94) <з< ззь ш<<говои твнзои и дввнхтог Что касается эйлерова тензора деформаций е,< и соответствующего вектора относительного перемещения е;"', главные направления и главные деформации е<п, ейв е<в определяются точно так же, как их лагранжевы аналоги.
Эйлеровы инварианты деформации выражаются через главные деформации спедующим образом." 1в = е«< + егл + есь 11в = вши<в+ е<ве<и+ ив<в<и, (3.93) !11в = ео>е<з<ев<. Для кубического расширения в эйлеровом описании при малых деформациях получается д<РI)'= Е> = в«<+ е<ь+еиь (3.96) 3.14. Шаровой тензор и девиатор деформаций Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций можно разложить на шарова<е тензоры и девиатора тем же саь<ым способом, как в гл.
2 было выполнено разложение тензора напряжений. Если компоненты лагранжева и эйлерова девиаторов обозначить через <(и н еп соответственно, то нужные выражения имеют вид !<, = д«+ б<<!и«!3, или 1- = 1-о + ! (!г $.)/3, (3.97) и ец = ец+ б<;сии/3, или Е = Ел+1(1гЕ)/3, (3 98) Первые инварианты <1«и ем девиаторов деформаций тождественно равны нулю. Поэтому девиаторы описывают деформацию сдвига, для которой кубическое расширение равно нулю, би Гз.
3. ДЕФОРМАЦИИ 3.15. Плоская деформация. Круги Мора для деформации Когда одна и только одна из главных деформаций в точке сплошной среды равна нулю, говорят, что в этой точке существует состояние плоской деформации. Если в эйлеровом описании (лагранжево описание проводится точно по той же схеме) за ось хз принять направление нулевой главной деформации, то плоская деформация происходит в плоскостях, параллельных плоскости х,х, и характеризуется тензором линейных деформаций ем егз 0 ец = е,з ез 0 (3.99) 0 0 0 Если х, и х, — тоже главные направления, то тензор деформаций принимает вид е, 0 0 ец= 0 е 0 (3.100) 0 0 0 Во многих книгах по сопротивлению материалов и теории упругости плоской деформацией называют состояние с плоским полем коэффициентов длины (тензоров Коши или Грина), когда это поле одно и то же во всех плоскостях, перпендикулярных к направлению нулевого главного удлинения.
Для плоской деформации, перпендикулярной к оси хз, вектор перемещения является функцией только х, и х,. Соответствующие компоненты перемещения для этого случая обозначим так: из = из(х1, х,), из = из(хз, х,), из — — С; (3.101) здесь С вЂ” постоянная, которую обычно считают равной нулю. Подстановка этих значений в формулу (3.43), определяющую еп, дает тензор плоских деформаций того же вида, что (3.99). Графически состояние плоской деформации в точке описывается кругами Мора для деформации точно таким же способом, что приведен в гл.
2 для кругов Мора для напряжения. При этом тензор деформаций часто представляют в виде еи /зум /»71» 1 1 ец = /зум езз /зузз (3.102) /гу1з /зум езз ЗДесь Уо (пРи 1 ~ 1) — компоненты так называемых зтехнических» деформаций сдвига, которые равны удвоенным тензорным компонентам деформаций сдвига. При экспериментальном исследовании, включающем измерение деформаций в тех точках поверхности тела, где деформиро- Ззб. уРАВнения совместности для линейных деФОРИАций 133 ванное состояние можно счн- / тать локально плоским, три нормальных удлинения измеряются посредством «розетки деформацийе (т. е. набора радиально расположенных датчиков, измеряющих деформации в точке по разным направлениям), а диаграмма кругов Мора строится по этим удлинениям.
По аналогии с кругами Мора для плоских напряжений типичная диаграмма для плоской деформации приведена на рис. 3.9. ГлавРис 3.9. ные удлинения помечены теми же буквами на диаграмме, а величинам максимальных деформаций сдвига соответствуют точки 1:1 и Е. дехи де«ее дхе дх1 дее х йеее =2 —, дееее дх,дхе ' д'е, =2 — м, дх,дхе ' д'ем дхе дхе де«„д'е„ вЂ” +— дх1 дхее (3.104) 3.1б.
Уравнения совместности для линейных деформаций Если компоненты деформации е,, заданы в явном виде как функции координат, то шесть независимых уравнений (3.43) е;; = — ~ — ' + -3-~-) можно рассматривать как систему шести уравнений в частных производных для определения трех компонент перемещения и1 Система переопределена и в общем случае не имеет решения при произвольном выборе компонент деформации есь Значит, чтобы существовали однозначные и непрерывные компоненты перемещения и1, на компоненты деформаций должны быть наложены некоторые условия. Необходимые и достаточные условия для существования такого поля перемещений выражаются уравнениями де«1,.
де«А йе1А де«. дхедх„дхдх; дх1дхФ дх1дхе + * ' О. (3. 103) Всего в (3.103) содержится восемьдесят одно уравнение, но только шесть нз них различны. Зти шесть уравнений, записанные в развернутой и символической форме, выглядят так: 134 Гз. 3. дееормдцин деы ! дзен дв,з д'езз + — ' де»1 дхз де аз дхз +— дезз дхз дхз)- дх,дх, или Ч, х Е хЧ„=О. Уравнения совместности можно написать и для компонент лагранжева тензора линейных деформаций вследствие очевидной аналогии с эйлеровой интерпретацией, приведенной выше.
Для плоской деформации, происходящей в плоскостях, параллельных х,х„шесть уравнений (3.104) сводятся к одному: — ~м-~- е" = 2 — ", или Ч„х Е х Ч„=-О, (3.105) где Е определяется формулой (3.99). ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Перемещение и деформация ($3.1 — 3.5) 3.1. Относительно совмещенных материальных осей Х, и пространственных осей х, задано поле перемещений сплошной среды х, = Х„ х, = Х, + АХ„ хз = Х, + АХ„ где А — константа.
Определить компоненты вектора перемещения в материальной и пространственной форме (в лагранжевых и эйлеровых переменных). Компоненты перемещения в материальной форме находим непосредственно из (3.13): и, хз — Хз = О, из = хз — Хз АХ», из хз — Хз АХ». Разрешая относительно Хь получаем Хз хь Хз (х, — Ахз)/(1 — Аз) Хз =(хз — Ахз)/(1 — Аз), а пространственные компоненты вектора и будут равны и, О, из = А (хз — Ах,)/(1 — Аз), из А (хз — Ахз)/(! — Аз). Из полученных результатов видно, что первоначально прямая линия в материальной частице, представленная уравнениями Хз О.
Хз+ Хз 1/(1+ А). займет после деформации положение хз = О, х, + ха 1. А материальная линия Х, = О. Хз Хз станет после деформации хз О, хз хз (Истолковать механический смысл этих результатов.) 3.2. Для поля перемещений задачи 3.1 определить смещенное положение материальных частиц, которые первоначально составляли: а) круг с границей Хз з+ Хзз 1/(1 — А') в плоскости Х, = О; б) бесконечно малый куб, ребра которого лежат на осях координат и имеют длину з!Х! = з(Х. Нарисовать смещенные конфигурации для аа» и зб», если А = '/, 135 ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ а) Замена координат Хз = (хз — Ахз)/(1 — Аз) и Хз (хз — Ахз)/(! — Аз) переводит круг в область, ограниченную эллипсом (1+ А') хт — 4Ах,хз+ + (!+ А') хзз (1 — Аз).
При А 1/2 уравнение эллипса 5хз з— 8хзхз+ 5хз 3; в главных осях х; (образующих углы 45' с хь ! 2, 3) оно принимает вид хз + йхз 3. На рис.3.10 показано геометрическое место смещенных точек. з з Х2 Рис. 3.! 1. б) Нз задачи 3.1 перемещения ребер кубика находится без труда.
На ребре Хг Хь Хз = Хз = О компоненты перемещения и, = из = пз = О. На ребре Хз = О = Хз, Хз = Хз мы имеем и, из О,из = АХз, и частицы перемещаются в направлении Х, пропорцйоиально их расстоянию от начала координат. Йля ребра Хз = Хз О, Хз = Хз, и, = и, О, из = АХ,. Начальное и смещенное положения куба показаны на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
