1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отсюда следует, что С,в — — С,в Свв — — Сав — — Сва — — Св, — — Сав = Свз — — 0 и матрица упругих констант принимает вид (6.19). Читателю предлагается проверить, что упругая симметрия огносительно (третьей) плоскости х,хв при такой матрице получается автоматически. 6.7. Подробно провести операцию по сведению матрицы упругих констант (6.19) для ортотропного материала к матрице для нзотропной среды (6.20). В случае изотропии упругие свойства среды одинаковы во всех декартовых системах координат.
В частности, для осей, повернутых твк, как изображено нв рис. 6.5. тот же способ, что в задаче 6.6. приводит к дальнейшему упрощению матрицы (6.19) за счет равенств Сп = Свв = Сзн С, = С, = См н Сж = См = = С,з = Сва = С,в = Сж. Наконец, лля системы х, полученной поворотом на угол 45' вокруг оси хв (рис. 6.6). матрица преобразования будет 11~2 11 2 0 — 17) 2 1/) 2 0 0 0 1 217 ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ СО1' ~( Рис.
6.5. Рис. 6.6. так что оз —— (а, — о,)/2 = (С11 — Стз) (е, — е,)/2 и ез — — вз — ез. Но аз Смея, поэтому 2С =С вЂ” С, . Вводя обозначения н Сз4 и Х=С1, приходим к матрице (6.20) 6.8. Проделать операцию обращения закона Гука (6.21), чтобы получить соотношение (6.22). Равенство (6.21) при 1=/ дает ан —— (ЗА+ 2р)е,-; следовательно, 2ре . =а, — )н)чозз/(ЗХ+2р), или в,, а„/(2!а) — Абгаьз/[2р(31,+2р)). 6.9. Выразить технические константы ч и Е через постоянные Ламе )с и )ь. Из равенств (6.25) видно, что Е/(! — 2т) = 3).
+ 2р, а из (6.26) Е/(1 + т) = = 2р. Таким образом, (ЗХ + 2Р) (1 — 2т) =2р (1 + т), откуда Е = Х/ [2 (Х+ р)). Теперь опять воспользуемся (6.26) и найдем Е = 2р (1 + т) = р (Зй+ 2р)/ (Х -1- + н). 6.10. Написать матрицу упрутих констант для среды, имеющей ось упругой симметрии порядка //= 4. Считать при этом Скм= = Смк. Пусть осею упругой симметрии будет ось кз.
Поворотом других осей на угол О = = 2л/4 = л/2 относительно кз (рис. 6.7) получим направления зквивалейтных упругих свойств при Ф = 4. й[атрица такого преобразования О 1 0-1 [о,.) = — ! 0 0 0 0 1 и формулы (2.27) н (3.76) приводят к группе равенств а1 = аз. оз — — о,, аз в — аз аз = Ри ". 6.7. — аз, оз — — ом а„, = — оз и е! — — ез.
ез=ет аз=аз еч — — — е,, ез —— ез, ез —— — ез Они накладывают условия иа коэффициенты Слм! так, например, из равенства оз оз следуют равенства 2!8 Гл. б. ЛИНЕПНЛЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Сы=сзь=си=о, С„=Сзы шений для нзпряжений, ээпишем Аналогично, используя остэльные пять соотноматрицу упр1гих констант тэк: С С|з ΠΠ— Сб Сгз Сзз О О О О О Сы О О о о о с„о — с, о о о с см сы с, О [Скж) = Сге (с семью независимыми конствнтэми).
Статические и динамические задачи теории упругости (% 6.4 — 6.3) 6.!2. Доказать, что если у'г, = О, то компоненты перемещения иг = (Л + 2р) Рп;;l[ь(Л + р) — Р;,1;/[ц являются решением уравнений Навьс (6.31) при отсутствии массовых сил. Дифференцируя предполагаемое решение, найдем члены Рнг ц = (Л + 2р) рг „,,дЛ + 1г) — г „,,, и (Л+1) нйд = (Л + 21г) Рлльугlи — (Л+ Р) Ржьцг)Р Подстэвим нх в уравнение (6.3! ), что дает (Л + 2Р) Гг ь l(Л + и) — [и — (Л + 2Р) + (Л + Р) [ РЬ ь = О. ЭтО УРаВНЕНИЕ УДОВЛЕтВОРЯЕтСЯ, ЕСЛИ Гг ьь 1 = ЧбйГ = О.
! 6.13. Доказать, что при отсутствии массовых сил функции иг = =- брг + ацьзрь,1 УДовлетворЯют уравнению движения (6.35), если каждая из функций гр и зрг является решением трехмерного волнового уравнения. Подставим функции нг в уравнение (6.36): р(фцьэ+ цзфжнм)+(Л+р) (Ч,ц + лмфвгд) = р(ф, + ць Рьц). Но ег ф р.г = О, поэтомУ УРавнение ((Л + 2р) р ьэ — ргр) д + ець (рфз — Рфь)ц = О удовлетворяется, если Чз<р = р<р)(Л+ 2р) и Чзфи= рф:,,'1ь 6.11. Вывсстн уравнения Навье (6.31). Заменим компоненты деформзции в (6.28) эквивалентными вырэжениями через перемещения: ог.
= Лйг аэл + р (и; . + и. г). Таким образом, ог. - = Лиь ьг + гд + р(иг я+и г ). Подставив это выражение в урэвнення рввновесня (6.2Т) и перегруьпйировзв члены, получим нужное уравнение: риг ц + (Л + р) и. д + рйг =О. 219 з«д«чи с Решениямн 6.14. Доказать, что полученное в задаче 6.13 волновое уравнение сзЧ»гр = гр, где с' = ()ь + 2)»)/р, имеет решение д (г + с!) + й (г — с!) Ч= где йг и /г — произвольные функции своих аргументов, а г' = хгх,. В данном саучае удобно воспользоваться выражением оператора Лапласа в 1 д / д сферических координатах Ч~ га — — !гз — !, так как <р =<у(г, 6. Р!меем дг ! дг/' гз (д~р/дг) = г(д'+ й') — (и+ й), где штрих означает дифференцирование функ- ций л и й по их аргументаьь Паоле повторного дифференцирования находим Рз~р = (д" +й)гг.
Аналогично гр = (а с — й с)/г и ~р = сз(й" +/4)/г. Теперь вид- но, что функция гр удовлетворяет уравнению смр'~р = гр. 6.15. Вывести уравнения Бельтрами — Мичслла (6.ЗЗ) и ука- зать ту форму, которую они принимают в случае потенциальных массовых сил, т. е. при р0, = гргь Подставим соотношения (6.24) в условия совместности деформаций (3.!03).
Получим 0 + т) рзи»м + а» г/ ог» ж о/»»«) и (В!/В и + ь» — Ь„вд — б/ Е„). где В = 1х — — оа. Только шесть уравнений из написанных здесь 81 независимы. Полагая ю = й и используя уравнения равновесия (6.2?), можем написать ос «» + В ! + р (Ь! /+ Ь,. г) = т (Ьг В ««+ В ! )/(1 + т), откуда находим В»« —— — (1 + и) рЬ««/(1 — т). Подстановка выражения для В»» в предыдущее уравнение приводит к требуемому результату (6.33). Если рЬ, = грг то р(Ьг +Ь,) =2ю!,. и рЬ« =юд« вЂ” — г/згр так чта урав- нение (6.33) принимает вид )/за," = В г /(1+ и)+ 2~р г/+ тбг/!?з!р/(1 — т) = О, Двумерные задачи теории упругости (9 6.6 — 6.8) 6.16. Для плоских напряжений, действующих параллельно плоскости х,х„написать соотношение между напряжениями и деформациями, используя коэффициенты Х и р. Показать, что эти формулы совпадают с (6.41).
В данном случае азз = о,з = о,з — — О, а учитывая еще (6.2!), имеем е,з = =е»з=-О и взз —— — Х(ег, +в )/(Х+2И), Закон Гука (6.21) записывается таг да в виде оаа —— 2)4гбаае /(а+21!)+2реиа, где а, )), у 1, 2. Отсюда находим о = 2р (ЗХ+2р) е™/(Х+ 2р).
Теперь формулу для о В можно обратить и найти аад = «баба /2Р (зй + 2Р) + оааЦЗ= — тбааотт/Е + (1 + т) ааа/Е В частности, отсюда следует, что ею — — — )л /(Х+ 2И) = — йа /2р (зй + 2р) — та /Е. Гл. а, ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 6.)7. Для плоской деформации, параллельной плоскости х,х, написать соотношение между напряжениями и деформациями, используя коэффициенты у и В.
Показать, что эти формулы совпадают с (6.48). П этом случае иг эа О н, следовательно, егг О, а яз (6.24) оаг — — т (ом+ +и ) = Хо /2(Х+р). Теперь формула (6.24) принимает вид е а — — (1+У) о р/Š— т(1+т) б,ао /Е. откуда е = (1+ У)(1 — 2т)о /Е. Обращая, окййчательно накоднм ссср = УЕбааетт/(1 + т) (1 — 2ъ) + Ееаа/(1 + У) Маретт + 2Раар. 6.!8. Вывести уравнения Навье для плоского напряженного состояния (6А5) и показать, что онн эквивалентны соответствующим уравнениям для плоской деформации (6.5]), если ). заменить на )с' = 27)с/()с + 2)с). Обращение равенства (6.41) при учете (6.42) дает оаа — — (и р+иа )/2(1+У)+2УЕЬаро /]2(1 — тг)].
Проднфференцируем это по ха и подставим результат в уравнения равновесия (6.40); получим Еаа.ра/]2 (1 + т)] + Еир р /]2 (1 — и)] -]- рь =р'й™.+р(ЗА+2р)нр,, /(д+2р)+рэ =О. Если провести замену р (3)с+ 2р)/(л+ 2р) = 2лр/()с+ 2р) + р = )с' + р, то уравнения (6.45) совпадут с (6.5Ц. 6,!9. Найти связь между константами А н В, прн которой функция ср = Ахдс«дг + Вхг будет функцией напряжений Эрн. Согласно (6.56), функция ср должна быть бнгарьсонической, т. е. ср + + 2Ф игг + Ф спгг = О + 24А«г + 120Е«г = О. Зто верно, если А = — 6В. 6.20.
Доказать, что функцией напряжений Эри может служить зр ] «.х' 1 Р ср = — 1х х — — 7!+ — хг. =4 ]гг З'~ Найти компоненты напряжения в области х, ) О, — с ( х, ~ с. Рис. 6.8. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Вследствие того что « ~«ф тождественно равно пулю, функция «р может слу. жить функцией напряжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
