1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В данном случае касательное напряжение пм распределено следующим образом: и„= Ыа при О < г <; а н и„= Ь при а ч:, г ~ с, где й — предел тенучестн материала при чистом сдвиге. Тогда а с Т = 2п ~ (йгз(а) бг + 2п ~ йгзй — я а— (сз — аз)4). 2пй о а Таким образом, нрутящий момент, характеризукиций самое начало появления пластической зоны (а = с), равен Т, = пйсз/2. Вал полностью ваходится в пластическом состояния (а = О) прн Т, = 2пйсз/3 = 4Тгуз. 8.28. Толстая сферическая оболочка, размеры которой указаны па рис. 8.!8, находится под действнем растущего давления р,.
Используя критерий )у(нзеса, .найти то давление, прн котором впервые появится пластическое состояние. Из-за симметрии действующей нагрузни главные напряжения являются компонентами в сферических ноордннатах и!вз> = и = о! п~!, п(„ — — пш. Тогда критерий Мизеса (8.12) вы- Рнс 8.18. глядит так: и!яв! — и!оч —— и,. Можно показать, что компоненты йапряжения в упругом состоянии представляются выражеинямн и „, = — рв (Ьз!гз — 1),'(Ьз/аз — 1) а!ое) = и! ! Рз(аз!2гз+ 1У(Ьз)оз — 1). Га.
З. ТНОВИЯ ПЛЛСТИЧИОСТИ Поэтому а, 3(лре/(2гэ((л/аа — 1)1, откуда р, 2о~ (1 — аа/ба)/3. Это то давление, при котором впервые появляется пластическое состояние на внутренней границе оболочки (при г а). оы — о о„— о О о„ О вЂ” р — о Раскладывая определитель по третьему столбцу, получаем ( — Р— о) 1(ои — о) (о„— о) — о,г1 = ( — Р— о) (о' — (ом + ор ) о — ог 1 =- О. г Очевидно, корнямн этого уравнения будут о = — р и о ~/г(оп+о ) х ) /4(о! +о э) +о1г Р 'х й г 8.28. Воспользовавшись условием постоянства предела текучести при чистом сдвиге /г, подставить выражения (8.47) в уравнения равновесия и, проинтегрировав, доказать справедливость соотношен ий (8.48) .
Уравнения равновесия доы/дх, + до„/дх, О и до, /дх, + до„/дх, О после подстановки в них выражений (8.47) превращаются в следующие: — др/дх, — й (2 сы 2гр) (др/дх,) + й ( — 2 з! п 2~р) (д~р/дх,) = О, — А (2 ил 2гр) (дгр/дхг) — др/дхз + й (2 соз 2о) (дгр/дх ) = О. Если хг — координата вдоль а-линии, а х, — вдоль ))-линии, то ю О и уравнения равновесия дают — др/дх,— 2А (др/дх,) = О вдоль а-линии и — др/дх -1- + 2й (д~р/дхз) = О вдоль ()-линии.
Эти уравнения сразу интегрируются, в результате чего получаем р+ 2/ар = С, на а-линии и р — 2ьр = Сг ва 1)-линии. 8.29. При штамповке с вытяжкой без трения через квадратную матрицу, приводяШей к уменьшению сечения на пятьдесят процентов, линии скольжения заполняют веерообразную область, которая состоит из радиальных прямых — Р-линий и дуг окружностей— гх-линий (рис.
8.19). Найти компоненты скорости вдоль этих линий В Рис. а. 19. Теория линий скольжения (ф 8.11) 8.27. Проверить, что формула (8.45) действительно дает главные значения тензора напряжений (8.41), если принято условие озз = (ои + ою) /2 (формула (8.44)). Главные значевия тензора напряжений находится из векового уравнения (2.37), которое в нашем случае имеет вид злддчц с Рншениямн скольжения, выраженные через скорость подачи материала (/ н полярные коордннаты г н О. Вдоль прямых й.линий др — О, и по формуле (8.83) находим «(оз О или ~ = сопз1. Поскольку нормальная компонента сиорости вдоль ВС непрерывна, в данной задаче зта константа должна быть равна !/ с«в О, т. е. оз (/соз О.
Вдоль круговых с«-ли««ий «(«р = «(О. и по формуле (8.52) получаем в о, = ) (/ созО «)О = 1/ (а)п О + 1/) 2). -и/« Смешанные задачи 8.30. Доказать, что условие пластичности Мизеса можно запнсать через октаэдрвческое касательное напряжение о„, (см. задачу 2.22) следующим образом: о,„, = р«2 от/3. Оитаэдрическое касательное напряжение через главные напряжения пред. ставляегся формулой (см. задачу 2.22) зо = )/(о! — оц)'+ (оц — оц!)'+ (ош — о!)'.
Следовательно, согласво (8.12), Оо~~„= (а, — оц)'+ (оц — о, !)з + (о! — о!)' = 2оз. 8.31. Доказать, что уравнение (8.13), выражающее критерий Мизеса, можно записать в виде з«т + з«! + з«зц = 2й'. Согласно (2.71), о! — — з«+ох«н т. дл тогда уравнение (8.13) сразу принимает фо му р (5! — зц)з+ (зп — з«ц) + (з«ц — 5!) = 6/«з. Раскрывая скобки и перегруппировывав члены, это можно записать так: з + +~! +~,! — (з -(-з,«+з ц)'/3=2йз.
Но з«+зц+зп, — — ! ее О и тРебУеьюе уравнение получено. 8.32, Прн каком значении )« = (2оц — о! — ош) / (о! — ош) ()« — параметр Лоде) критерии Треска н Мизеса совпадают? Из фора«улы, определяющей величину р, имеем оц — — (о«+оц!)/2+я(о!— — оц!)/2. Если подстав«пь это выражение в критерий Мизеса (8.12), то после некоторых алгебраических преобразований (см.
задачу 8.42) получим о — ош 2о,«')'3+ 1Р. Критерий Треска записыиается уравнением (8.8): о! — а, =- = о,. Очевидно, если р= 1, сбв критерия совпадают. Когда оц —— о«, то р = = 1; этот случай иногда называют нилиндрнческим (осесимметричным) напряженным состоянием.
8.33. Для напряженного состояния о т О а«/ — — т о О О О о Гл.а. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ где о н т — постоянные, найти условия пластичности, соответствуюи(ие критериям Треска и Мизеса. Ле~ко показать, что главными значениями даинага тевзора яапряжений будут о, =о+с, о ~ — — а, ои~ — — о — т Тогда критерий Треска (8.8) о~ — оп, =он привадиг к уравнению 2т=ою критерий же Мизеса (8.12) дает т=он/! 3.
Снова убеждаемся в том, что в обоих критериях фигурирует т и не фигурирует о, т. е. что гндросгатическое давление никоим образом не влияет ни на характеристики пластического состояния, нн на сама наличие такого состояния. 8.34. Доказать, что если уравнения Прандтля — рейеса выполняются, то выполняется и условие несжимаемости материала при пластической дефорз1ации. Записать эти уравнения через и гноеениые напряжения. Из (8.21) видно, что г(вгг = зноЛ = О, так нан зн=1а =— О, и, следова- ао тельна, )гловие несжимаемости бей — — О выполняется. Запишем уравнения Прандтля — Рейеса через номпонснты тензора напршкений; Неру = — (о,.
— бг о„а'3) бЛ. Таким образам, оей — — з/з (о,х — (о„+ о,)/2) г(Л и т. д. для гюрмальных компонент и г(з~з — — а,,бЛ и т. д. для касательных. Р 8.35. Используя критерий Мизеса, доказать, что в 11-плоскости компоненты девиатора напряжений иа кривой текучести равны зг =[ — 2ог соз(0 — и/6))/3, зп =(2огсоз(0+и/6)]/3, зп1 = (2о„з(п О)/3, где 0 = агс(й)'/Х (определеиие Х и 1' дано в задаче 8.6). Радиус окружности текучести Мизеса равен )' 2'3 а,, так чта по определению Х ='$Г2(зо„сазе, 1'=)Г213огз)пО на кривой текучести.
Таблица козффипиентов преобразования асей координат, приведенная в задаче 8.8, вместе с равенствами о~ — — з~ + ом и т. д. позволяет получить уравнения з~ — з г г = — 1 2Х.=- — (2/) 3)огсозО и зг+зп — 2з~п — — — 1 бр= — 2оумпО. з г Известно также и уравнение П-плоскостн а~+хи+зги — — О. Решая совместно ш зти три уравнения. приходим к требуемым формулам, как может убедиться сам читатель. 8.36. Упруго-идеально-пластический несжимаемый материал находится под нагрузкой в услала виях плоской дег)ормации между двумя жесткими пластинами, так что о„= О и е„= О (рис. 8.20).
Используя критерий Мизеса, определить напряжение от, в момент появления пластичности и соответствующую деформацию е», Рис. 8.20. 276 задачи с Решениями Ссютношение, связывающее напряжение с деформапией в упругом состоянии Еем =о,— ч(оп+о,), в данном случае сводится к уравнению ока = том.
Тогда главные напряжения будут равны о! — — О, о ! —— — топ, ош —— — ои. По формуле (8.!2) мы имеем (чо з +(ои (! — ч))'+ ( — о„)з = 2оз, о тсюда находим ои = — ат,/)'! — и — чз (сжатие) на пределе текучести. Аналогично из соотношения Ее, = ои — т (оеь+ о ) мы видим, что на пределе текучести е„= — о !, (1 — та)/Е р' 1 — т — та. 8.37. Балка пряьюугольиого сечения из упруго-идеалыюпластического материала подвергается нагрузке, приводящей к чпс- тому изгибу (рис.
8.21). Нагрузка возрастает до такого значения лг момента, что весь материал балки полностью переходит в пластичеРис. 8.21 ское состояние. Найти остаточное напряжение в балке после того, как мент /И снят. изгибающий мо- Все сечение балки полностью оказывается в пластическом состоянии, когда момент достигает значения М = йс'о, (см, задачу 8.2лз). При таком моменте упругое напряжение в крайних волокнах бьшо бы равно о = Мс// = Зот,/2, где / = 2йсз/3 — л~омеит инеРции сечениЯ балин относительно оси хзс ПоследУю.
щее снятие момента М эквивалентно приложению соответственно распределенных аг Зог/2 о„,/2 Рис. 8.22. а — пластическое напряжение; б — отрицательное упругое напряже- ние; в — остаточное напряжение. отрицательных упругих напряжений, что дает в результате остаточное напряжение. представленное на рис. 8.22. 8.38. Толстостенная цилиндрическая труба, размеры которой указаны на рис. 8.23, находится под действием внутреннего давления /т„; труба закрыта с концов. Найти значение р„, при котором впервые достигается предел текучести. Принять критерии текучести: а) Мизеса, б) Треска. 276 Га.э.
ТЕОРИЯ ПЛЛСТНЧНОСТН гм Рис. 8.24. Компоненты напряжения в цилиндрических координатах (рис. 8.24) будут главными напряжениями. Анализ упругого состояния позволяет показать, что о< — — ре (Ьз/г' — !)/О, о<ее = ро (Ьэ/гэ + 1)г(), о< = ро/О где = (Ьэ/аэ — 1). а) В данном случае критерий Мизеса имеет вид (<'< ! о<во)) + (<г<ое< о< !)з+ (о< 1 — о< ))э = 24 нли Ро~<Л/ге = <;Во~к/3. Предел текучести впервые достигается при г = а и ре = (ок/рг 3) (1 — аз/Ьз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
