1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Урзвиение (7.39) лает () ч + Рд + '/ветл — — Г)в + + Рв+ г/зев~. Но ил — — О, н если пренебречь силой тяжести, то это уравнение примет вид (см. зздзчу 7лб) й /Рл Рв) 1 э х 2Д Рв //трв нлн / й — () Рл Рв/ 2 Рв ~ Рл Твк квк Рв/РА = (Рв/Рл) У , то окончательно — пз — !/е — Рв 7.19.
Доказать, что в невязкой баротропной жидкости при потенциальных массовых силах скорость изменения циркуляции равна нулю (теорема Кельвина). По формуле (7.43) Г, = $ (еКЬг+ егдог). Но для денного случзя уравнения (7.37) срвзу дают йг = — (()+ Р), и поэтому Гг = ф ( — () л/хг — Р //хг + огдег) = = — Урн)+бр — д(о/2)) = — Фд(а+Р— е/2)=О вследствие того, что подинтегрвльное выражение оквззлось полныл~ дифференпив- лом.
7.20. Найти циркуляцию скорости по контуру квадрата х, = = ~1, хх = ~1, х, = О (см. рис. 7.3) в двумерном течении с полем скоростей и = (хх + хх) ех + (х( — х„) е Гл. т. жидкости 242 Воспользуемся символической записью формулы (7.42) прн п = ез и ссСХт=(2«!в — 1) еа.
! 1 -з- Гс ) ) (2хс — 1) с(хсс(хз — 4. ! — 1 — ! К тому же результату можно прийти и из формулы (7.41)с Рис. 7.3. Г =фт ° Йс= ! — 1 ! с (! «а) с(хз+ )с («с+ 1) с)«с + ~ (1 «а) с(х + )с (хс !)с)х — 4. — ! ! ! — ! Здесь интегрирование начинается в точке А н ведется против движения часовой стрелки. Потенциальное течение. Плоское потенциальное течение ($7.6) 7.21. Вывести уравнения газовой динамики (7.45) и записать зти уравнения через потенциал скорости ср. Уравнение неразрывности (6.4) для установившегося течения будет ррс+ + рос ! = О, а уравнения Эйлера (736) дадут росс!+ рс = О, если пренебречь массовыми силами. Из условия баросропии р = р (р) следует с)р = (с(р(с(р) с(р, или рс= (с(р7с)р)рс = с'рс, где с — местная скорость звука.
Подставляя зто выражение в уравнения Эйлера и умножая результат на ос, находим роса!ос . + + азсср с = О. Из уравнения неразрывности сзнр = — сто!с= — сзйс!ос, н тогда для уравнений движения окончательно получаем (с"6,, — о!ос) о! Через потенциал скорости срс = — ос зти уравнения записываются следующим образом: (сзйс — срсф ) ср = О. 7.22. Доказать, что функция ср = А ( — х! — хз + 2хз) удовлетворяет уравнению Лапласа. Найти компоненты скорости и описать движение, Подстановкой ср в урааненае (7.46) убеждаемся, что — 2А — 2А+ 4А — = О.
По формулам(7.36) о, = 2А«ь оз = 2Ахь оз = — 4А«з. Используя результаты задачи 4.7, видим, что линии тока в плоскости «с имеют уравнение хзхз = сопз(, т а в плоскости х уравнение ха~ха — — сопз(. Таким образом, поток направлен вдоль оси хз навстречу плоскости х,хз (натекание на твердую стенку). 7.23. Доказать, что функция тока ф (х„х,) постоянна вдоль линии тока. Из соотношений (7.48) и дифференциального уравнения линии тока с(хс(ос = 4 ДХ !СЗ (СМ. Задачу 47) получаем — с(хс)фа= сгхз7фс, нли фсс)х +фячхз = с)ф = О. Таиим образом. вдоль каждой линйи тока ф = српз(. 243 злддчи с Решениями 7.24.
Проверить, что функция ф = А (х~ — хт) может служить 2 2 потенциалом скорости несжимаемой жцдкости, и описать заданное ею течение. Данная функция ф удовлетворяет Экбилолгонц иола низ уравнению (7.45) тождественно„так ливи как 2А — 2А =- О. Компоненты скорости определяются формулами (7.49): и1 = — — 2Ахь из = 2Ахз. Линни тока получаются интегрированием уравнения Ых,/хт = — бхз/хз и предстзвляют собой гиперболы х,хз = С с взаимно перпендикулярными асимптотами //инни ( тосно (рис. 7.4). Эквнпотенциальные линии А (хэ — хэт) = Ст образуют семейство / таких же гипербол, ортогональных Рвс.
7.4. линиям тока. Наконец, из (?.50) найдем фуницию тока ф = — 2Ахтхв+ Са которая оказывается постоянной вдоль линий тока, как и утверждалось в задаче 7.23. 7.26. Дан потенциал скорости ф =- Ах, + Вх,/г', где г' = = х( + хэз. Найти функцию тока тр для этого течения. Согласно (7.50), ф~ — фэ =2Вх,х,/гч, откуда интегрированием находим ф= — Вх,/г'+/(хт), где /(х,) — произвольная фун«цня ог хэ.
Продж)х)мренцируем функцию тока: фа — — — В (хэ — хээ)/та+/' (х,). Но из (7.50) известно, что ф = ф г = А + В ( — хз~ + хф/га. Таким образом, /' (хх) = А и / (хн = Ахз+ С. Окончательно получаем ф = Ахз — Вхз/гз+ С. 7.26. Дифференцированием комплексного потенциала Ф (г) = =- А/г получить компоненты скорости. В данном случае дФ/Аа = — А/гэ= — А)(х, + (х,)з, что после некоторых алгебраических преобразований можно записать следующим образом: дФ/дг = — А (э~~в — х~~/та+!2Ах,хз/га. Таким образом, от = А (хз~ — хф/га и нз = 2Ахтхт/г".
Заметим еще, что если Ф =А/а =А(х,— /х)/гз, то ф = Ах,/г', а ф= — Ахз/гз, и мы снова получаем ит — ф г А (х( — хээ)/гт и из — — — гр э = 2Ах,хз/га. Смешанные задачи 7.27. Вывести уравнение неразрывности для одномерного течения несжимаемой жидкости в трубке тока (боковая поверхность трубки тока образована линиями тока). Пусть У вЂ” обьем, заключенный между двумя произвольными сечениями А и В трубки тока (рис. 7.5). Уравнение сохранения массы (5.2) в интегральной фюрме для этого объема при постоянной плотности р записывается в виде (/ ° чбУ = О. Преобразуем этот интеграл по теореме Гаусса — Остроградского; 244 г .
т. жидкости г- (е) это даст ~п ° тд5 = О, где п — едк- о! ! начный вектор внешней нормали к поверхности 5, ограничивающей объем 1/. Из-за того что на боков (д) „,' аой поэерхностн и ь и, от интегрела остаются только члены пл члд5+ ) пв ч 5=0. Рнс. 7.3. з'я- зв Будем предполагать, что скорость распределена равномерно по сечению н перпенднкулярна плоскостям сечений 5л н 5в. Вследствие того что та= — овпв, получим оч ) д5 — ов ] д5=-О нлн рч54= ов5в — — сонэ!. зл зв 7.28. В некоторой точке ныотоновой жидкости с нулевым коэффициентом объемной вязкости задан тензор напряжений — б 2 — 1 о/= 2 — 9 4 — 1 4 — 3 Найти тензор тгь Для такой жидкости, согласно (7.14), р = — и /3 = 6. Тогда нз соотношения (7.3) получаем — 6 2 — 1~ уб О О~( у О 2 — 1ч тц=о +66!,,платя= 2 — 9 4 + О 6 О = 2 — 3 4).
— 1 4 — 3 О О 6 — 1 4 3/ 7.29. Доказать, что тензоры оц и тц в формуле (7.3) имеют одни и те же главные оси. Напишем полностью есе соотношения (7.3): оы = — я+ ты, о„= — и+ +сэр оээ= Р+тм озэ=тзэ пээ= ты, пш — — тз . В главных осях к тенэора пг должны быть выполнены рааенстэа о!э — -о з — — о!з — — О.
Но псследнне трн * уравнения нз (7.3) прн этом дают он= т;/ — — О, если /чь/. А зто значит, что осн к оказыээются главными н для тенэора гц тоже. 7.39. Для ньютоновой жидкости часто вводят диссипапгивный потенциал Фа, определяемый формулой Фр =(и/2) Рп0//+)сэ0;/Р,/. Доказать, что дФа/дРгг = тц. Пользуясь определением„ находим дФв/дР =(н/2) [Рп(дР "/дР ) +(дРв/дР )Р .]+2И*(Р; (дРг/дР )].
Но дРи/дРрч — — б,рбг = бр н дР,//дР ч — бгрб/ — 6!.бр /3 Поэтому дФа/дР = нР,6 + 2И* (Р— бг Рээ/3) (бг 6 — бг/б„е'3) = нРабрэ+ 2р (Ррч — брэРгг/3). 245 ЭАЛАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Наконец, вследствие того, что и = Х' + 2р'/3, получаем бфо/6/)рч = ь 6рч/'гг+ 211*7'р = 'р 7.31. Найти зависимость между давлением и плотностью в совершенном газе прн условиях задачи 7.11. При хз — — 0 имеем р = рр и р = рз. Уравнение состояния совершенного газа в нашем случае будет иметь зид р =- р/7 (Тэ — ахз) и, следовательно, р, = Р„ЙТз. Иэ зависимости давления от высоты, определенной в задаче 7.11 КаК Р = Р, (1 — Гака/Т„)а/ЯП, МажНО ГЮЛУЧнтЬ Р/Рз — — (Т/Т1 1а/ПО 11.
РаВЕНСтВО р = рз (1 — ихз/Тфяо представим в форме р/р, =-(Т/Тна/Я", откуда Т/Т, = = (р/р)П"/и, и окончателыю находим р/рэ — — (р'рз)1~ 7.32. Доказать, что в баротропной невязкой жидкости при потенциальных силах материальная производная от полной завихренг( ности выРажаетса фоРмУлой — 1 1)гг((/ =- ~ пг17/с(он и 3 11 г По формуле (4.54), используя результат задачи 4.33, находим — э1 чгбУ = 1' = 1(аг/заз+4/иг) б5/. Но в нашем случае, согласно (7.37), аз= — (О+ р) Тогда по теореме Гаусса — Острогралского (1.157) можно написать аг/з (и + Р) збх/ = г) е,/з (а + Р) эх(У = о вследствие того, что полинтегральное выражение рвано нулю (как произведение симметричного и антисимметричного тензоров). Отсюда следует Д ~ 4Ф' = ~ 4/оПЬЙ/.
7.33. Несжимаемая ньютонова жидкость движется внутри закрытого покоящегося сосуда с твердыяти стенками. Доказать, что если массовые силы отсутствуют, то скорость изменения со временем кинетической энергии жидкости будет равна — р*') г)эг((/ 1 (17 здесь означает модуль вектора эавихренности). Как было установлено в аадаче 5.27„ скорость изменения со временем кинетической энергии среды равна дК вЂ” = ') РОГО!бр — ~ О, СГ Ч(У+ ~ П;Г(н1бх. В нашей задаче первый и третий интегралы обращаются в нуль, н для ньютоновой жидкости, используя (7.18), получаем б/( — = — ~ ог/и; бУ = — ~ ( — Рби+ )1*6!раз + 2иь/71/) ог,бУ.
246 г . т. жидкости Но вследствие несжимаемости осг = Р. = О; поэтому пК вЂ” = — 2Р* Рг ег лУ = — Р» ) (иг . + о- г) ог лУ = у У = — Р" ) (еддда) вг,Лу = — ра ра (е„р, /) ду = — Р' ~ уэчаг(у. и 7.34. Доказать, что в идеальной жидкости нри отсутствии массовых сил скорость изменения циркуляции Г, выражается интегралом — ~ ег/э (1/Р)пР.аЖп По формуле (7.43) Гз = у о;г(хе+ у эгпог.
Но второй из интегралов обращается в нуль, тзк квк ф 6('/зоз) = О. Из уравнения (7.36) при Ьг= 0 имеем ог = — Р г/Р; следовательно, Ге = — ~ (рд/р) оха = — ~ виа (р „/Р) лд(8. Здесь использована формула (7М2) для преобразования линейного интеграла в интеграл по поверхности.
Выполняя указанное дифференцирование. находим Гс = — ~ ана ИНР),;Рд + Р,ь//Р) ЛЗ/ = — ~ за/а ((/Р)яр,аНЗ/. 8 5 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 7 35. Даны определяющие уравнения иэотропной жидкости пг = — рбг + Ч + КО Р, . где Кг., — постоянные, не зависицие от координат. Доказать, что главнйе оси тензора напряжений н тензора скоростей деформации совпада1от. 7.36. Доказать следующее утверждение: если имеет место равенство пр/г(/ О, то в ньютоновой жидкости — пгг/3 Р. 7.37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
