1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Сравнить компоненты )л с йегл/г(/— скоростями изменения компонент эйлерова тензора малых деформаций Е. В данном случае компоненты перемещения равны щ = О, ив = хл (е — 1), — и из = хл (е — 1)„и по (4.14) компоненты скорости будут ол — — О, ол = — 2хле — и — тг ел= — Зхм ~. разложение градиента скорости до;/дх! дает дог/дх/ = Рл/ + + (~л!, т. е 0 0 0 дог/дх;= — 2е М 0 0 — Зе зг ΠΠ— е ~, 0 0 — е и — Зе зг/2 0 е~ Зев/2 0+ — етгΠΠ— Зе зг2 0 0 Зл зг/2 О 0 Аналогично получаем разложение градиента перемещения днг/дх; = еи+ аи, т.
е. 0 0 0 дпг/дх; и ~ 0 0 ез'00 — + — е тг Сравнивая Р с ди/д!, видим, что 0 — е — Зе зг/2 де,//д! — е ы 0 0 = РЧ. ,— Зе зг2 0 0 Читателю предоставляется самому показать, что дпч//д! = !гг/. 4.12. Вихревой линией называется такая линия, касательная к которой в каждой точке движущейся среды направлена по вектору вихря Й = '/ец. Доказать, что уравнения вихревых линий имеют вид йх,/йл = йхе/г/л = г(хз/Оз. Пусть дк — бесконечно малый вектор в направлении Ч. Тогда и Х дк О, или (длдхз — оздхл) е, + (дздхл — длдхл) е, + (олдх, — дедхл) ее О, откуда получаем уравнение вихревой линни дхл/дл = дхь'де = дхз/дз. 4.13.
Доказать, что для поля скоростей ч = (Ах, — Вх,)е, + + (Вх! — Схз) е, + (Сх, — Ах,) е, вихревые линни являются прямыми. Написать их уравнения, 172 г . 4. движвнив и тачвнин 4.!4. Доказать, что поле скоростей задачи 4.!3 представляет вращение абсолютно твердого тела, так как для него 0 = О. Вычислим градиент скорости дй/дх/. Он окааывается антисимметричным тензаром, а зто значит, что /0 — В А) дог/дх/ = ~ В 0 — С = )гв — А С 0 и Вт/= — О.
4.15. Для вращения абсолютно твердого тела со скоростью и = Зхзе, — 4х е, + (4хз — Зх,)ез определить вектор вихря скорости () и показать, что у =* Й х х. По определению (4.30) Ю = Ч или !) 4ег + Зез. Этот вектор направлен вдоль оси вращения. Можно проверить, что (4е, + Зез) Х (х„е, + хзез+ хзез) Зхзет — 4хзез+ (4хз — Зхй ез = ч.
з 4.18. Дано стационарное поле скоростей у= (х~ — х,хзз)е,+ 3 + (х,х,+х,) е,. Найти скорости относительно точки Р (1, 1, 3) частиц в точках Я, (1, О, 3), (;)з (1, '/„3), Яз (1, '/„, 3), отнесенные к расстоянию от этих точек до точки Р, и показать, что их величины стремятся к относительной скорости, определенной формулой (4.26). Непосредственное вычисление дает тр — т = -ее+ 2ез, 4 !ер — тО) = 01 4Ч = — 7ег/4+ 2ез п 8 (тр — тО ) = — !Бег/8+ 2ез.
Матрица градиента скорости имеет вид Зхз — хзз — 2х,хз О 2хгх хе!+.1 0 0 0 0 (дог/дхй = и в точке Р (1, 1, 3) градиент скорости в отрицательном направлении оси хз равен (бог/бх) „= 2 2 0 — 1 = — 2 Таким образам, 6Ь/г)х) „— 2ег + 2ее, и вто величина, к которой стремятся оте, носительные скорости чл — еч, отгккещ!ые к расстоянию до точки Р. По определению (4.29) Ч= тгх Х и 2(Се, + Аез+ Вез), а.
согласно результату задачи 4.12, дифференциальные уравнения вихревых линий будут Алхз= Вдхь Вохг Сбхз, Сохе= Адат. Интегрируя их, найдем уравнения вихревых линий в конечной форме хз = Вхз/А + Кь хт = Схз/В+ Кы хз = = Ахг/С+ Кз, где Кг — постоянные интегрирования. пз Зялччм С РЕШСН!гпгц! бх,х, Зх2 О 0 4хехз 2х22 х хзз х,хза 2х,хехз ]дог/дх!] = и его симметричная часть в точке Р принимает значения Г 6 1.5 0,5 ) (ДЭг!)р — 1,5 4 1,5 0,5 1.5 2 По формуле (4.64) для направления и = (Зе, — 4е )/5 получаем Г 6 1,5 0,51 Г '/2 1 ,1 )2/, О, 2/ ) 1 5 4 1,5 1 0 ~ †. — 74/25. 0,5 1,5 2 4.18. Для движения, предложенного в задаче 4.17, определить в точке Р скорость изменения угла между ортогональными направлениями о = (Зе, — 4е,)/5 и )г = (4е, + Зез)/5. Пользуясь.
результатами задачи 3.20, скорость сдвига у„можно найти по формуле у„ч = )г ° 2)) ° ч, или в матричной форме Г12 З 1] Г /а т„,=]/„О, /2]~З З З~~ О =60/25. З 4 4.19. Дано стационарное поле скорости и, = 2х„о, = 2хгн о, = О. Найти главные направления и главные значения тепзора скоростей деформации. В данном очучае ]дв;,'дх;] = 0 0 2 = 0 0 1 + 0 0 1 и главные значения )г тензора 02/ находятся из уравнения ! — Х 0 Π— З 1 =Π— )га+2З, 1 1 Х ОтКуда )Г! =+)Г2, Зг, — — О, Хщ= — )г2. 2 4.! 7.
Для стационарного поля скоростей и = Зхгхае, + 2 2 + 2хгх,е, + х,х,хзе, определить скорость удлинения материального отрезка в точке Р (1, 1, 1) в направлении т =(Зег — 4е,)/5. В нашем случае градиент скорости равен 174 Га. 4. дВИЖЕНПС И ТЕЧЕНПЕ Преобразование тензора н главным осям дается матрицей (пт!) = — т/з — т/з 1/У2 1!)г2 — 1/Р'2 О '/з т/з !/ ' 2 и приводит гензор скоростей деформации и виду (0г!) = = (о, о, 1) Рис.
4.3 Следует также заметить, что максимальная скорость удлинения дли данного движения имеет место в направлении и = (е! + ез + ) 2е,)/2, наи быто найдено в задаче 4.19. Тани!! образо»!, 1/ 1/ ) 2/2 г о а! '1 Г з. '/, ) 2/2) Материальные производные от объемов, площадей, интегралов и т. д. 6 4.6 — 4.7) 4.2!. Вычислить вторую материальную производную по времени от скалярного произведения двух линейных элементов, т. е. найти г)з (с)хз) /с(1». По формуле (4.4о! ' — !(х», но равенство (4А8) показывает, что !( (!(х!) до! Ф дх» !( (!(х9 — = 20! !(хп(х . Поэтому оу Не (ахи 1 Д0г/ 3,! до/ т(/ ! ч Дх» ! г/ '' дх» = 2 — г/хгдх!+ 0- — !/х»!(х + 0 !/х! — ' !/х» ° 4.20.
Определить максимальную скорость сдвига у „для движения, заданного в задаче 4.19. По аналогии с нахождением главных деформаций сдвига в гл. 3 найдем мансинальну!о скорость сдвига у „=(Х! — Хп!)/2 = = Ф'2. Этот же результат получится, если заметитгь что уназанное движение представляет собой простой сдвиг, параллельный плос- кости хтхз в направлении вектора ч = (ет+ + ез)/)72 (рнс.
4.3). Поэтому, каи и прежде, !75 ЗАДАЧИ С РЕШЕН'!ЯМП После простой операгп1и по переименованию индексов суммирования пол)чим д~ (дхз) 1 дОЧ д1м до — = 2 ~ — + Ва! — + Юга — ~ дх,дхл дп ( д! дхг ' дх! 4.22. Найти материальную производи)ю — ~ р11(Я1 от потока д! некоторой векторной величины р, через поверхность 5. По формуле (4.57) д! ~ ' ' ~~ д! ' дх ~ ' ) ' дх к Я Я Ирг диа дгз ! - ~ ~ — + рт — — рь — 1д51.
д! дха дха ~ 4.23. Доказать, что формулу для производной от потока, полученную в задаче 4.22, в символических обозначениях можно записать следующим образом: — р . ойдо = — + ч (Ч . р) + Ч х (р х «) яйся. Переписывая непосредственно в символических обозначениях результат задачи 4.22, получаем 1 — р ° пд5= ~ — +р(Ч ч) — (р.Ч)ч пд5= и ' =~~ д! ((' д 1 )( дс = ( 1 — + (» Ч) р -1- р (Ч ° ч) — (р ° Ч) ч ° пд5. Теперь (сч.
задачу !.65) воспользуемся векторным тождествоч ЧХ(рХч)= р(Ч ° ч) — ч(Ч ° р)+(ч ° Ч)р — (р Ч)ч; тогда 1 — ~ р ° пд5 = — + ч (Ч . р) + Ч Х (р М ч) ~ ° пд5. ЙЕ ~ д ~ дС 4.24. Представить теорелЕ Рейпольдса а переносе, выраженную формулами (4.53) и (4.54), в символических обозначениях. Пусть Р' (к, б — любая тензорная функция зйлеровых координат и времени. Тогда (4.53) записывается так: И " дрч ~д$~. 176 гл. 4. ДВИЖЕНИЕ И ТЕЧЕ!О!Е По теореме Гаусса — Остроградского этому выражению придадим вид, соответ- ствующий (4.54): 4.25.
Если функция Р" (х, () в задаче 4.24 есть скалярная величина, равная (, то интеграл в левой части есть просто мгновенный объем некоторой части континуума. Найти материальную производную от этого объема. Используя векторную форму равенства (4.53) в том виде, в котором она при !( ведена в залаче 4.24, получаем — !((г= ) р ° ед(г. Здесь р ° чо(г предо (, ставляет скорость изменения !((г, н поэтому 27 ° ч называют скорагюью кубического расширен!як Зто соотношение можно также установить непосредственным днфференнированием (4.38); см. задачу 4.43. Смешанные задачи 4.26. Используя определение вектора завикренности (4.29) Ч = го) и, доказать, что д! = еие)'2; и что 2)'11 = е1;242. представим выра!кение для 11 (4.29) в виде суммы о! = еиэоь; = е, ь (о(ь 11 + + о!ь 1).
Атак каке,'ео!2;!в - О (см., например, задачу 1.3О),то о! е,)ьоь.)= еггеуе!. Отсюда окончательно получим ег, 42 = ег„еиькэг — — (б„бм — б,ьб,!) )221 = 21' 4.27. Доказать, что ускорение а можно записать в виде а = — +2) Х и + — 1)и. де 1 д! 2 до! до! Согласно (4.18), а! = — + оь —..
Отсюда получаем Б! дха дг! 7 до! доэ ~ дое а, = — + ое — — — + па — = = б! '(3«„О«! ) ах, до! 1 д (оеоь) дщ ! д (оэое) — + 2оь)г 2+— д! 2 дх! д! Ч ' 2 д«1 = — + е "ее ее+в Читатель может сам убедиться в том, что это индексная форма доказываемого равенства. 4.28. Доказать, что г((!п,()Яг = г)!ч и. Запишем д«г/дХР в виде «, р, так что 2 = ер, их, рх ! «з д и У будет представлено суммой трек определителей: у= арон(хг Рхгохзя+х! яхт охая+ «1Рхзохзя).
Далее "1~ = о1Б«БР и т. д.. поэтому у еРОР. (о!,Б«Б,Р«2 охая+«1,Роз,з«Б,О«дя+ «1,Р«коез,эхз.к)' !77 ЭЛДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 4.29. Доказать, что прн установившемся движении среды (до,/д( = О) линии тока и траектории совпадают. Как было показано в задаче 4.7, линии тока в данный момент времени / являются решениями дифференпнальнык уравнений йхг/ог = йхз/оз = йхэ/сэ, а траеитории — решенаями дифференциальных уравнений йхг/й(= о,(к, /).
Если ог = ог (к), то уравнения траекторий принимают вид й/= йхг/от = = йтз/тэ = Йкэ/Оэ И, СЛЕДОВатЕЛЬНО, СОВПалашт С УРаВНЕНИЯМИ ЛЧНПЙ тОКа. 4.30. Для стационарного поля скоростей о, = хатха + лдз, рз = 2 Э 2 = — х! — х,хэ, о, = О найти главные значения тензора скоростей деформации Р в произвольной точке Р (х„х„х,).' По формуле (4.)9) дог/дх/ — — Р;/+ Уг/, или < 2хтхз 22!+ Зхэ О 2 2к,х — + х 2 — Зхэ — 2~2 — 2хгкз Π— ха|+ к2 2— 2х,хэ О + О О О О О О О 2 (х!+ кзт) О + — 2(',+ ,') о о О О О Главные значения й являются решениями уравнения 2хтхз — й — кэ! + кг — х!+ к — 2х,хэ — й .2 О О = О- — й( — 4 Я+ й' — (Дэ — кэ!)2). Отсюда й,! = О, йэ! = — (х!+ х22), й = хт!+ хэ.
Эти значения можно унпрядОЧптЬ ПО МЕРЕ ИК убЫВаннн й! = Х, + Х22, йп О, й!и —— — (Х, + х Ь 2 4.3!. Доказать равенство (4.43), вычислив материальную про- изводную от плошади сБи записанной в виде векторного пропзве- ДЕНПЯ Ю! = Е!/2Г(Х(,"Г(Х/21. Используя формулу (ЗЗЗ), получим й52 = ещ (дх /дХ,) йХ- (дхэ/дХэ) йХэ и Таким образом, — — й5 = бг й5~ = й5 Р—— — — ' 1йХ йХ, дх ОХэ 'Р ' Р ох Из девяти определителей третьего порядка, получавшихся при суммировании этого выражшшя по 5, только три отличны от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
