1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Найти диссипативную функцию !о! оц ег/. Так как для несжимаемой жидкости Вез = паз=о, то в данном случае о!о!е! — — о)/о!Вг/ — — (Л"О!мбц+ 2)!*ВО) Вг = 2Р*В! В! . К[юме того, о! = ф„, и, следовательно, скаляр В!.Вг = !р г !р ! з а поэтому о!уп!Вг = 2ре р !.!р ! . Из-за того что среда несжимаемая, а движение безвихревое, выполняются соотношениЯ су г! — О и лР ! ф г/ —— (<Р гф г) " = Чэ (Чф)з, Гл. З. ОСНОВНЫВ ЗЛКОНЫ МЕХЛНПКН СПЛОШИОИ СРГДЫ Интересно отметить также, что )?~(Ф ) = (ФФ) ил — — 2(Ф г!/гФ+ 4Ф2/2Ф!+ Ф иФЛ+ 2Ф!?Ф г/). Это выражение при Фи — — О сводится к 4фнфи Тогда окончательно находим <т!о!в и*)/з (оФ)а )ьаоа (<РгД2 5.28. Для среды, в которой о!/ = — Рб„, вводится понятие удельной энтальпии /т = и + р/р.
Доказать, что, используя это понятие, можно записать уравнение энергии в виде /г = р/р + Тя. Уравнение энергии (5М1) при данном законе напряжений имеет вид и = — рд!.В!./р+ Тз. Воспользуемся результатом задачи 5.13 и определением й. г! / Тогда й= й — р/р — рр/рз = — рр/р'+ Tа.
Сокращая одинаковые члены„паха. дим Л = р/р + тз. 5.29. Пусть среда задачи 5.25' движется как несжимаемая. Написать уравнении движения, выраженные через вектор завихренности с) при условии отсутствия массовых сил н постоянства плотности. В случае несжнмаемости Ф . ч = О. Прн Ь = О уравнение движения задачи 5.25 прямет форв!у рй! = — р! +Рчиг Р Умножая векторно оператор р на зто уравнение, при р =сонэ! получаем в ги; = — в р! /р+(рь/р)в го!" . Но в гр! =О, поэтому, учитывая (4.29), можно написать др — — (р*/р) д р или в символических обозначениях дй/д/ = (р'/р) 1/2Ч. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ д /П'! 5.30. Доказать, что для вентора вихря скорости и верна формула — !! — /! = д/ (р/ П(Ф. в) 1 дп + — —. р р 5.31.
Доказать, что течение с полем скоРостей и, — 2хтхгхз/га, иа = (хг— — хгг) хз/га, и, х,/г', где гз = хг!+ хг, удовлетворяет )слиняю нссжимаемссти. 2 Будет ли это течение безвихревым? 5.32. Уравнение неразрывности в декартовых координатах х, у, г выглядит так' др/д! + д (ри„)/дх+ д (рии)/ду + д (риг)/дг О. Доказать, чта в цилиндрических координатах г, О, г оно примет вид г (др/дО+ д(три )/дг+ д(рив)/дв+ г(д(ро )/дг) = О.
5.33. Доказать, что течение с полем скоростей иг = (1 — гг) созе/г', ив —— = (1+ г') ми О/гз, и = О удовлетворяет уравнению неразрывности в цилиндрических координатах, если плотность р — константа. 5.34. Доказать. что Лля любой скалярной, векторной или тензорной величины Рг (х, О имеет место равенство ~ Р2/ о ладБ = ~ (о Р! ° + РРгр (и — Ьр)) ~П' лополнмтельылде эдлдчп 5.35. Если в среде, кроме ллассовых спл Ь, действуют еще массовые ллолленты Ь (на единицу массы), а, кроме напрянепнй Р", еще пары напряжений й/нл, то уравнение моментов количества движения может быть записано в виде — ') р(щ-1-х х ч) бУ= ~(ь+ х х ь) бУ+ ) (й'ю+х х1'ю) ыб, н и э гае гп — распределенный момент количества движения на единицу массы.
Доказать, что если и . С = 51"л, то локальная форма этого уравнения такова: рбщ/л/г = = Ь'+ У С+ 2„. 5.36. Среда задана своими определяющими уравнениями он = — рб,/+ +))/7;/+аОгл/)л/. Показать, что он = 3( — р — 2а!!р/3). Допустить при этом несжимаемость /)и = О. 5.37. Доказать, что для среды, а которой об — рбйч соотношение (5.41) принимает вид г/и = Тг/э — рба (В эжой задаче использовано обозначение о = = 1/р — удельный обмлл.) сг л гй/ 5.38.
Пусть Тг/э/б/ = — — ' = —. Удельной свободной энергией по апре. р =бг' делению называется величина Ч' = и — Тэ. Доказать, что уравнение энергии можно записать в виде рйлр/б/+ рэг/Т/Н = ог/Вг/. 5.39. Имеется термомеханнческий континуум с определяющими уравнениялли от. = лвльбр+ 2дв . — (Зй+ 2Р) абО (Т вЂ” Тл), где Тл — температура начального состояния. Доказать, что влз =. За (Т вЂ” Тл), если оал = О. Глава 6 Линейная теория упругости 6.1. Обобщенный закон Гука. Функция энергии деформации или 1 — Š— — (пЧ х + Ч хп) — — (цЧ, + Ч,ц) — — (пЧ + Ч и) .
1 1 1 В дальнейшем будем, кроме того, пренебрегать тепловыми эффектами, сопровождающими деформированне, если специально не оговаривается противное. Для линейного упругого тела определяющие уравнения связывают тензор напряжений и тензор деформаций соотношением а,с Сссэ еь, или Х С: Е, (6.2) которое называется обобщенным законом Гуки. Коэффициенты этого соотношения образуют тензор упругих констант Сссэ„который имеет 81 компоненту. Однако вследствие симметрйи обоих тензоров — и напряжений и деформаций — различных упругих констант имеется не более 36.
При записи закона Гука через этп 36 коэффициентов двойные индексы у компонент тензоров напряжений я деформаций часто заменяют одинарными индексами, которые меняются от 1 до 6. В таких обозначениях аээ = а э = аэ, аээ = а„, = а,, ссм =ам аэ, =а„ а„= аэ, е,с= в„ е, е,, еээ еэ (6.3) а, =т„=а, 2е„= 2е, =- еэ, (6.4) 2есэ = 2аэс = еэ 2есэ = 2е„= е,. В классической линейной теории упругости предполагается, что сами смещения и их градиента настолько малы, что можно не делать различия между их лагранжевым и эйлеровым представлениями.
В соответствии с этим выражение тензора линейных деформаций через вектор перемещения ис может быть записано в следующих эквивалентных формах: 1 с' дис диС 1 ! /дис ди11 1 (ц = еу = — ст — + — с = — с — +. — с = — (исд+ им), 2 1дХс дХс l 2 1дхС дхс( 2 (6.1) ан олонщнннып закон гукл Функция эненгип двеонмации вО! Закон Гука можно записать в виде пк = Сигаем (К, М 1, 2, 3, 4, 5, 6), (6.5) где 36 упругих констант обозначены теперь Скм, а заглавные латинские буквы использованы в качестве индексов для того, чтобы подчеркнуть, что эти индексы меняются от 1 до 6. Если пренебречь тепловыми эффектами, то уравнение (5.32) примет вид (6.8) т) Формулы (6.9) лля упругого тела верны также н прн учете тепловыт эффектов. Прн этом вместо (6.61 нмеем ! дн = — ог»(ег ° + Й~, де = Т1Ь, р г / н поэтому дн (ен, з) ди (ец, з) Т= Р ' даю' см.
также задачу 6.24, е катеров показано, что в термоупругом теле всегда ои = = р дрдвт, з= — дрдТ, гле 1(еи,Т) — свободная энергия.— Прим. ред. ди ! ! — = — оц0и = — оиец. дГ р ! р (6.6) Внутренняя знеггия в этом случае оказывается чисто механической величиной, которая называется энергией дефорлгации (на единицу массы). Из уравнения (6.6) следует, что г(и = — оггг(ец. ! (6.7) Если и считать функцией девяти компонент деформации и = и (вг!), то дифференциал ее равен ди йи = — йеп. ден Сравнивая (6.7) и (6.8), замечаем, что и — ог = —. ! ди р ! двц (6.9) Введем функцию и*, такую, что и»= ри; (6.10) она называется плотностью энергии деформации (на единицу объе- ма).
В теории малых деформаций р в (6.10) можно считать постоян- ной, поэтому функция и* обладает следующим свойством: ди ди» оц = Р— = —, дец дег. (6.11) Состояние, в котором энергия деформации равна нулю, можно выбрать произвольно. И так как напряжения должны обращаться Га б. Л1П)ЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ в нуль одновременно с деформациями, простейшим видом выражения энергии деформации, обеспечиваюшим линейную связь между напряжениями и деформациями, является квадратичная форма (6.12) Принимая во внимание закон Гука (6.2), это выражение можно записать так: и* = '/5 а115115 или и* = '/5 Х: Е. (6.13) В обозначениях с однила индексол1 квадратичная форма (6.12) имеет вид и* = '/, Скмекел1.
(6..1 4) причем Скм = Слак. Если ф нкцпя энергии деформации сушествует, то вследствие симметрии С„м число независимых упрутих констант будет не более 21. 6.2. Изотропные и анизотропиые среды. Симметрия упругих свойств Если упругие свойства среды нс зависят от выбора системы координат, использованной для нх описания, то такую упругую среду называют изотролной.
Среда, которая не является изотропной, называется анизотропной. Упругие свойства твердого тела, подчиняющегоси законУ ГУка, выРажены коэффициентами Сила, поэтомУ в общем случае анизотропное тело имеет следующую матрицу упругих констант: (Скч) (6.15) Если сушествует функция энерпш деформации, то Скм — — Слбк и 36 констант матрицы (6.15) сводятся к 21.
Пусть в некоторой точке сущсствуетплоскастьсимметрии упругих свойств, т. е. упругие константы имеют одинаковые значения для любой пары систем координат, которые получены одна из другой отражением относительно указанной плоскости. Осп таких систем координат называются «направлениями эквивалентных упругих свойств».
Если плоскость х,ха — плоскость симметрии упругих свойств (короче — плоскость упругой симметрии), то константы Скщ инвариантны относительно преобразования координат Л1 ' Х1, Ха =Х, Ха = — — Х„, (6.16) С„ Са, С„ С„ С51 С51 Са, фф ффСач С, С„см Саа Саа С„ Саа С55 Саа Саа Саа См С,а Сга Са, С„ С„С55 ффа Са, С„ Са5 Саа а е изотРОпиые и АнизотРОпиые сРеды которое показано на рис. 6.1. Это преобразование описывается матрицей 1 0 0 [ап] = 0 1 О, (6.17) 0 0 — 1 хе> хз Подставляя компоненты матрицы (6.17) в формулы (2.27) и (3.78) преобразования тензоров напряжений и деформах ций, находим, что матрица и . В.1.
упругих констант для среды, обладающей симметрией относительно плоскости х,х„имеет вид 0 0 0 0 0 0 С„с,а Саа Саа 0 0 [Скм) = (6.!81 Саа Если существует функция энергии деформации, то из 20 ненулевых членов этой матрицы независимы только 13. Если среда обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, то она называется ортотропной, а матрица упругих констант (в системс координат, в которой координатными плоскостями являются плоскости симметрии) имеет форму С„с,а С„О С„С,. с,„О См Саа Саа О О О С„ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О 0 О 0 0 0 О С О 0 См (6.!9) Здесь независимых постоянных 12 (или 9, если Скм = Смк). Говорят, что в некоторой точке существует ось силамеаприи упругих саойспы порядка Ф, если существует набор направлений эквивалентных упругих свойств, которые могут быть совмещены поворотом около оси на угол 2л/7а'.
Некоторые случаи осевой и плоской .симметрии эквивалентны. См См С„ 0 Сез Саа Сеа Саа С„, Са, 0 0 0 0 С„ С„ С, См Саа 0 Гю. а линеЙнАя теОРия упРуГОсти Тела, у которых упругие свойства одинаковы по всем направлениям, обладают полной силгметрией и называются изолууюлными. В этом случае любая плоскость и любая ось являются плоскостью и осью симметрии. Для изотропных сред число независимых упругих постоянных сводится к двум, и их матрица симметрична независимо от сущесчвования функции энергии деформации.
Выбирая в качестве двух независимых констант известные постоянные Ламе А и р, напишем матрицу (6.19) для изотропной упругой среды: (6.20) Закон Гука (6.2) для изотропного тела через коэффициенты Х и р записывается равенством оу; = ) б;уеы+ 2реуь или Х =- Х1е+ 2рЕ, (6.21) где е = е„„= 1е. Это соотношение нетрудно обратить и выразить деформации через напряжения: — х 1 — А еп= 2р(ЗЛ+2р) бу,ОАА+ 2, ГЧВ или Е = 2р(ЗЛ+2 ) 1О+ —, Х, (6.22) где 6 = о„л = 1х — Обозначение, по традиции используемое в теории упругости для первого инварианта тензора напряжений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
