1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Найти зависимости между температурой и плотностью, а также между температурой и давлением для данного процесса. Подставляя р = Ср в уравнение состояния (7.6), находим соотнопгение между температдтрой и плотностью: ра 1/Т= /1/С= сопз1. Кроме того, из уравнения р = (р/С) / и опять из уравнения (7.6) получим зависимость между температурой н давлением: р/а и/~/Т = /7/С~/~ = сопз1. 7.4.
Написать определяющие уравнения для ньютоновой жидкости с нулевой объемной вязкостью к' им О. задачи с осшнниями При н'=О, согласно (7Л1), Хч= — 2рч/3 и иэ (7.9) следует, что ог = г! = — Рб! — (2рч/3) бцВэа + 2рчВ>/. Это выражение можно записать через девиатор тензора скоростей деформации о . = — Рбг + 29 ч (Вг — бг Вээ/3) = — Рб!. + 2Р*В, Если ввести еще девиатор напряжений з>, та определяющие уравнения можно представить двумя соотношениями з! —— 2р'0;! н аи = — Зр. 7.5.
Найти выражение для мощности напряжений а,/06 в ньютоновой жидкости с определяющими уравнениями (7.9). При определяющих уравнениях (7.9) мощность напряжений по определению равна аг 0 ! —— — РбцВ>! + Х'бг!ВзаВц + 2Р'ВцВц — — — ' РВм + Х ВяВ!! + 2Р'Вг 0 . В символнчесиих обозначениях это равенство имеет вид Х ". 0 = — Р (1г О) + «.* (1г О) з + 2Р*В: О. Можно записать его через девиатор В;с ог!Вц РВи + «Ви0!! + 2Р* (Вг! + бг!Ваа/3) (Вг + бг!0 /3) РВ" + мВ Вц+ 2 ВцВ'! или в символических обозначениях Х: 0= — Р(1г 0) +я*((г 0)з+ 2р 0': 0'. 7.6.
Написать условия, при которых среднее нормальное давление Р1 > — — — ои/3 равно термодинамическому давлению р в ньютоновой жидкости. второе из определяющих уравнений (7.14) дает р1 — Р= н'Вгг таким образом. р = р в следующих случаях: когда и" = О (т. е., как видно иэ (7,11), при Х' = — з/ар') и когда Ви — — О. 7.7. Проверить правильность написания уравнений движения Навье — Стокса — Дюгема ньютоновой жидкости (7.22) и найти, какой вид принимает уравнение энергии (7.!7) для этой жидкости, если теплопроводность подчиняется закону Фурье (7.20). Учитывая, что Вн — — ого соотношения (7.18) можно написать в виде ог = = — рбц + Х"бцоэ а + рч (о; ! + о. !); .тогда оц ! = — Р /бй + Х'бцоарц + И ("г>! + "!ц) = — Р г + (Х*+ рч) о!гт + и "г и.
Подставляя это выражение в (7.16), непосредственно проверяем выполнение (7.22). Подставим вышеупомянутые формулы для ог и закон Фурье (7.20) в уравнение энергии (7.17) и найдем Ро = ( — Рбц+ а~бцоэ «+ Р~ (ог . + о! >П (о! . + о.г)/2 — й! и+ Рг. После неиоторых преобразований получим Ро = — Ро> г+ Х'о! го! !+ р'(ог !+ о! г) (о, !+ о„)/2 — йТ и+ ра. Га.
т. жидкости 7.8. Найти суммарную поверхностную силу Т„действующую на замкнутую поверхность о, содержащую объем ньютоновой жидкости (рнс. 7. () с нулевым коэффициентом объемной вязкости. Элементарная поверхностная сила равна дТг = 174д8, а полная сила определяется интегралом Тг —— ~ ф> Ю который, используя свойства напряжении, можно представить в виде Тг = Рис.
7.1. = )о лгд8. При учете результата вадачи 7.4 в случае нулевого козффипиента объемиой вязиости получаем Тг = ~ ( — рбд + 2ра0;.) пгд8. Применив теорему Гаусса — Остроградского, зто выражение можно записать таи.' Тг= ~(2р()г'..— Рг)д(г. 7.9. В осесимметричном потоке в направлении оси х, скорость является функцией х, и г, где г' = хт1 + ххт. Найти, какой вид принимает при этом уравнение неразрывности, если вектор скорости представлен в форме ч = г)~, + о,е, где е,— единичный вектор радиального направления. Уравнение неразрывности в символических обозначениях имеет вид др/дг+ + 17 ° (рт) = О (уравнение (5,4)).
В данном случае используем оператор т в пнлиндрических координатах 17 (рч) =— 1 д (тра) д (роз) г дг + — ' д"з Подставив его в (5.4) и проведя некоторые упрощения, получим искомый вид уравнения неразрывности: г (др/д() + д (грд))дг + д (гро~удх = О. 7.Ю. В двумерном течении, параллельном плоскости х,х„ компонента скорости оз и д/дхз равны нулю.
Написать для такого случая уравнения Навье — Стокса и уравнение неразрывности несжимаемой жидкости. Уравнение (7.23) при ( = 3 дает рЬз = р з„а при ( = 1, 2 дает ро,„= рЬ,„— — р,„+ р'о„рр. Уравнение неразрывности (7,15) принимает внд о „О. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 239 Если массовые силы равны нулю и оэ = о,(хм хв О. ох = О. Р = Р(хх хь О. то указанные уравнения нрннимают вид роз = — др/дхх+ р*(дэох/дхг+ доог/дхр и до /дх О. Установившееся течение. Гидростатика. Безвихревое течение 6 7А) 7.11.
Будем считать атмосферный воздух совершенным газом, температура которого меняется линейно с высотой Т = Т, — ихз, где Т, — температура на уровне Земли, а координата х, отсчитывается от уровня Земли вверх. Определить атмосферное давление как функцию х, в условиях гидростатики. В этом случае из уравнения состояния (7.6) следует, что Р = р/1 (То — мха). Так как из массовых сил действует только постоянная сила тяжести Ьз — — — я, уравнение (7.28) дает др/дхз = — ра = — ря//7 (Т вЂ” ихэ).
Разделяем переменные и интегрируем: !п р = (а//(аз) )п (Т вЂ” схх ) + !п С, где С вЂ” постоянная интегрирования. Таким образом, Р= С(Т вЂ” ах,)к/ао, несли р=р при хз — — О, то С= = Р тг, а/Я~, и, следовательно, Р = Р (1 — ехх /тйк/аа. 7.12. Баротропная жидкость описывается уравнением состояния р = Хр „где Х и /е — постоянные. Жидкость остается в покое в поле силы тяжести, действующей в направлении оси х,.
Найти распределение давления в жидкости в зависимости от х„если при х, = 0 оно равно ро. Иэ уравнения равновесия (7.28) др/дхэ = — ра, др/дх, = др/дхо = О. Заметим, что при отсутствии у массовых сил компонент Ь, и Ь, давление в напйоавлениях х, н х, постоянно. При р=(р/Л)' уравнение равновесия дает р йр= 3/з — 1/ = — 8Л !/Адхз.
Интегрируя его, находим (Ь/(й — 1)) р1~~!/~ = — аЛ /ахз+ С. Но Р=Ро пРи хз — — О, откУДа С=(й/(й — 1))Ро! Н/. Таким обРаэом, х = = (йро/(й — !) яро) (! — (Р/Ро)' " ), где Ро = (Ро/Л) / ° 7.13. Широкий сосуд, наполненный несжимаемой жидкостью, движется с постоянным ускорением а = а,е + а,е, в поле силы тяжести, направленном вдоль оси х, (рис. 7.2). Найти наклон свободной поверхности жидкости в сосуде. Иэ уравнений равновесия (7.28) др/дхх = О~ др/дхз = ра, и др/дхэ = — р (а — а,).
Интегри- -':,::;;:,,.Н;, РУем: Р = Ра,х, +/ (хэ) и Р = — Р (8 — ао) х, +;':!:;::с:~';:!'У~~'-':-:-:". + 6 (хд, где / и 6 — произвольные фуннций своих .':.~:',.'~<~,".,-,'~еча':."-.,':;::;;,';:-;.:„"'~Ъ" аргументов. Объединяя, получаем общую фор-,:;::,:.;".'„-'~,';;.:!":".ъ',.Ь):".;-'.:-'".з1„, .'- а'."~""'. свободной поверхности. Так как всюду на сво- з."~,:.~~!эоо!:.';н„'":;~ р ~.':~~,,"',",",Ь":.>~.,'~ бодяой поверхности р = ро. то уравнение исномой свободной границы будет хо/хо = (х — ао)/аэ. Рис. 7.2. 7.14.
Если течение жидкости происходит очень медленно, так что членами порядка квадрата скорости и выше можно пренебречь, то получается предельный случай, который известен под названием 240 Гл. т. ЖИДКОСТИ ползпн(его двиясекия. Доказать, что в таком случае в установившемся движении несжимаемой жидкости прн нулевых массовых силах давление является гармонической функцией, т. е. Чар = О. Уравнения Навье — Стокса (7.23) для несжимаемой жидкости имеют вид р (ди;Ф+ с)ии) = РЬ вЂ” Рд+ р*ог ЬР а для ползущих движений их л~ожно линеаризовать, что дает р (д г(дт) = РЬг — РХ+(*ог,)Г Отсюда видно, что при установившемся движении с нулевыми массовыми силами рг= рчо ..
Возьмем дивергениию от обеих частей этого равенства: Рп —— = Р" о; г . Учитыван УРавнение неРаэРывности ог г = О, полУчаем Р,г = таир = = О. 7.15. Записать уравнение неразрывности и уравнения Навье— Стокса — Дюгема для безвихревого движения через потенциал скорости ~р. Согласно (7.35), ог = — гр г, вследствие чего уравнение неразрывности принимает виар — р(Гагр = О. Уравнения (7.22) при ог = — гр г запишутся следующим образом: — Р'рд = РЬт — Р,ю (л + Р ) гр,гр и гхгур или — р (д~р г/д( -1- гр агр га) = РЬг — р г — ().ч + 2р*) гр 1)о Эти уравнения можно представить и в символических обозначениях: — рр (д р(д(+ (р р)э)2) = РЬ вЂ” рр — (Х" + 2р) р (ра р).
7.16. Найти функцию давления Р (р) при баротропном течении жидкости с уравнением состояния р = — Хр, где Х и )г — постоянные. По определению (7.29) Р 1)е Р(Р) = ~ — = ) (РМ д — 1ж Ьв ( га — Пж( й 7 Р Рч Т р — й — (~р р,) я. Р. тан кан ЛР = ЬЛР" 'др, этот же результат можно получить н иным путем: о Р(Р)= ~)ЛР дР= )ь Р ь — 2 )'ч а — 3 о й l Р Ро й — 1~1щй — 1'Тррз Р. Идеальная жидкость.
Уравнение Бернулли. Циркуляция (ф 7.5) 7.17. Интегрированием уравнений Эйлера (7.37) вдоль линий тока получить уравнение (?.39). 241 злдлчи с пнпянпями Пусть дхг — элементарное перемещение вдоль линни тока. Возьмем скалярное произведение этого перемещения нв (7.37) н проинтегрируем: — Д г+ 1о/', хг+) а,д/хг+) Ргдхт=С(/) дог Твк нвк Г/ пдхг = й) и Р тдх; = бр, последние двв интеграла срезу нвходятся. Кроме того, вдоль линии тока дхг = (о;/о) дз, где дз — элемент рвсстояния. Тихим образом, во втором интеграле о/ег лхг = е ос/ (е//е) дз = огог / (е//е) дх = егэс/дх/ = огдог. Поэтому ) о ег 0хг = ) ок/ст = т/еоюг = г/еее и (7.39) получено.
7.18. Жидкость с уравнением состояния задачи 7.16 вытекает из большого закрытого резервуара через гладкую тонкую трубку; течение баротропное. Давление в резервуаре равно /)/ атмосферам. Определить скорость истечения газа, считая давление в струе на выходе из резервуара равным атмосферному. Применим интеграл Бернулли к установившемуся течению в двух точках: А — в жидкости, покоящейся внутри резервузрв, и  — нв свободной поверхности вытенлющей струи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
