1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 25
Текст из файла (страница 25)
3.46. Вывести формулу (3.72), выражающую изменение угла между координатными направлениями Х, и Х, в случае конечной деформации. Доказать, что если градиенты перемещений малы, то зта формула сводится к (3.66). Пусть у, и/2 — Π— интересующее нас изменение угла (рис. 3.5). Тогда мп т~ соз (и/2 — О) пз пз, или в силу (3.33) и (3.34) ;и, ихз дхз ддз'Ес Е'дкз (дхз( (~ з( У'дк,.а дХ,)/дд, С дк, ' Разделим числитель и знаменатель этого выражении на ( дХз ( и ( дкз (.
Учитывая (3.35) и (З.бб), получаем и т. ЛЛ следовательно, 2бзз з!и узз )' 1+ 2ьзз)' 1+2бзз ди /дХз + дп„/дХз+ (доз!дХ,) (дпа/дХз) "з/ 1 + 2ди /дХ + (дна/дХз) (доз/дХ ) )/ ! + 2диз/дХз + (диз/дХз) (днз/дХз! Если дщ/дХ/ « 1, это равенство сводится к следующему виду: яп уз, доз/дХз + + диз/дХз 2!зз. 3.47.
Для перемещения простого сдвига х, = Х„х, = Х„хз = = Х, + 2Хз/)'3 определить направление линейного элемента в плоскости Х,Х„для которого относительное удлинение равно нулю. Пусть пз = яззез+ «ззез — единичный вектор нормали в направлении нулевого удлинения. Тогда иэ (З.бб), учитывая, что Л „1. получаем !ез! 1 0 0 0 з/з 2/) 3 0 2/) 3 1 (О, тз, «зз) -1 ез з! ез з(п узз г е„ Гз е, )' е /(елее, в силу (3.37) имеем ез й ° е = е„° 1 ° ез 2бзз. так как ез ° ез О.
ез - О ез Л „ Л „ Сз ез !з,! !з,! ез (2Ьп+ 1) ез — е, 2ьо ° ез + Согласно (З.бб), Л )' 1+ 2(ез !аз! дополнитпльныи задачи или 7ттэ+ 4)'Зл)еже+ Зтзэ 3. Кроме того. тээ+ тзт = 1. Решая совместно Эти Дяа УРаВНЕНИЯ, НаХОДИМ ПЬ) 4 ~ 3/2, те = Р)/з ИЛИ те О, (Пе 41. Такил( образом, иулезое удлинение имеют элемеит. расположенный вдоль оси Хз, и элемент, идущий под углом 60' к оси Х.. Читателю предлагается проверить этот результат, аоспользозазшись соотиошеиием гп 260 ° т О, коюрое получаетса иэ (3.36). ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 3.48.
Для перемещения сдвига задачи 3.47 найти уравнение эллипса, з который переходит при деформации круг Хт+ Хз 1. Ответ( хе+ 9хз 3. 3.49. Определить угол сдвига уее для деформации задачи 3.47'(рис. 3.22). Ответ: уее агсяп (2/1~7). 3.50. Дано поле перемещений х) Х) + 2Хе, хэ Х, — 2Хэ, хе Хе— — 2Х, + 2Хе. Найти лаграижез и эйлеров тензоры иоиечиых деформаций Ьа и Ел. Х 3 2 — 2 Ое) Ответ( 1.
= — 2 2 0 0 0 4 1/' 2 — 2 О~ Ел= — — 2 2 0 9 0 0 4 Хд Рис. 3.22. 3.51. Найти диагональную форму обоих тензороз задачи 3.50. Ьа= 0 0 О, Ел= 0 0 0 Ответ: 3.52. Для поля перемещений задачи 3.50 найти градиент деформации Р и, зоспольэоеазшись полярным разложением Г. определить тензор поворота 1( и правый тензор коэффициеитоа длины Б. Ответ: 3 1 2 — 2, $= — 1 2 О, Р= О 1 2 3.53. Доказать, что пераый инвариант тензора 1„) можно представить через главные значения коэффициеитоз длины следующим образом: 1„=((Л „— Ц+ (Аэ„— Ц+ (Лэ„— Ц)/2, (ее) (ее) (ев Указ(лпе: зоспользозаться соотношением (3.68). 8.54.
В иекоторой точке задан тензор деформаций — 3 )~2 е( — — — 3 1 — )/2 )/2 — )/2 4 156 Гл. з. деФОРМАЗ1ии Определить относительное удлинение з напразлеиип т е,/2 — е,/2+ еэ/$/2 и изменение угла между нэпраэлениями т и м — ет/2+ еэ/2+ е /Р 2. Ответ: е б. у = О. (т! 3.55. Как выглядит а главных асях тенэор еп задачи 3.543 Учесть, что направления и и /х, указанные и этой задаче, являются главными (следозательно, у„о!. е!/ — — О 2 0 Опмвт: 3.56. Построить круги Мора для деформированного состояния задачи 3.54 и найти величину максимальной деформации сдвига.
Проверить результат аналитически. Ответ: у „= 4. * 3 57. Вычислить асе три инэарианта тензора з!/ задачи 3.54 и теизора з! зада. чи 3.55 и сравнить результаты. Ответ: !я 8, П н — 4, Ш н = — 24. 3.58. Для тензора е// задачи 3.54 определить дезиатор ег/ и вычислить его главные значения. — 1 — 3 4/2 4 О О Ответ: в;,.= — 3 — 1 — Г'2, в;/= ΠΠΠ— О О 4 3.53 Дано поле перемещений и, Зх,хт, из = 2х х,, и !~э — хх. Определить теизор з!/ и ирозерить. удоалетааряются ли услояия совместности.
Ответ. Зхт Зхгхэ+ хэ — х /2 Зх,х„+ хэ 0 х /2 — х„/2 х,/2 2х, ,5.10 ' !з//! = 3.60. Для дельта розетки деформаций найдены относительные удлинения. яеличины которых указаны на рис. 3.23. Определить зтэ и зю э этой точке. Ответ: еээ = 1 1О в, е,э — 0.2885 ° 10 4. ея=2 10 ~ Рис. 3.23. 3.61 Для поля перемещений х, = Х, + АХ„хэ = Хэ, х, — Хэ — АХ, вычислить изменение обьема и показать, что она равно пулю, если константа А очень мала.
Глана 4 Движение и течение 4.1. Движение. Течение. Материадьиая производная Термины движение и течение используются при описании мгновенного или непрерывного изменения конфигурации сплошной среды. Иногда словом течение называют движение, приводящее к остаточной деформации, как, например, в теории пластичности. Однако при изучении жидкостей это слово означает непрерывное движение.
Как было указано в (3.14) и (3.15), движение некоторого объема сплошной среды можно выразить либо в материальных координатах (лагранжево представление): к,=х,(Х„, Х„Х„() =х,(Х, 1), или х=х(Х, 1), (4.!) либо, разрешая эти уравнения, в пространственных координатах (эйлерово представление): Х,=Х,(хм хм хм 1) =Х,(х, Г), или Х=Х(х, 1). (4.2) Для существования обратных функций (4.2) необходимо и достаточно, чтобы якобиан г = ~ дх,/дХг1 (4.3) был отличен от нуля.
С физической точки зрения лагранжев способ описания фиксирует внимание на индивидуальных частицах континуума, в то время как при эйлеровом подходе интересуются определенной областью пространства, занятой сплошной средой. Так как (4.1) и (4.2) взаимно, обратны, любое физическое свойство континуума, приписанное индивидуальной частице (в лагранжевом, или материальном, описании), может также быть выражено для определенного места в пространстве, занятого этой частицей (в эйлеровом, или пространственном, описании).
Например, если в материальных переменных дана плотность р р = р (Х„1), или р = р (Х, 1), (4.4) то пространственное представление ее получается заменой Х в этом соотношении функцией из (4.2). Таким образом, в пространственных координатах плотность равна р = р(Х,(х, 1), 1) = р*(хп М), или р =р(Х(х, 1), г) = р*(х, Ф), (4.5) г . ь движение и течение где символ р* использован для того, чтобы подчеркнуть, что вид функции в эйлеровом представлении не обязательно тот же, что в лагранжевом. Скорость изменения со временем любого свойства в индивидуальных частицах движущейся среды называется материальной (или индивидуальной) производной по времени от этой величины. Материальную производную (также называемую субстанииональной илн полной производной) можно представить себе как скорость изменения рассматриваемой величины со временем, которая была бы измерена наблюдателем, движущимся вместе с индивидуальной частицей.
Мгновенное положение частицы х, само является свойством этой частицы. Материальная производная по времени от положения частицы есть ее меновеннал скорость. Поэтому, принимая символ а/й( или точку над буквой для обозначения операции материального дифференцирования (в некоторых книгах используют символ О/Р0, получаем определение вектора скорости: о; = с(к,/сУ = х,, или ч = йх/й/ = х.
(4. 6) Вообще, если Р<; — любое скалярное, векторное или тензорное свойство континуума, которое можно описать локальной функцией координат, и если в лагранжевом представлении Р„... = Р;, .. (Х, (), то индивидуальная производная по времени от этой величины имеет вид вРу дР;.
(х, )) (4.8) Правую часть (4.8) иногда записывают в форме (дрц (Х, й/дЛ„, чтобы подчеркнуть, что координаты Х считаются посгояннымн, т. е. что при вычислении производной имеют дело с одними и теми же частицами. Если некоторое свойство задано функцией Рп в пространственных переменных Р..=Р0...(х, (), (4.9) то вычисление материальной производной приводит к выражению вР; (х, )) вРц (х, 0 дРц (х, )) вл, — 'а) ' + '~а„, ' в; (4.10) где второй член в правой части появляется нз-за того, что индивидуальные частицы меняют свое местоположение в пространстве.
Первый член в правой части (4.10) характеризует скорость изменения данного свойства в фиксированной точке пространства и соответственно называется локальной (или местной) скоростью изменения. Этот член иногда записывают в виде (дРп (х, ()/д(]„, чтобы подчеркнуть, что х считается постоянным при этом дифферен- КХ. СКОРОСТЬ УСКОРЕНИЕ. МГНОВЕННОЕ ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ цировании. Второй член в правой части равенства (4.10) называется конеективной скоростью изменения, так как он выражает вклад, Обусловленный движением частиц в переменном поле данного свойства.
Принимая во внимание (4.6), для индивидуальной производной можно написать дР, (х, 1) дР, (х, 1) дР1 (х, 1) + о« 1"' , (4.1 !) что сразу наводит на мысль ввести операпюр материального диф- ференГ)провалил по времени д д д д д — = — + о„— или — = — + ч Ч„, (4.12) д1 д1 « д»« д1 д1 который используется при вычислении индивидуальных производных от величин, записанных в пространственных координатах. 4.2. Скорость. Ускорение. Мгновенное поле скоростей Определение поля скоростей дано формулой (4.6) в виде о, = = Нх;И! (или ч = Г(х/й!).
Другое определение того же вектора можно получить из (3.11), согласно которому х, = и, + Х; (или х = = ц + Х). Тогда скорость можно определить так: д»Г д (и1 + ХГ) ди1 "1 = д1 д1 Ф (4.13) или дх д(ц+ Х) ди ч = —— д1 д1 так как Х ве зависит от времени. Если в (4.13) перемещение выражено в лагранжевых переменных и, = и1 (Х, !), то ди (Х, й ди (Х, й о1жи = М = д1 ° (4.14) или д1 д1 Если, с другой стороны, перемещение задано в зйлеровой форме и, =и,(х,1),то ди (х, 1) ди (х, 1) ди, (х, 1) д1 д1 «( ' ) д» или (4:16) ч(х !) ц(х 1) дц( * ) д 1 6 +ч(х () Ч ц(х Этой формулой скорость задается в неявном виде, так как она входит и как множитель во в~орой член правой части. Говорят, что г . ь движения и тзчзниз функция о, =о!(х, /), или ъ = ъ(х, (), (4.16) е яе ско Материальная производная от скорости по времени есть ускорение. Если скорость задана в лагранжевой форме (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
