1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 32
Текст из файла (страница 32)
! / 5.10. Прн движении абсолютно твердого тела с неподвижной точкой поле скоростей имеет вид о/ = еиаю/хя. Доказать, что для такого движения уравнение (5.19) сводится к известному уравнению моментов динамики твердого тела. Слева в уравнении (5.19) стоит полный момент М! всех поверхностных и массовых сил относительно начала отсчета.
При о/ = в..аы/ха это уравнение пре- Ц образуется следующим образом: о с и' М/ = — ) е,.ах/реа еы,хчдУ = — ) ыар (6грй,ч — 6!р6/я) х/хчдУ = й У и'Г г Ч и' = — ~ы ) Р(6, хехч — хрх;) ЛУ = — (ар/,,). п где // = ~ р (6/ хчхч — хрх/)оУ вЂ” тенэор моментов инерпни. Энергия. Энтропия. Диссипативная функция ($5.4 — 5.6) 5.11. Доказать, что для движения абсолютно твердого тела с полем скоростей о/ = еихш;х„интеграл кинетической энергии (5.23) сводится к аналогичному выражению из динамики твердого тела. Из (5.23) накодим о/о/ 1 Г к = ~ р — пу = — ) ре./Аы/хаа/ ырхраУ = 2 2,) У 1 Г = — ) ры ы (6 6А — 6. 6а ) хьхедУ = я /р ч /а У ыто Г ~~~и~/р /яГ = — ) Р(6 хчхч — хрх/) НУ = 2 ) /е 2 или в символической записи К =(м 1 м)/2.
7 Дж Меаэ Гл. а. Основные 3АкОны мехАннкн сплОшнОЙ сРеды 5.12. В некоторой точке спло>иной среды даны тепзоры скоростей деформации и напряжений 1 6 4 4 0 — 1 Рц= 6 3 2 и о>= 0 — 2 7 Определить в этой точке величину )< мощности напряжений Рцоц. Умножая каждый элемент 0<> на соответствуюн<ий элемент те>жора оц и складывая, получаем л = 4+ Π— 4 + Π— б + 14 — 4 + 14 + 40 = 58. 5.13. Пусть ои = — рб<,; показать, что мощность напряжений можно представить выражениел< Р-р„= —— «р и р <<< По (4 д9) Рц = о .
— У;>, а так как Уцоц = О, то Вцоц = о<; ( — рбц)= =. — ри< ь Из уравнений неразрывности (5.3) мы имеем о« = — (1!р) (<(р!аб, текил< образом, окончательно получаем 0><оц = (р/р) О>р!«6 при оц = — рбц. 5.14. Найти вид уравнения энергии при условии, что а„= = ( — Р + А Рэа) бц -+ 2(<зРйч а теплопРовоДность поДчинЯетсЯ закону Фурье с; = — ЙТ,< Из (5.32) «и р — = ( — р+ Л'Рла) бцР<>+ Ф*РОРц+ яТи+ з = <и = — — + (А* + 2Р~) (1о) — 4!< 1!о + еТ << + 2, где !р и 11, — соответственно первый и второй инварианты тензора скоростей деформации.
5.15. Пусть оц = — рбон Написать уравнение для скорости изменения удельной знтройии при обратимом термодинамическом процессе. В этом случае оц= о<с' и уравнение (5.41) с учетом результата задачи <>5 <>и р <(р 5.13 данг Т вЂ” = — — — —. рз 5.16. Задана диссипативная часть тензора напряжений о<о = рР<АРь>. Найти диссипативную функнию и выразить ее через инварианты тензора скоростей деформации (у. По формуле (4.25) о<'.гц=(>0<ьРА,.ВО, что явлиетси следом матрицы 05 (см. 4 1.!5) и может быть записано через главные значения О,>, Р, Р,, Со<ласно (1.138), след матрицы равен РОРЫ0е> = 0<н + Вр> + 0<5> = (О<» + Ргз + 0<з>) 3 (0<» + РЪ + 0<з>) (0<ОРр> + РЕ40<з> + Рр>0<») + 30О>0<аРр>. Отсюда пол>чвч о~ е>г б 1!о 3!о1!о + 311!о) Гэо ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Определяющие уравнения [ф 5.7) 5.17, Пусть определяющие уравнения имеют внд оц = = Кц Р,.
Доказать, что из-за симметрии тензоров напряжений и скоростей деформации тензор четвертого ранга Кц„имеет не более 36 независимых компонент. Записать эти компоненты в виде матрицы шестого порядка. Тзк как ац = ал, то Кцра — — Кдрэ, 'кроме того, Кцрр — — Кцчр, гкккольку Вц=Вд. Подобно внешнему произведению двух симметричных тензоров Ац и иц, имегощих па шесть независилиых колипонент, тензор Кцрч будет иметь не более 26 различных компонент. Обычно принято р аспалагать компоненты Кцр, К К К К Кмп Кими Кэим Кэаээ К К К К Киа11 Кззаз Кзээз Казы Кэти Кэпа Каиаз Кзиаз К, К К К, следующим образом: Кпм Каззи Кзззи Кими Кани Кизм к Кииы Кээиэ к „ Кэпи Кааиа 5.18.
Если предположить, что среда, имеющая определяющие уравнения пц — — КцрэРрэ задачи 5.17, является изоцгронной, так что тензоР К;дч имеет одинаковые компоненты в любой оРтогональной декартовой системе координат, то циклическим переименованием х ила х 1 осей координат 36 независимых компо- Хаири Х1 нент тензора Кг;„, люжно сократить до двух. Показать это. Координатные направления можно переобо- 1 значить шестью различными способами 1рис. 6.2).
), = х нли х для изатропии требуется, чтобы Кпы = Кпза = х ила хи а =К,аз,= К„И=К„„= К„„и К =К„, =К,„=К = — К =-К .Э а х илах дет к тому, что от 36 компонент остается 26. хи Соатветствующиаии отражениями и поворотами асей координат зти 26 компонент в случае изотропии могут быть сведены к двум. Рнс. бли 5.19. Для изотропной среды компоненты тензора Кц могут быть представлейы в виде Кцр, — — Лэбцб„+ р* (бгрб)а + бгрб)р). г)спользовать это выражение и записать определяющие уравнения оц = = КцраРра через Л" и р*.
оц = ЛабабрзВра + Ра 16грб)а+ 6;аб)р)~Ври = = Л 6ЦВрр+)1'(ВЦ+ ВЛ) = ЛаЬЦВрр+ 2яаВЦ. 5.20. Доказать, что определяющие уравнения задачи 5.19 можно разбить на две группы пц — — (ЗЛа + 2ра) Рн и ац = 2раР„, та г . з. основныв законы мвхлникп сплошноп спады где з; и ):);/ — девнаторы тензоров напряжений и скоростей дефор- маций соответственно.
Подставам ог/=зг/+ бцпаа/3 н Рц = 0;/+ бцРаа/3 в выражение о;/= = Л"бн0ы+ 2р'0ц задача 5А9. Получим следующее рааенствгх зц -[- бцпаа/3 = Л бцРаа + 2)т* (О,. + бг/Ры/3). Из него видно, что еслн [ чь /, то з;/ = 2р'Р,. н, следовательно, оаа = (ЗЛ" + 2)г') Рал. Смешанные задачи 5.21. Доказать, что — [ — ') = (аг/ааа./+ д/од/)/р, где р— д /дг) плотность, аг — ускорение и д, — вектор завихренности.
Непосредственным днфференннрованнем найдем — ~— / еа 1 Ф ецр а/ (р/ р Но дг = ецааа/+д/о,/ — д~о//(см. задачу 432), а нз уравнення неразрывности (5.3) следует, что р = — рог е Окончательно получаем , ) =- (ег/ьоа,/+ дгос/ еао/,/+ дго/,/) = (ег/аоа,/+ д/ос/)/Р. 5.22.
Дано плоское течение несжимаемой жидкости о, = =- А(хз| — хзт)/г, о, = А(2х,х,)/г', о, = О, где гз = х~~ + хз. Доказать, что такое поле скоростей удовлетворяет уравнению неразрывности. Для несжимаемой жндностн уравнение неразрывности имеет внд (5.5) оы —— =О. В данном случае о,, =А[ — 4х,(хз — хф/ге+ 2х,/ге[ и озз=А[2х,/га— — бхЩг').
Складывая, получаем ош + паз — — О. 5.23. Доказать, что поле скоростей задачи 5.22 является безвихревым. Для безвнкревого течення з соответствии с (4.29) необкоднмо выполнение условия го( ч = О. Проверяем н внднм, что в данном случае ег е ез д/дхг д/дхе д/дх А (х~~ — хзт)/г' 2Ахтхе/га О = А [2хз/ге — 8хз1х,/г + 2х~/га + 4х (ха~ — хзт)/гз[ е = О. 5.24. Имеется плоский поток несжимаемой жидкости, в котором о,= — Ах,/г', где га = х~ +ха. Найти во всем потоке ком- 2 2 поненту о„если а, = О прп х, = О для всех значений х,. Показать, что движение безвихревое, а линии тока — окружности. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости (5.5) ог г = О н данном случае дает о, ~ — — — оз з — — 2Ахгха/ге.
Иптегрнруя его по ха н налагая упомянутъм условия на ьв, накоднм нз = Ахт/га. 197 ЗАДАЧИ С РЕШЕИИЯМИ Для безвихревого движения нужно, чтобы го1» = О. У нас го1» = А [(хз! — ф/гз + ( — хэ!+ хф/ге) ез = О. В задаче 4.7 выведены уравнения линий тока бхг/оз = !/хз/оз. /(ля данного поля скоростей они имеют зид хгг[х! + хэ!/хз = О, что после интегрировании дает уравнения окружностей ха+ хэ = сопз(. 5.25.
Определяющие уравнения для некоторой среды имеют вид оц = ( — р + ЛеРАА) бг, + 2реРц, где Л* и р* — постоянные. Написать уравнения движения, выраженные через вектор ско- рости оп Уравнения движения (5.16) ро! = рбг+ ог// в этом случае имеют форму ро! = РЬ! — р/ бц+ Л»Вез бг/ + 2р» Вг / По определению 20ц = о -[- + О/ „тах ЧтО Взз Озз, 20г ° = О . + О .. ПОЭТОМУ Рог = РЬг — Р ! + (Ле + Ие) о. ц + И*о! Это уравнение можно записать в символических обозначенняк р» = рб — Чр+ (Ле+ ря) Ч (1/ ») + 1!»Чз». 5.25.
Вычислить материальную скорость изменения кинети- ческой энергии среды, занимающей объем )/, и объяснить физиче- ский смысл полученных интегралов. Согласно (5.23), пй/гй= ~ро!ог!(У. Работа внешних поверхностных сил (в » единицу времени) равна ) ог/(Ы!Ьз, что можно записать иначе: ) о!оцли5. При- 3 з неким к этому интегралу теорему Гаусса †Остроградско (1.157) и воспользу- емся уравнением движения (5.16) Тогда ) олгг/л!ч(5 = ) ог/о! х/Ч + ~ р (о!о!— '! 3 — Ьгог) !(и.
Отсюда получим — = 1 рЬ!огА' — 1 о,.о! /бр + ~ о!/!гМ~Б. ц гц » Интегралы этой суммы представляют мощнскть массовых сил, внутренних поверх- ностных снл н внешних поверхностных сил соответственно. 5.27. В несжимаемой среде, для которой и';/! = ЛеР бг/ + + 2реРц, происходит безвихревое движение с потенциалом ско- ростей гр, так что ч = дгас[ гр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
