1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 38
Текст из файла (страница 38)
6.36. Получить выражение плотности энергии деформации и' для ортотропной упругой среды. Испольэовать при этом формулы (6.14) и (6.19). Ответ: й = (Сне|+ 2С зее+ 2С,аез) е,/2 + (Сз,е, + 2Се,ее) ее/2+ + Сз,ез + С,ееч+ Сезеэ + Свеев 2 2 2 2 6.37. Определить вид функции плотности энергии деформации для случаев: з) плоского напряженного состояния, б) плоеной деформации. О|наели а) и" (аз||+ аггг — 2ъамаез+ 2 (! + ч) аг(21!2е; б) й = (1! + )е!2) (е„+ еггг) + Ле(еем + 2Ре>2. 6 дж. Мезе 226 Га.
а. ЛИЯЕЙБАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 6.33. Найти с(= сопз!), пРи иотоРом фУнкции иг = А з!п — (хг ц сО, 2х~ ! и = и О служат решением уравнения (6.35) при отсутствии массовых сил. Ответ; с = ~ь(Х+ 2р)/р. 6.39. Доказать, что для нзотропной линейно упругой среды плотность энергии искаженна формы равна и!и —— (пг/ог/ — оп о. /3)/46, а плотность знергии расширения равна и !л! = огФ///!Зк 6.40. Доказать, что 1/[1 + ч) = 2 (Х + р)//ЗХ + 2р) и ч/(1 — ч) = и/(Х+ 2р), 6.4!.
Доказать, что для плоской деформации, параллельной плоскости «газ, компонента массовой силы Ьз т О, а компоненты Ьг и Ьз являются функциями тельно хг и «з. хгт — Зх! — 2«гхз О 2 — 2х,хз х! + хз О 2 О О 2ч(з,- зз) Ответ! аг' 24 / 6.44. Найти деформрции, вызванные напряжениями задачи 6.43, и доказать, что уравнение совместности (6.44) удовлетворяется. Олметг «1 — З«2 2ч (а1 хзз) — 2х О в,/ = 24 !1 — + /1 - 2«,«, хз -(- хз — 2ч (хз — ф О /1+ч ! О О О 6.46.
Для упругого тела, имеюгцего ось симметрии порядка й/= 6, доказзтгь что См = См. Сзь = Сщ, Сзз = 2 (См — Сгз), а из остальных упругик констант отличны от нуля только Сгз и Сзз. 6.46. Доказатгь что в упругой среде при потенциальных массовых силах рбо — — !!/ г)~-фа уравнение совместности (6.44) имеет вид Т/зо = ~ ~аф/(1 — ч) в случае плоской деформации или т/то = (1 + ч)~аф в случае плоского напряженного состояния.
6.47. Пусть 24рг = О. Доказать, что функции иг = 2 (1 — ч) !/зг!Ю вЂ” Р//г/б будут решением уравнений Навье (6.31), если Ь! т О (см. задачу 6.12), Найти компоненты напРЯжений, когда Р =В(«зег — хгез)/г, где гз хгхь Отзетг пы = — аз, ОГ)Сг«,хз/гь, пзз — — О, а,з —— ЗОО(хзз — «з!)/гь, паз и„- ЗОО«,«,Ь, где О = 4В(1 — ч)/О. ЕА2. Используя правило преобразования напряжений и деформаций, доказать, что упругие константы Сгь явлнюгся компонентамн декартова теизора четвертого ранга, тан что С, = Пза/зпь,аг,С 6.43.
доказать, что функция напряжений Эри ф = 2«! -(- 12«зхз — 6«" удовлетворяет бигармоническому уравнению Чзгр = О, и найти компоненты напряжений, считая деформацию плоской. дополнитильнык задачи 227 6А8. Функция напряжений Эри задана в полярных координатах: Ф = 68— =Сгз(сгв20 — созйа), где С и а — постоянные.
Найти величину С, если о =О, о,а —— т при 0 =сг и оез — — О, о,е = — т прн 0= — а. Олмеглг С = т/(2 з)п 2сг). 6.49. Доказать что в задачах термоупрутосги прн плоской деформации озз = т (огх + о ) — гхЕ (Т вЂ” Тгз и о 6 — — Ю ре +2реор — бор(Од+ 2р) гг(Т вЂ” Тгя. а при плоском напряженном состоянии езз —— т (оп+ огз)/Е + а(Т вЂ” Т,) и е 6 —— (1+я) а р/Š— тй„ро /Е+ Ь~р(Т вЂ” Тз)о. 6.ж). Доказать, что в термоупругосги уравнение совместности (6.44) можно записать через функцию напряжений Эри ф = ф (хм хз) в случае плоской деформации в виде сузф= — сне~/з(т — ть)1() — т), а в случае плоского напряженного состояния — в виде ь/4р = — аЕчз (Т вЂ” Тз). Глава 7 Жидкости 7.1. Давление жидкости.
Теизор вязких напряжений. Баротропное течение В любой жидкости ') в состоянии покоя вектор напряжения е) на произвольном 'элементе поверхности коллинеарен нормали и к поверхности и одинаков по величине для всех направлений в данной точке. Таким образом, = ае;и; = — р,н), или» = Х и = — роп.
(7.1) го) )о) Здесь р,— величина напряжения, или гидростатическое давление. Отрицательный знак указывает на сжимающее действие напряжения при положительном значении давления. Каждое направление является главным, и нз (7.1) следует, что аег — — — Робев илн Х = — Ро!. (7.2) Это сферическое напряженное состояние, часто называемое гидростатическим сжатием. Из (7.2) видно, что касательные компоненты напряжения равны нулю в покоящейся жидкости. При движении компоненты касательных напряжений в общем случае не равны нулю„ и обычно в этом случае тензор напряжений представляют суммой двух слагаемых гге = — рбг + ти, или Х = — р1 + Г, (7.3) прн этом ти называют тензоролг вязких напряжен)ей, а р — давлением.
Все реальные жидкости — сжимаемые и вязкие. Однако эти свойства очень различны у разных жидкостей, и часто бывает возможно пренебречь этими эффектами в некоторых ситуациях без существенной потери точности в расчетах, основанных на таких предположениях. Согласно этому, невязкая, или так называемая идеальная, жидкость — это такая жидкость, в которой те) тождественно равны нулю, даже если происходит движение. Напротив, вязкие жидкости — это такие, для которых нужно учитывать тп. Для сжимаемых жидкостей давление р по существу то же самое, что н в классической термодинамике. Согласно (7.3), среднее ») Понятие «жндносгь» в эгон тексте включает в себя нан истинные н«ндносгн, так и газы.— При»ь нерее. Ез. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ 229 нормальное напряжение дается формулой /зон = — р+ /зтн нли /зВ = — р+ /зГ (7"4) Для покоящихся жидкостей т» обращается в нуль, а р сводится к рз, которое в этом случае равно взятому с обратным знаком среднему нормальному напряжению.
Для несжимаемых жидкостей термодипамическое давление независимо от механических условий не определяется, и для таких жидкостей р нужно рассматривать как самостоятельную неизвестную механической природы. В сжимаемых жидкостях давление р, плотность р и абсолютная температура Т связаны уравнением состояния р=р(р, Т). (7.5) Примером такого уравнения состояния может служить известный закон совершенного газа р = р~Т, (7.6) где /7 — газовая постоянная.
Процессы в жидкости, подчиняющиеся уравнению состояния, которое не содержит температуры, т. е. имеет вид р = р (р), называются баротроннвьяи. Изатермический процесс в совершенном газе — пример частного случая, в котором выполняется предположение баротропии. 7.2. Определяющие уравнения. Стоксовы жидкости. Ньютоновы жидкости Наличие в жидкости вязких напряжений связано с диссипацией энергии. Прн установлении определяющих соотношений для жидкостей в общем случае считают, что тензор вязких напряжений тп является функцией тензора скоростей деформации О».
Если эта функциональная связь нелинейна, что символически можно выразить формулой тц = /п(О, ), или Г = $(0), (7. 7) то жидкость называется стокеавой. Если эта функция лпнейиа, т. е. имеет вид тц КпрзОт илп Г К 0 (7.8) где константы Кцзз называются коэффициентанв вязкости, то жидкость называется ньютоновой. Некоторые авторы классифицируют жидкости просто как ньютоновы и неньютоновы.
Определяющие уравнения для нзотропной однородной ньютоновой жидкости можно получить из (7.7) и (7.3), следуя точно такой же процедуре, которая была проделана с обобщенным законом Гука для упругих сред в гл. 6. Окончательная их форма такова: оц = — рбц + ХАЬИОАА + 2р'Оц, или (7.9) Х = — р! + Х*! ((г 0) + 2р О, г . т. жидкости где Ле и ре — коэффипиенты вязкости жидкости. Из (7.9) можно найти среднее нормальное напряжение т/,ои = — р + '/э (ЗЛе + 2)!е) Ри = — р + хеРи, или (7.12) $ -1- '/,! (1г Х) = — р! + ! (Л*+ '/ерэ) (1г О) + 2ух"0'.
Учитывая соотношения (7.10), уравнения (7.12) можно записать в виде двух Групп уравнений: зс/ = 2рЧ)ц, или $ = 29*0', (7.13) ои = — Зр+ Зх*Ри, или 1г Х = — Зр + Зх*((г О); (7.14) первая из них относится к эффектам сдвига, а вторая даетсоотношение для изменения объема. 7.3. Основные уравнения ньюгоновой жидкости. Уравнения Навье — Стокса — Дюгема При постановке задач о движении ньютоновой жидкости (или газа) основными уравнениями в эйлеровой форме будут следующие: а) уравнение неразрывности (5.3) р+ рос! = О, илн р+р(Ч„ч) = 0; (7.15) б) уравнения движения (5.16) от!+ рЬ| = ро!, или Ч, ° Х+рЬ = рч; (7.!6) в) уравнение энергии (5.32) ! 1 й = — осРц — сги+г — 7 и ' з или и = — Х:Π— — Ч, ° с+г; ! ! р р (7.17) или (7.10) т/, (1г Х) = — р + '/~ (ЗЛ*+ 2р*) (1г О) = — р + х*((г О), где хэ = '/, (ЗЛ* + 2р*) называется коэффициентом объемной вязкости.
Условие хэ =Л*+ ~/,р*= О, (7.11) известное как условие Стокса, утверждает„что давление р определяется как среднее нормальное напряжение в покоящейся сжимаемой жидкости. В таком случае термодинамическое давление определено через механические напряжения. Используя компоненты девиаторов зи = оу — бцоеэ/3 и Р!! = Рн — БнРее/3, приведенные выше уравнения (7.9) можно переписать следующим образом: си + '/ебцоы = — рбц + бц (Л*+ т/ ре) Ри + 2р'Р,ь ГД. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ СТОКСА ДЮГЕМА г) определяющие уравнения (7.9) оп = — рбн + Р'Ь<;0АА + 2рА):)Н, или (7.18) Х = — р! + ЛА1(!г 0) + 29*0; д) уравнение состояния (7.5) р= р(р, т).
(7. 19) Если учитываются тепловые эффекты, что очень часто бывает необходимо в задачах о движении жидкости, то требуются дополнительные уравнения, а именно: е) закон теплопроводности Фурье (6.7Ц с, = — ЬТ,Н или с = — ЕЧТ; (7.20) ж) калорическое уравнение состояния и = и (р, Т). (7.21) Система уравнений (7.15) — (7.21) содержит шестнадцать уравнений с шестнадцатью неизвестными и поэтому является замкнутой.
Если определяющие соотношения (7.18) подставить в уравнения движения (7.16) и воспользоваться определением 2ОН = (ош + + пгх), то получатся так называемые уравнения двиясения Оавье— Стокса — Дгогемаг рог = рЬ,. — р, + (Л* + р*) оГ д + 1ААц Н, (7.22) или рч = рЬ вЂ” Ч р + (Л* + р*) Ч (Ч ч) + р*Ч 1ч. Для несжимаемой жидкости (ог г = О) уравнения (7.22) сводятся к уравнениям Оавье — Стокса: рог = рЬ, — рз+ рАосн, или рч = рЬ вЂ” Чр + и"Ч'ч. (7.23) Если выполнено условие Стокса (Л' = — А/Ар*), то для такой сжимаемой среды из (7.22) получаются уравнения Навье — Стокса в форме РО,=РЬ.— Р, +'lаРЬА~+Н*осу, (7.24) или рч = рЬ вЂ” Чр + 1)Ар*Ч 07 ч) + р*Ч Ач.
Уравнения Навье — Стокса (7.23) вместе с уравнением нер зрывности (7.15) образуют полную систему четырех уравиений с четырьмя неизвестными: давлением р и тремя компонентами скорости вн В каждой конкретной задаче решение этой системы должно еще удовлетворять граничным и начальным условиям, наложенным на напряжения и компоненты скорости. В вязкой жидкости в качестве граничных условий на неподвижной непроницаемой 232 г . х жидкости поверхности принимается требование обращения в нуль нормальной и касательной компонент скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
