1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для объема $~ сплошной среды можно написать уравнение момента количества движения в интегральной форме: ) еплх;(л д5+ ) еилх;рдлА' = — „~ еилх;ровду, пли (5.19) ~ (х Х 1 ) дЗ + ~ (х Х рЬ) др = — „~ (х Х рч) ейl. Уравнение (5.19) справедливо для таких сред, в которых силы взаимодействия частиц равны по величине, коллинеарны и противоположны по направлению, а распределенные моменты отсутствукп. Уравнение момента количества движения не всегда представляет собой новое дифференциальное уравнение. Если в (5.19) подставить Гл"' = о„„п„ н предположить симметрию тензора напряжений, то уравнейие будет удовлетворено тождественно прп учете только Гл, Х ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЪ| МЕХАНИХИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ соотношения (5.16).
Если же симметрия тензора напряжений не предполагается заранее, то она получается как прямое следствие уравнения (5.19), которое после подстановки (А" = алллл сводит|л| ся к виду ') еичо,фУ = О, 1' В силу произвольности объема е;;АОМ = О, откуда видно, что о; = ое;. (5.20) или У это ведет к равенствам или Х„= О, (5.2!) 5.4. Сохранение энергии. Первый закон термодинамики.
Уравнение энергии Если изучаются только механические величины, то эакок сохранения механической энергии для объема сплошной среды можно вывести непосредственно из уравнения движения (5.16). Чтобы сделать это, нужно сначала (5.16) скалярно умножить на вектор скорости о„ а затем результат проинтегрировать по объему У.
Таким образом, )е ро|О,Л' = ~ о|О;с|йУ+ )е ро;ЬфУ. (5.22) |' Интеграл Ро|ОФ'= ~~ 1Р ~ аУ = ~~ ~ ~ с(У = ~ (5.23) представляет скорость изменения со временем кинетической энергии К объема У сплошной среды. Заметим, что о,о;|,; = (о|ни) |— — ш,а|| и, согласно (4.19), ос| —— - 0и + Уи, если еще учесть, что Уоои = О, то уравнение (5.22) можно записать в виде — + ~)9уо|,-НУ = ~(о|пи)вА'+ ~ро,-б;й~. (5.24) У' Наконец, преобразуя (по теореме Гаусса — Остроградского) первый интеграл в правой части (5.24) в интеграл по поверхности и используя тождество (1"' = оип;, получаем уравнение механической энергии для сплошной среды — + ~ ОЧО;;дУ= ) о;Гы'|(5+ ~рбос(У. (5 25) у э У Оно устанавливает связь между скоростью изменения полной механической энергии континуума, стоящей слева, и мощностью зл сохРАнснне ев!еРпн!.
пеРВып злкон теРмолннлмпкп !85 (работой за единицу времени) поверхностных и массовых сил, которая стоит в правой части уравнения. Интеграл в левой части называется скоростью изменения внутренней механической энергии (эта величина со знаком минус называется также работой внутренних поверхностных сил в единицу времени). Тогда (5.25) можно записать короче: — + — = —. ВК ЕР 6!Р л! !и в! (5. 26) где — бр)й( и б кг!й( — соответственно мощность внутренних н внешних спл, а символ б указывает, что соответствующее прнращенпе в общел! случае не является точным дифференциалом какой-либо функции. Если, кроме механической, следует учитывать н другие виды энергии, то закон сохранения энергии должен использоваться в самой общей своей форме. В такой форме этот закон утверждает, что скорость изменения со временем кинетической плюс внутренней энергии равна сумме механической работы внешних сил, совершаемосс в единицу времени, и притока прочих видов энергии за единицу врез!ени.
Приток энергии может включать в себя а!еилову!о, лимическую, электромагнитную энергию и т. д. В дальнейшем будем рассматривать только механическую и тепловую энергии, а уравнением энергии будет знаменитый первый закон термодинамики. Для термомеханического континуума скорость изменения внутренней энергии У обычно представляют интегралом (5.27) где и называют удельной внутренней энергией. (Символ и для удельной внутренней энергии столь прочно установился в литературе, что и мы будем пользоваться им в уравнении энергии этой главы; вероятность же того, что он будет спутан с символом абсолютной величины вектора перемещения и„очень мала.) Пусть вектор с! характеризует ноток и!епла через единицу плошади в единицу времени за счет теплопроводносгн, н пусть г — иосиюяннал теплового излучения на единицу массы в единицу времени.
Тогда скорость притока тепла к среде выражается суммой — = — ) с!Н,сй + ) ргй)'. з Закон изменения энергии термомеханического континуума записывается уравнением вк жl баг Ь!г (5.29) гл. а основные законы мехлнпкп сплош!юй сРеды нлн (прн представлении всех величин интегралами) — ( р — '' йУ+ ~ рййУ = в! 1 2 = ~!!ыо!сЬЭ+ ~ро!Ь,.йр-)-~ргйр — ~с!п,.йЭ. (5.30) й ч — г э Преобразуя здесь интегралы по поверхности в интегралы по объему (теорсма Гаусса — Остроградского) н снова используя произвольность объема 1', приходнм к локальной форме уравнения энергнн: + и~ = — (ос!о!),;+Ьр! — — с!!+г, или (5.31) в е! ви 1 1 — — + — =- — Х: 0 — — Ч ° с + Ь ° ч -1- г + ч ° Ч„° Х.
!П 2 !а р ', р Внутри произвольного малого элемента объема, для которого справедливо локальное уравнение энергии (5.31), должно также быть выполнено и уравнение количества движения (5.!6). Возьмем скалярное произведенне уравнения (5.16) н вектора скорости: рор! = о!од; + ро,Ь„проделаем с ннм некоторые простые преобразования, а затем вычтем его нз (5.31). В результате получим более короткую, но крайне цолезн)!о форму заппси локального уравнения эперпш ви ! ! = — ос!ь!! — — с!,! + г.
в! р ! р (5.32) Вто уравнение утверждает, что скорость изменения внугаренней энергии равна сумме мо!цносви напряжений плк!с прилюк липла к среде. 6.6. Уравнения состояния. Энтропня. Второй закон термодннамнкн Задать сося!ояние термодннамической системы (в нашем случае контннуума) это значит полностью охарактеризовать систему. Это оппсание в обшеи случае определяется несколькнмн термогншамическимп н кинематнческпмн величинами, которые называются параметрами соснюянпя.
Если параметры состояния изменяются со временем, то пронсходит терлодиналн!ческий процесс. Параметры состояния, используемые для характеристики данной системы, обычно пе все независимы: между ними сушествуют функциональные связи, которые выражаются так называемыми уравнениями сссаюяния. Любой параметр состояния, который можно представить однозначной функцией других параметров состояния, называется функцией состояни ч.
аь. нагьввггсзво клкгзггиск — дгогвмл. дпссиплтнвнля гьункцггя гаг Как было установлено в предыдущем параграфе, первый закон термодинами <гг постулирует взаимный переход механической и тепловой энергии одной в другую. Соотношение, выражающее переход тепла и работы в кинетическую и внутреннюю энергии во вреня термодннамического процесса, заключено в уравнении энергии. Однако первый закон оставляет без ответа вопрос, является ли этот переход обратимьмг или необратимым. Все реальные процессы необратимы, но обратимые процессы представляют очень полезную идеализацию, так как во многих ситуациях диссипацию энергии можно считать пренебрежимо малой. Основной критерий необратимости содержится во етороя законе термодинамики, который устанавливает некоторые ограничения на производство энтропии.
Второй закон термодинамики постулирует существование двух различных фушгцпй состояния — абсолютной лгемпералгцры Т и эншропии Я, свойства которых будут указаны ниже. Абсолютная температура Т вЂ” положительная величина, которая является функцией только эмпирической температуры 6. Считаем, что энтропия обладает свойством аддитггвггости, т. е. что полная энтропия системы равна сумме энтропий ее частей. В механике сплошной среды вводят удельную энт)гопию (на единицу массы), или >глотмосгль энлгропии э, так что полная энтропия Я равна интегралу ) рЫ'г'. Энтропия системы может меняться либо из-за взаимодействия с окружающей средой, либо за счет изменений, которые происходят внутри самой системы; поэтому можно написать гЬ вЂ” ьЬ + г(э (5.33) где гЬ вЂ” приращение удельной энтропии, сЬ ' — пряращение, вызванное взаимодействием с внешней средой, а ггэ' — внутреннее изменение.
Приращение ггл'о никогда не бывает отрицательяым. Оно равно нулю при обратимых процессах и положительно при необратимых. Таким образом, гЬгв)0 (при необратимых процессах), (5.34) сЬггг = 0 (при обратимых процессах). (5.35) Если прн обратимом процессе обозначить приток тепла на единицу массы системы через ггг)гл>, то изменение г(з'~ выразится формулой ггэ<ч = г)цгц!Т (прн обратимых процессах).
(5.36) 5.6. Неравенство Клаузиуса — Дюгема. Диссипативная функция Согласно второму закону термодннамкки, скорость изменения полной энтропии 5 сплошной среды, занимающей объем )г, никогда не может быть меньше. чем с)ылга притока энтропии через границу 188 Гл. З. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАННКР! СПЛОШНОЙ СРЕДЫ объема и энтропии, производимой внутри объема внешними исгочникал(и. Математически этот закон изменения энтропии выражается в интегральной форме в виде неравенства Клаузиуса — Дюгежа (5.37) ((5 ! ( С( У = — — — е — — ~~ — 7),з.О.
и р(,т!( (5.38) Это нераеенство должно удовлетворяться при каждом процессе и при любом выборе параметров состояния. По этой причине оно играет важную роль, накладывая известные ограничения на так называемые определяющие уравнения, которые будут обсуждаться в следующем параграфе. В механике сплошной среды часто предполагают (основываясь на статистической механике необратимых процессов), что тензор напряжений можно разложить на две части: а(/=о() +01-?» (С) (О) (5.39) где о» вЂ” тепзор консервативных напряжении, а и» вЂ” тензор (с) (О) диссипативных напряжений. Прн этом предположений уравнение энергии (5.32) можно переписать с учетом (4.25) в виде -о)- = — и» е(, + — а() е(;-1-— ((и ! (С) ' 1 (О)' пв (5.40) В этом уравнении (1/р) и(; 'еи представляет собой скорость диссипации энергии в единице массы напряжениями '), а (((7?(11 — скорость притока тепла к среде на единицу массы. Если в среде проис- !) Так поступают, например, при изучении движения вязкой.жалкости, жида напряжения представляют в аиде суммы давления и ваших напрюкеиий.
В теории пластичности, наоборот. раскладьажют деформации на «обратимые» упругие е(е) и «необратимые» пластические з(~) и скорость диссипации энергии представляют в виде !1?р)о»е)г!)! см., например! Седов Л. И., Механика сплошной среды, т. 11, гл. Х, $3, «Наука», пзд. 2, М., !9?3.— Прим. Э«д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
