1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Это условие вытекает из экспериментально установленного факта прилипания, в результате которого жидкость приобретает скорость границы. Для невязкой жидкости на неподвижной непроницаемой поверхности требуется обращение в нуль только нормальной компоненты скорости. Если уравнения Навье — Стокса записаны в безразмерной форме, то появляются некоторые коэффициенты в виде комбинаций из характерных значений параметров. Одним из наиболее важных н чаще всего используемых таких коэффициентов является число Рейнольдса /У~ни которое выражает соотношение между силами инерции и силами вязкости. Так, если поток имеет следующие характерные параметры: линейный размер /., скорость У и плотность р, то числом Рейнольдса является отношение й/ий — — И /ч, (7.25) где ч = )с*/р называется кинематическим коэффициентом вязкости. Для очень больших значений числа Рейнольдса влиянием вязкости на напряжения в уравнениях количества движения можно пренебрегать.
В турбулентном потоке кажущиеся (турбулентные) напряжения действуют в осредненном по времени потокетаким же образом, как вязкие цапряжения в ламинарном потоке. При отсутствии турбулентности при больших /У<н~ силы инерции превосходят силы вязкости и жидкость ведет себя так, как будто она невязкая. Способность потока поддерживать турбулентные движения устанавливается по числу Рейнольдса. Определяющие уравнения (?.18) применяются для описания реальных жидкостей только в случае ламинарного течения.
7.4. Установившееся течение. Гидростатика. Безвихревое течение Движеи,ие жидкости будет установившимся, если компоненты скорости не зависят от времени. При этом производные ди,/д/ равны нулю, а материальная производная по времени от скорости во; ° дц йч дч ~' — = о, = — +прим или ~ =ч = — +ч ° 7„ч, (7.26) вг ' аг ' .
вг аг уцрощается и принимает вид и, = и;окв или ч =ч ° ч„ч. (7.27) Если скорость всюду равна нулю„ то уравнения Навье — Стокса сводятся к равенству рЬ; = р,ь или рЬ =Ч.р, (7. 28) н описывают состояние гидростатического равновесия. При наличии баротропии, когда р — р (р), можно ввести по определению 7.5. ндеАльнАя жидкость. уРАВнение БЯРнулли функцию давления Р Р(р) = )~ Г вр 3 (7.29) Ро Если к тому же массовые силы потенциальны, т. е. Ь1 = — йн или Ь = — Чь), то уравнение (7.28) принимает вид (11+ Р)1= 0, или Ч(1)+ Р) = О. (7.30) (7.31) Течение, в котором тензор завихренности (4.21) Уц = — ~ — — — ) „илн Ч = /,(У Ч вЂ” Ч У), (7.32) 1 7ав1 й,1 1 2 1дк~ дк1/" всюду равен нулю, называется безвихревььи. Вектор завихренности у1 связан с тензором завихренности соотношением У~ = енАУкл или ц = Ч (7.33) поэтому этот вектор также обращается в нуль в безвихревом потоке.
Кроме того, д1 — — Ецкокн или ц =Ч х У. (7.34) Но равенство Ч Х у = 0 выражает необходимое и достаточное условие существования логпенциала скорости гр, значит, вектор скорости в безвихревом течении можно представить следующим образом: и, = — ~р.1, или у = — Чц. (7.35) 7.5. Идеальная жидкость. Уравнение Бернулли. Циркуляция Если коэффициенты вязкости Х* и р равны нулю, то жндкссть называется невязкой или идеальной (без трения) и уравнения Навье — Стокса — Дюгема (7.22) превращаются в уравнения ри~ —— — рЬ, — рвч илн ру = рЬ вЂ” Чр, (?.36) о, = — (4)+ Р)ь или У = — Ч (й-(-Р).
(7.37) При установившемся движении (7.37) имеет следующую форму: о1и1н = — (И+ Р)ен нли У ЧУ = — Ч (()+ Р). (7.38) которые называются уравнениями движения Эйлера. Для баротроп- ной жидкости при потенциальных массовых силах условия (7.29) и (7.30) можно ввести в уравнение (7.36), в результате чего получит- ся г . х жидкости Если уравнения Эйлера (7.37) проинтегрировать вдоль линии тока„то получится известное уравнение Бернулли (см. задачу 7.17): П + Р + о'/2 + 1 (до,/д/) й.г,.
= С (/). (7.39) Прн установившемся движении до,/д8 = 0 и С (1) становится постоянной Бернулли С, которая, вообще говоря, различна для разных линий тока. Но если течение является к тому же и безвихревым, то постоянная С будет одной н той же во всем поле течения. Когда из массовых спл действует только сила тяжести, то ее можно представить потенциалом Й = дй, где д — постоянное ускоренве силы тяжести, а й — высота, отсчитываемая от некоторого уровня. Величина йр — — Р/й характеризует так называемый напор давления, а ох/26 = й,— скоростнон напор.
Уравнение Бернулли требует постоянства полного напора вдоль линии тока. Для несжимаемой жидкости это уравнение записывается следующим образом: Й + Й + й, = й + р/рй+ о9/2а = сопз1. (7.40) По определению циркуляцией скорости по замкнутой жидкой линии называют линейный интеграл Г,= ~офхи или Г,= уч с/х. (7А!) По теореме Стокса (1.153) или (1.154) линейный интеграл (7.41) можно преобразовать в интеграл по поверхности: Г,=( р,ю~~, т,=~ вх )ю, (7.42) где и — единичный вектор нормали к поверхности 5, натянутой на данную линию. Если течение безвихревое. то 17 х ч = 0 и циркуляция равна нулю. В этом случае подинтегральное выражение в (7.41) оказывается полным дифференциалом некоторой функции ~йр = — ч .
дх, а эта функция ~р представляет собой потенциал скорости. Материальную производную йГ,/й( от циркуляции по времени можно найти, воспользовавшись формулой (4.60). В приложении к циркуляпми (7.4!) эта формула дает Г, = у(ойх, + оао,), или Г, = у(ч . йх+ ч йч). (7.43) Можно показать, что в баротропной невязкой жидкости при потенциальных массовых силах циркуляция постоянна. Это известная теорема Кельвина (Томсона) о постоянстве циркуляции.
7.6. Потенциальное течение. Плоское потенциальное течение Термин потенциальное течение часто используют для обозначения безвихревого движения, так как условие отсутствия вихрей 7 х ч = 0 является одновременно необходимым и достаточным хв. потвпцпвльнов течение для существования потенциала скорости ф, через который компоненты скорости определяются по формулам (7.35). Для безвихревого течения сжимаемой жидкости уравнения Эйлера и уравнение неразрывности в некоторых случаях могут быть линеарнзованы и совместно преобразованы, как это делается в акустике, к волновому уравнению ф =.сйф,и, илн ф = свЧ ф, (7.44) где с — скорость звука в среде. В случае установившегося безвихревого течения сжимаемой баротропной жидкости уравнения Эйлера н уравнение неразрывности можно совместно преобразовать к следующему виду: (свбц — о;о~) огв = О, илн с'Ч ч — ч (ч Чч) = О.
(7.45) Это так называемые уравнения газовой динамики. Для потенциального течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности сводится к уравнению Лапласа ф,и = О, или Ч'ф = О, (7.46) и решение его обеспечит нахождение компонент скорости по формулам (7.35). При этом должны также удовлетворяться граничные условия для скорости, например, на неподвижной непроницаемой границе дф/дп = О. Вследствие линейности уравнения Лапласа существенной чертой этой постановки задачи является возможность использования метода суперпозиции решений. В двумерном течении несжимаемой жидкости, параллельном плоскости х,х„ов = 0 и уравнение неразрывности имеет вид Она= О, ИЛИ T Ч =О, (7.47) где, как принято в этой книге, греческие индексы принимают значения 1 н 2.
В соответствии с (7.47) независямо от того, будет ли течение беэвнхревым, можно ввести функцию тока ф = ф (х„х,), такую, что оа = — еарэт'.а. (7.48) Если плоское течение является к тому же еще и безвихревым, т. е. Оа= ф,а ИЛИ Ч= Ъф (7.49) то из равенств (7.48) и (7.49) видно, что функция тока и потенциал скоростей удовлетворяют условиям Коши — Рииана: фл = ф.г и фл = — фл.
(7.50) Исключая ф и ф поочередно из уравнений (7.50). легко показать, что фаа =0 ИЛИ ~ф ф= 0~ (7.51) ф,аа = О, или ~У'ф = О. (7.52) 236 Гл. т. жидкости Таким образом, если течение безвихревое, то обе функции ~р и з) являются гармоническими. В силу этого можно ввести кол/ллексный сотен//мал Ф (2) = гР (хт, хз) + ззР (хг, хз), (?.53) который будет аналитической функцией комплексного переменного 2 = х, + /х„а его производная йс0/г/2 определяет гсожплексную скорость сЮ/с(2 = — пг + (оз.
(7.54) ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Основные свойства жидкостей. Ньютоновы жидкости ($ 7Л вЂ” 7.3) 7.1. Доказать, что девиатор зу тензора напряжений пг/, удовлетворяющего соотношению (7.3), равен /г> — девиатору тензора т,/, определенного тем же соотношением. Из указанной формулы (7.3) найдем о г= — Зр+ т;г1 следовательно, з~,. — — ог — бг оеа/3 = — рбг + т, — бг ( — Зр-1- таз)/3 = тг — бг/таа/3 = /г. 7.2. Определить среднее нормальное напряжение пн/3 в несжимаемой стоксовой (нелинейной) жидкости, для которой ту —— = сг0г/ + р)'.)га0а/, причем ст и р — постоянные.
Из (7.3) следует. что и, = — рб, + а0у -)- ()Ога0а/, и поэтому он —— = — Зр+ сг0н + ()Ога0аг. Но 0м — — 0м и 0д — — огд = 0 для несжимаемой жидкости. Таким образом, он/3 = — р+ ()О 06/3 = р 2() 11о/3 где 11р — второй инвариант тензора скоростей деформации. 7.3. Адиабатнческое (или изэнтропическое) течение идеального (без трения) совершенного (подчиняющегося уравнению Клапейрона) газа представляет собой баротропное течение и описывается уравнением р — Сра, где С и А — постоянные, причем Д=сса1/с отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
