1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 35
Текст из файла (страница 35)
6.3. Возьмем функцию напряжений Зри в виде Ф = Ф (г, 9) и выразим через нее кол!поненты напр-жений ! дЭ ! РФ о!За! = д'Ф/дги, д ! (дФ! ОИО! = — д, — г! до !. (6.62) 6.8. Двумерные статические задачи теории упругости в полярных координатах По геометрическим соображениям некоторые двумерные статические задачи теории упругости удобно формулировать в полярных координатах г и О. После преобразования координат х, = г соз 9, х, = г з(п О (6.57) компоненты напряжения, изображенные на рис. 6.3, будут удовлетворять уравнениям равновесия в полярных координатах <~~! + ! Ра! + Р~! <аа! дг г до г ! до<за! Евка! + хоев! + О г дО дг г где К и !',) — отнесенные к единице обьема компоненты массовых сил в соответствплощих направлениях.
212 Гл. а лииеинАя теОРия упРуГОсти Условия совместности снова приводят к бигармоническому уравнению ((>г'(((>г'Ф) = ~;>г'Ф = О, (6.63) дг 1 д 1 дг причем в полярных координатах !'„>" = — + — — + — —. дг' г дг г" да2 6„9. Гикерупругость. Гипоупругость В современной механике сплошной среды иногда используются определяющие уравнения для сред, которые являются упругими в специальном смысле. Материал называют гппер((пругиА(, если для него существует функция энергии деформации и, такая, что материальная производная от нее равна мощности напряжений в единице объема. Таким образом, определяющее уравнение такой среды имеет вид ди 1 1 — = — Пцг>ц = — ООЕц, = р (>=р (6.64) где Ц! — тензор скоростей деформации. С другой стороны, материал называют гипоуг(руги,я, сели скорости напряжений являются однородными линейными функциями скоростей деформации.
В этом случае в качестве определяющего берется уравнение оц =Кцг, 1>ь . Ч (6.66) причем тензор скоростей напряжения а(( определяется выражением Оц = д (Пц) о(г) т( — прДд( (6,66) где )г(! — тензор завихренности. 6.!О. Линейная термоупругость если учитывать тепловые эффекты, то компоненты тензора линейных деформаций можно представить суммой ец= ец + е(г ° (Я (Т> (6.67) в которой е((~ — деформации, вызванные полем напряжений, а ац — полем температур. Компоненты деформации элементарного (г! объел(а изотропного тела, вызванные изменением температуры от некоторого начального значения Т, до Т, при отсутствии внешних сил определяются формулой е,'; = а (Т вЂ” Т,) Ь,(, (6.68) где а — коэффициент линейного теплового расширения.
Подставляя (6.68) и (6.22) в равенства (6.67), находим выражения 1 Х Гц = — ~о( — 6 ОАА) + и (Т вЂ” Т(() Ьц. (6.69) ыз блб линеЙБАя теРмоупРугость которые называются соотношениями Дюгамеля — Неймана. Равенства (6.69) можно обратить и написать определяющие уравнения термоупругости в виде пу = Лбуеьь+ 2реи — (ЗЛ+ 2р) сббу(Т вЂ” Тб) (6.70) Теплопроводность в изотропном упругом теле подчиняется известному закону теплоп.юводности Фурье с; = — йТл, (6.7!) где скаляр й — коэффициент теплопроводности среды, который должен быть положительным, чтобы обеспечить положительную скорость производства энтропии. Если ввести удельную теплоемкость при постоянной деформации сел равенством — себ = рс~"~Т (6.72) и предположить, что внутренняя энергия является функцией компонент деформации еп и температуры Т, то уравнение энергии (5.45) запишется в виде (см.
задачу 6.24) йТ и = рР~ 7 + (ЗЛ + 2р) аТеи., (6.73) (6.73) называется уравнением притока тепла связанной термоупругоспш. Система уравнений общей задачи термоупругости для изотропной среды состоит из: а) уравнения движения пи//з+ рб| = иь или д ° Х+рЬ = й, (6.74) б) определяющего уравнения термоупругой модели сгу = Лбуеьь + 2рбу — (ЗЛ + 2р) абу(Т вЂ” Тб), или (6.75) Х = Л(е + 2рŠ— (ЗЛ + 2р) сб! (Т вЂ” Тб); в) выражения деформаций через перемещения еу = '/,(иеь+ иьб), или Е = '/,(и7 + Чи), (6.76) г) уравнения притока тепла йТ.и рсеаТ + (ЗЛ + 2р) ссТЕАА, или <м .. (6.77) ЫРТ = рс~"~Т+ (ЗЛ+ 2р) ссТЕ.
Из этой системы нужно найти поля напряжений, деформации и тем- ператур, удовлетворив указанным начальным и граничным условиям. Условия совместности будут выполнены автоматически в силу (6.76), Существует широкий круг задач, в которых эффектами инер- ции и взаимосвязи тепловых и механических процессов можно 214 Га а ЛИНЕЙНАЯ ГЕОРГ!Я УПРУГОСТИ пренебречь. В таких случаях Общая задача термоупругости распада- егся на две отдельиыезадачи, которые решаготся последовательно, но независимо. Так, для квазистатичсской задачи несвязанной термоупругости (без учета теплообразования при деформации) основные уравнения будут следующие: а) уравнение теплопроводности АТоз = рсоа!Т, или йт/иТ =- рссйТ; (6.78) б) уравнения равновесия огд/+ рб, = О, или 17 Х+ рЬ = О; (6.79) в) уравнения, связывающие тензоры напряжений и деформаций, оц = Лбггеаа + 2рец — (ЗЛ + 2р) абц (Т вЂ” Т ), Х = Л)е + 2ИŠ— (ЗЛ + 2р) а! (Т вЂ” То); г) выражение деформаций через перемещения ец = '/и(мц;+ и/д), или Е = "/з(!/и + и'(/).
(6.81) ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Закон Гука Энергия деформации. Изогропия (ф 6.! — 6.3) 6.1. Доказать, что плотность энергии деформации и* для нзотропной гуковой среды можно выразить через тензор деформаций в виде ма = Л (!гЕ)'/2 + ИЕ'. Е и через тензор напряжений в виде и* = !(1 + о) Х: Х вЂ” ч (!Глчи! /2Е. Подставляя (6.2!) в (6.13), находим а* = (Лбггера+ 2рег/) вц/2 = Л ггв///2+ !,ге! ..
или в символических обозначениях ии = Л (!г Е)и/2+ ИЕ: Е. Подставляи (6.24) в (6.13), аналогично получаем а = оц И' + ч) ац — тбггаии)/2Е = !(! + У) аггаг/ тагга//1/2Е или в символических обозначениях и/и = !(! + У) Х: Х вЂ” у (!г Х)и)/2Е. 6.2. Разложив каждый из тензоров напряжений и деформации на шаровые части и девиаторы, представить плотность энергии деформации ма в виде суммы плотности энергии расширения и<л/ и плотности энергии искажения формы (энергии дисторсии) ц,р!. Подставив (3.93) и (2/ГО) в формулу (6.13). получим Мг = '/, (иг/+ алиби//3) (иг + ерр 6, гз) = '/и (ицец+ ане//3+ ицв/,./3+ агин///3). Вследствие того что е, = иа = О, выражение для и' сводится к сумме и' = = и' + и<о! = аге /6+ иг.ег/2 213 зяичи с Решенцямн 6.3. Имеется состояние всестороннего равномерного сжатия с тензором напряжений аг/ — — — рбг/.
Получить формулы (6.25) для модуля объемного сжатия (отношения давления к изменению объема). Для тензора напряженнй аг/ — — — рб,, соотношение (6.24) принимает внд е = [(1+ т) ( — дб,) + тб (ЗрЦ/Е, откуда получаем в!= [ — Зр(! + т) + + йрт)/Е. Тогда /('= — р/э!!= Е/3(1 — 2т). Аналогично нз закона Гука (6.2!) для данного случая имеем а, = (ЗХ+ 2р)в = — Зр, так что К= (31, + + 2р)/3.
6.4. Выразить и!э! и и!о1 задачи 6.2 через технические упругие модули К и 6 и компоненты деформаций. Гэ задаче 6.3 получено ан = ЗКегг, н. следовательно, ПЭ) — — анв/Г/6 КВГ!В/ /2 = К (1В)э/2, Представим компоненты напряженна по закону Гука (6.21) н по формуле (2.76): а!. = Дб,,з„э + 2Рег = хи+ а 6, /3. А так как а! = (Зь + 2Р) ея, то эд = 2р (е . — в „6 ./3). Таким образом, Вгт» — — 2Р (Ет/ — Еээйт//3) (Вг,. — Ер рбгг/3)/2 = Р (Вг/Ец — Еис ../3).
Заметам, что плотность энергии расширения п1~ оказывается функцией только К, а плотность энергии искажения формы и!о) выражается через модуль сдвнга р (нлн б). 6.5. В общем случае и* можно представить квадратичной формой и* = С„',е е и коэффициенты С м которой не обязательно симметричны. Доказать, что это выражение можно записать в виде (6.!4) и что ди*/дек =- оь;. Преобразуем квадратичную форму следующим образом: '/ Скмек'м + '/, Скмекем = '/э Скмекем + '/э Сллвлвр- Ф = ~/э(Скм+Сэ®к)вке =~/эС е в где Скм = Смк.
Теперь вычнслнм прояэводну!о две/дья. оя/сел '/ Скм(эклем+екемя) ='/ Скм(бклем+'кбмл)= = т/, (Слмеэ! + Склек) = Симам = ал 6.6. Доказать, что для ортотроппой упругой среды (с тремя ортогональпыми плоскостями упругое симметрии) матрица упругих констант имеет внд (6.19). Пусть плоскость хтхэ (нлн, что то же саэюе, х!хэ) является плоскостью упругой сныметРнн (Рнс. 6.4). тогда ак — — с~ э!~э! н одновРеменно а = скэ!гм. Гз.
а. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТ11 216 Матрица преобразования осей х! е оси х будет р! 0 01 [а
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
