1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Если течение в дальнейшем можно предполагать таким, как в случае плоской деформации, то получающееся поле скоростей можно изучать, пользуясь гпеорией линий скольжения. Пусть х,х, — плоскость течения; тогда 262 Гл. И. ТЕОРИЯ ПЛАСП1ЧНОСТИ Положение главных направлений тензора напряжений относительно осей х,х, показано на рис. 8.8, где 1д 20 = 2О111(о„— а„).
Иаправлення площадок максимальных касательных напряжений (см. 4 2.11) образуют углы в 45 с главиымн осями тензора напряжений. На рис. 8.8 соответствующие направления помечены Х буквами а и (). Из этого построения видно, что 0 =п)4 + ср и, следовательно, 1н 2ср = — с(д 20. (8.40) Для данного поля напряжений при пластическом течении можно Рис. 8.8. ввести в рассмотрение два семейства кривых, в каждой точке идущих вдоль направлений максимальных касательных напряжений. Эти кривые называются линиями сдвиап или линилл1н скольжения (в дальнейшем мы будем называть их также сс-линиями и р-линиями). Рассматривая малый элемент, ограниченный двумя парами линий скольжения и изображенный на рис.
8,9, получим пм —— — р — й з(п 21р, пм = — Р + й з( п 21Р, О1, — — ЙСОЗ 2ср. (8.47) Используя уравнения равновесия, можно показать, что р + 2Ьр = С1 р — 2йср = С, постоянно вдоль сс-линии, постоянно вдоль р-линии. Что касается компонент скорости, то рис. 8.10 показывает, как они связаны с положением а- и р-линн1п о, = в„соз <р — о1з(п ср, си = ои з(п ср + оа соз ср. (8.49) При предполагае11ых условиях плоской деформации имеем сати = О. тогда из 1рзвнений прандтля — Рейеса (8.21) для напряжения о,и получим формулу ом = '!и(оп + ом).
(8 44) Используя обычные обозначения теории линий скольжения низ = — р и '1 (о,1 — ом)и/4+ (О11)' = л, находим главные значения тензора напряжений (8 41): оп1 = — р+ й, пм> = — р — я, о<з1 = — р. (8.45) зада'и! с вешаниями Для изотропной среды в теориях течения главные оси тензоров напрюкений и скоростей пластической деформации совпадают. Г!оэтому если х, и х, — направления линий скольжения, то вг, и е в 1 Рис.
8.!О. Рис. 8.9. равны нулю вдоль этих линий, так что — (о сов гр — оэайп гр)~ = О, д (8.50) дкт о=в д (оаэи! гр+ р! сов гр)) = О. д (8.5() Отсюда получаются соотношения г(р! — оаг(гр = О на а-линии, (8.52) с(оа + огг(гр = О на ()-линии. (8.53) Итак, для статически определимых задач поле линий скольжения находится из (8.48); затем, используя это поле и соотношения (8.52) и (8.53), можно построить поле скоростей. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Основные понятия. Явление текучести (й 8.1 — 8.4) 8.1. Используя определения (8.)) и (8.2), получить соотношение между логарифмической и технической деформацией.
Как связаны приращения этих величин? Согласно (8.1), ! 1~ =в+ 1; тогда (8.2) дает е = 1п (е+ 1). Днфферениирув ато равенство, находим де/де = 1/(е+ 1) = 1. !Е вследствие гаго, что дс = = (де = (еде. 8.2. При нагрузке Р в одномерном испытании образца истинное напряжение о = Р!А, в то время как техническое принимается в виде 5 = РгА„где А, — начальная площадь сечения, а А— текущая ее величина. Иайти условие максимума нагрузки при пластическом деформироваиии с сохранением объев!а (Ав(.в = АЦ, Гл.з. теОРия пллстичцост1! В нашем случае 8 = Р/А„ = (Р/А) (А/А,) о (1.,/Е) о/(1 + е) н участок максимальной нагрузнн на о-е диаграмме йаходнтся там, где наклон ее равен нулю (гБ/0е О). Дифференцирование дает оэ/бе = (оо/бе — о)/(! + е)з.
Это выражение равно нулю. если оо/бв о. Используя результат задачи 8.1, последнее условие можно записать в виде йт/аа = о/ (1 + е). 8.3. В качестве меры влияния промежуточного главного напряжения на пластическое состояние часто используют параметр Лоде )г = (йац — о! — огц) /(о! — о!ц). Доказать, что параметр Лоде можно выразить через главные значения девиатора напряжений формулой )г = Ззгг/ (м — з!ц). Согласно (2.71). о = а, + ом и т. д., причем о = огг/3. Тогда р = [2 (зц + ом) (зг + г'м) (знц + омИ/1(з! + ом) (згц + ом)1 = = (жг! — (3! + 3! ! + 5ц!)]/(Б! — 3!г!).
Но а! + зц + з!ц = 1 == О, и, следовательно, Р = агц/(з — з, ). о 8А. Для напряженного состоявия оц = о, о„= о',з = О, ом =* = т, о,з — — огз —— О, которое возникает при испытании на растяжение — кручение тонкостенной трубы, получить кривые текучести в плоскости о-т в соответст- 0,57 ю,в ь 1,О о/ог Рис. 8.12. Рис. 8.1!. вин с критериями Треска н Мизеса, если предел текучести при простом растяжении равен ог. В данно иапряженнои состоянии главные значения напряжений равны о! = (о+ )/4та + оз)/2. оц = О, оги = (о — р' 4тз + оа)/2, нан показываетдиагралгма Мора на рис.
8.1!. Таким образом, по формуле (8.8) найдем кривую текучести Треска 1'4тт+ о' = о, илн оз+ 4т' от,. Это эллипс в о-т плоскости. Аналогично формула (8.12) дает кривую текучести Мизеса в виде эллипса оз+ + Зтз = оэ. Эллипсы текучести Мизеса и Тресна для этого случая сравниваютсв на рис. 8.12. 8.5. Преобразовать условие пластичности Мизеса (8.10) к форме (8.! 1), т. е. записать его через главные напряжения.
задачи с пншпниями Па формуле (2.72) — П = — (з,зц + зцзьч+ з!цз!), а, согласно (2.71). ар а = о! — ом и т. д., причем о ! — — (о!+ оц+ о!ц)/3. Отсюда — 11 = — (о оц -1- оцо ц + о, о ) -1- (о! -1- о,! -)- о! ц)з/3 =2(оз-1-оз -1-о ц — о о, — о о ц — о о )/6. Такам обРазом, (о, — оц)а -1- (о!, — оц!)з+ (оц, — о )з = 6С!,.
8.6. Пусть ортогональная система координат ОХИ ориентирована так, что плоскость Х У совпадает с П-плоскостью, а ось оц! лежит в плоскости г'02 (см. рис. 8.18 и 8.4). Доказать, что поверхность текучести Мизеса пересекает П-плоскосгь по окружности Мизеса (рис. 8.5, б). Таблица казффициентав преобразования одной системы осей в другую находится без труда и имеет следующий вид: агассвМ/Т) о оц, агс сов У ~ — 1 '1 6 ~ — ! '1~ 6 ~ 2 )' 6 Е ~ !/Т' 3 ~ 1')' 3 )1'Р 3 и .ЗЛЗ Отскща следует, чта о = — Х/Р'2 — У/$' 6+2')/3, о ! — — ХД' 2 — У/)' 6+2/)/ 3, о 1, 2У/Рг 6+ 2 1/ 3. Тогда формула (6.12) сводится к уравнению ( — )Г2Х)з+(ХЛ/2 — ЗУ/Уб)з+(Х/)/2+ 31/~ 6)а=2 ',, которое восле упрощения приводит к окружности Мизеса ЗХз+ 31'з = 2оз, изображенной на рис.
8.5, б. 8.7. Используя преобразование координат задачи 8.6, доказать, что уравнение (8.14) о! + оц + огц = О является уравнением П-плоскости. Подставляя в уравнение (6. !4) выражении для о1, о, оц1, найденные в задаче 86. получаем о,+о,!+о,ц — — )/ 32 О, или У=О, а ага и есть плоскость Хг" (П-плоскость). 8.8. Для двуосного напряженного состояния, когда оц = О, найти поверхности текучести Мизеса и Треска и сравнить их„ пользуясь диаграммой в плоскости от/ог, оги/ог. Гл. З. ТЕОРИЯ ПдйСТИЧНОСТЦ Прн о, = О критерий Мизеса (8.12) запнсывается уравненнел1 2 Оа< — О<Оп, + Оц, —— ОЗ, >к наторев представляет вллнпс (о о„р — (о оц,/оз)+ о< /ок 8.9. В 2 8.3 критерий Мизеса назван теорией энергии искажения форь<ы.
Доказать, что если энергию искажения формы на едивипу объема и,'р, положить равной постоянной текучести Сг, то в результате получится критерий Миаеса в форме (8.!2). В задаче б.26 было найдено выражение и<о, зерен главные напряжения: и<п> —— ((о< — о )е + (оа — о )а + (оз о<)е)/126 Пря одноосном растяжении нлн сжатии, когда о, = ою о, оз О, нз атой формулы следует, что й<р> —— о- /бб. Тогда С, = ог /бб н, как н прежде, крнтернй Мнзеса выражается равенством (8.12). Пластические деформации.
Упрочненне (9 8.4 — 8.8) 8.10. Доказать, что уравнения Прандтля — Рейеса (8.21) содержат в себе утверждение, что главные оси тензора приращений пластической деформации совпадают с главными осями тензора напряжений. Записать эти уравнения через главные напряжения. Из формулы (8.2!) видно. что в системе координат, в которой равны нулю насательные напряженна, отсутствуют танже н прнрашення пластической деформапкя сдвига. В системе главных осей уравненне (8.21) прнннмает внд «ел</з< = = «ен/зц — оец<'зщ — — Н.. Таким образом, 8е< — — (о< — о;и) «Х, Фец = (о — оз<) «).
н т. д. Последовательным вычнтанпсм находим </е< — и'е« о — оц </ец — <<ец> оец« — (е< и -Ю оц — оц< оц, — о, + (оц</о,)а = 1 с осанн под )слом 45" н указанным ксюрдннатным направлепням (а</о, Рнс. 8.14. оц</о,). Апалогнчно нрнтернй Трес ка, т. е. формула (8.8), вместе с равенствами оц< — о< — — о>„оц — о< — — о, прнволнт к шестиугольнику Треска, образованному (ркс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
