1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 31
Текст из файла (страница 31)
где е — мощность локальных внешних источников энтропии, отнесенная к единице массы. Равенство в формуле (5.37) осуществляется для обратвмых процессов; неравенство относится к процессам необратимыл(. Неравенство Клаузнуса — Дюгел(а верно при произвольном выборе объема 1?, так что, преобразуя в формуле(5.37) интеграл по поверхности в интеграл по объему, прежним методом приходим к локальной форме соотношения для скорости внутреннего производства энтропии у; отнесенной к единице массы: газ а.г. опиедиляющгге аилвнвнля ходнт обратнмый процесс, то днсснпацнн энергии не будет; к тому же йг//сИ = йг/гяг/й!, так что, комбинируя (5 40) н (5.36), получаем — = — ои е..+ Т вЂ”. ди 1 !сг да и р ' и и .
(5.41) 5.7. Определяющие уравнения. Термомеханнческнй н механический контннуумы В предыдущих параграфах этой главы было выведено несколько уравнений, которые должны выполняться для всех процессов нлн движений, какие могут происходить в сплошной среде. Для терлюмеханпческой среды, где механические н тепловые явления взаимосвязаны, основными уравненнямн будут следующне: а) уравнение неразрывности (5.4) — + (рса).а = О, нлн -3 — + г7 .~(рт) = О, (5.43) др др б) уравнения движения (5.16) о/;д+ руг = ро„нлн в) уравнение энергии (5.32) ди ! ! — = — ог/с/г — — сс; + г, нлн щ Чх Х+ рЬ = рв; (5.44) дгг ! — = — Х:0 —.р7 ° с+ г.
дг р (5.45) Прг! предположении, что массовые силы Ьг н распределенные нсточннкн тепла г заданы, уравнения (5.43), (5.44) н (5.45) составляют систему лягни независимых уравнений, содержащих чепгырнадцать неизвестных функций координат н времени Неизвестными являются: плогпноспгь р, трн компоненты скорости ог (нлн, что равно- ') При этом делается сунгествеиное предположение, это (5.4!) выполняется также и при необратгинех пронессах.
В термодинахжке (6.4!) носит название гпождесгггеа Гиббса,— Прил. ред. Для необратимых процессов, которые описываются уравпеннем (5.40), скорость производства знтропнн можно найти нз уравнения (5.41) 'г. Та!сна! образом, — = — — + — о" в. да ! дд ! гог. рг (5. 42) Скаляр о(~ге!/ называется диссипшггивной е/гунне(ией. Для необратпмых аднабатнческнх процессов (йг/ = 0), согласно второму закону термодинамики, г(з/г(! ) О. Тогда нз (5.42) следует, что днсснпатнвная функция является положительно определенной, так как н р, н Т всегда положительны.
гв. з. основпыв злкопы мехлнпкп сплошноп севды сильно, компоненты перемешения и,), шесть независимых компо- нент напряжения о„, три компоненты вектора гютока тепла с,. и плотность внутренней энергии и. В дополнение к этому должно быть выполнено неравенство Клаузиуса — Дюгема (5.38) ав 1(Е') — — е — — ( — ) .»О, си Р~ т)л (5.45) предписывающее положительносгь производства энтропии. Оно добавляет еще две неизвестные — плотность энтропии э и абсолютную температуру Т.
Значит, чтобы сделать систему замкнутой, нужно изыскать дополнительноещеодиннадцать уравнений. Шесть из них известны как определяющие уравнения, которые характеризуют частные физические свойства изучаемой среды. Из остальных пяти три будут соотношениями для задания закона теплоаоийности, а два — термодинамическими уравнениями состояния; например, калорическое уравнение состояния и уравнение для энтропии. Характерная формулировка задачи для термомеханического континуума будет дана в следующей главе.
Следует отметить, что назначение определяющих уравнений состоит в том, чтобы установить математические соотношения между статическими, кннематическими и термодинамическими параметрами, описывающими поведение материала при наличии механических и термодинамических воздействий. Так как реальные среды реагируют на различные нагрузки крайне сложным образом, определяющие уравнения не пытаются отразить все наблюдаемые явления, связанные с конкретным материалом, а скорее служат для того, чтобы ввести некоторые идеализированные среды, такие, например, как идеально упругое тело или идеальная жидкость.
Такие идеализации, или„как они иногда называются, модели сред, очень полезны тем, что они разумно отражают поведение реальных сред в определенном интервале нагрузок и температур. Во многих ситуациях взаимодействием механических и термодинамических процессов можно пренебречь; исследованием такого типа является, например, теория несвязанной термоупругости. В этом случае чисто механические процессы описываются уравнениями (5.43) и (5.44).
Система уравнений, образованная (5.43) и (5.44), состоит из четырех уравнений с дестпью неизвестными. Нужны еще шесть определяющих уравнений, чтобы сделать систему замкнутой. В несвязанной теории, где не учитывается взаимодействие механических и тепловых процессов, определяющие уравнения содержат только динамические (напряжения) и кинематические (скорости, перемещения, деформации) параметры и часто представляют собой соотношения между напряжениями и деформациями Кроме того, в такой теории поле температур обычно считается известным или, быть ьюжет, задача теплопроводностп решается отдельно и незавп- Здлдс!И С РЕШЕНЦЯЛИ1 симо от механической задачи. При изотер.иических процессах температура предполагается постоянной и задача является чисто механической. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Уравнение неразрывности (ф 5.1) 5.1.
В гл. 4 описано безаихреаое движение, для которого вектор вихря скорости тождественно равен нулю. Найти внд уравнения неразрывности для такого движения. Согласно(4.Ю), го1 ч = О, если Ч = О, и. следовательно, ч становится градиентом скалярного поля гр (хг, 1); см. задачу 1.50. Таким образом, о! = ср,! и уравнение неразрывности (5.3) имеет вид г(р/г(1+ рф.ье = О, или г/р/г(1+ рт/згр = О. 5.2, Пусть функция Р;/ (х, 1) представляет любую скалярную, векторную или тензорную величину, отнесенную к единице массы сплошной среды, так что Р,/„, (х, 1) = рРгг,.
(х, 1). Показать, что и г/Р;. (к, 1) —, ~ РРО- (х ') г()/ = 1 р По формуле (4.53) так как, согласно (5.3), ЛР/от+ Ро,ь =- О, 5.3. Доказать, что лагранжева форма г((р/)/с(1 = О уравнения неразрывности и зйлерова его форма г(р/с(1+ роз ь — — О зквивалентны. Выполним дифференнироваиие г( (р/)/ги = (ор/г(1) г'+ р!у/ги = О и воспшь. зуемся результатом задачи 4.23 гУ/!//=г'наь. Это дает о((ь/)/г(/=г'(!/р/й/+ +роза) = О. 5.4. Показать, что поле скоростей о! = Ак,/г', где хгх! = г' и А — произвольная константа, удовлетворяет уравнению йеразрывности несжимаемой жидкости. Согласно (5.5), для несжимаемой жидкости оь ь — — О. В нашем случае о! а — — А (хг ь/гз — Зхгхь/гз) — А (6гь/гз — Зхгхь/гь); следовательно, оа ь = (3 — 3) /гз = О и уравнение неразрывности несжимаемой жидкости удовлетворяется.
Гл. э. Ос<юаныь законы л<ехлннки сплОшнОЙ сРеды 5.5. Для поля скоростей о, = х,/(1+ /) показать, что рхьх х, = = р,Х,Х,Х,. В этом случае оэь — — 3/(1+ <) и; проинтегрировав (5.3), получаем <п р = = — 1и (! + <)э+ 1п С, где С вЂ” постоянная интегрирования.
Так как р = р,' при ! =О, это равенство йриннмает виа р = р,/(1+ !)э. Далее, интегрируя уравнения дх</х; = д!/(1+ !) (суммнроланне по 1 не проводится), находим х< = Х,/(! + /), откуда рх,х,хэ р,Х,ХэХ«. Количество движения и момент количества движения. Уравнения движения 6 5.2 — 5.3) 5.6. Пепосредственныы расписыванием обеих частей доказать справедливость тождества гч/„о/эе< = Х„, использованного в формулах (5.20) и (5.21). Согласно (1.15) и (2.8), Х„= опеьп е<+оже, Х ее+ о,ле, Х еэ+ "° +оэ,еа Х еэ = (ое, — оэл) е, + (о, — о,а) ел+ (о<э — от,) еэ. Раскрывая еоао „приходим к тем же выражениям: о.
— а, при < = 1, о«,— в о,э прп <' = 2, о<а — ап при < = 3. 5.7. Пусть на континуум действуют распределенные массовые моменты (и<, на единипу объема). Доказать, что уравнения (5.16) остаются в силе, но тензор напряжений нельзя больше считать симметричным. Уравнения (5.16) получены иэ условия равновес<я сил, поэтому наличие моментов на ник ие влияет. Однако в (5.19) появляются дополнительные члены, так что — ) елях/роьИУ = ) е< эх/!ь дЯ + )Г (е< ьх;рЬь+ <и<) дУ, Ъ' 3 У Это можно свести к равенству ) (егэо „+в<) дУ = О (смладачу 2.9), и вследствие л<э !» произвольности объема У в данном случае будет выполняться соотношение ечло/, + ж< — — о. 5.8.
Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме (так называемой локальной форме, или «в маломэ) вь<ражается уравнением д (ро<)/д/ = рЬ, + (о„— ро< о;),/. Доказать, что уравнения движения (5.16) следуют из этого уравнения. Выполняя укаэанное дж)лференпироваине и перегруппировывая члены, по. лучаем е<(др/д/+ р о + ро. ) + р(до</д<+ о;о< /) = рЬ<+о<//, Первый член в левой части равен нулю, согласно (5.4), а второй член равен рар Таким обраэол<, ра< = рЬ; + о<// что совпадает с (5.!6), ЗАЛАЧН С РЕШЕНИЯМИ ГОЗ 5.9.
Показать, каким образом уравнение (5.19) сводится к форме (5.20). ПОдетаеИМ В (5. 19) дпя /а/я! ВЫражЕНИЕ а Апр И Прнисини тЕОрЕМу ГауССа— Остроградского (1.!57) к получившемуся интегралу по поверхности: 1/ г) вое [(хо э) + хрЬА[ г(У = — е;,.Ар (х/оь) оУ. Используя результат задачи 5.2 и выполняя дифференпирование, приводим это уравнение к виду е/.а [х/ о„э+ х/[орал+РЬА — Рое) — Ро,ое) ДУ=О. Сумма членов в квадратных скобках равна нулю в силу (5. 15); кроме того, х/ =- 6/ не, ао;оа = О, так что окончательно получаем ) е Ао.аг[У =-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
