1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 51
Текст из файла (страница 51)
При 1=0 о=о[в,19 и, следовательно, С= — Чео1йн Таким образом, о= — 11г ео(2Ч+6/ — Че )//л. Зал1етим, что тот же рез)чюьтат получается при интегрировании уравнения другим способом: 1 !1,) о о 9.10. Непосредственным интегрированием найти закон, связываюц(ий напряжение и деформацию для стандартного линейного твердого тела в процессе релаксации напряжения, если деформация задана законом е = е, [(/ (() [. Запишем соотношение между напряжением и деформацией (ель задачу 9.2) для данного случая в виде о+ (бл+ б ) о/т), = е,б ([6 (/)[+ 0,6, [(/ (О[/Ч ). ЕСЛИ ВаСПОЛЬЭааатЬСя ИНтЕГрИруЮщИМ МНОжвтЕЛЕМ Е/ал+Онг/Чо, та 1 1ж1 ' ~ Л!' =Еаб ~[й(К)[Е1~'+ОИ1/Чол(/'+ " ' О с![0(Р)[о<О~+наг'/воин о Чл Вычисляя интегралы с помощью формул (9.
!8) и (9.23). находим б (б + б,е !а'+ан 1/ч') [0 (Г)[/(6, + 6,). ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Функции ползучести и релаксации. Интегралы наследственности (ф 9.5) 9.11. найти функцию релаксации 1р (1) для трехпараметрической модели, изображенной на рис. 9.18. Соотношение между напряжением н деформацией для уназанной модели таково: а+о/т =(О, +О,) е+ 010,е/Чз. Тогда прн е = еч [У (0] н е = еч [б (1)] с помощью ннтегрнруюшего л1ножнтеля ег/т' можем написать 01 ШГ/"=за(ба+О.,) 1еа/т[8(1)]а + ба т]а о 1 забгбе [ ег /т~ [(/ 9 )] бг ча О Рнс. 9.18. Затем, пользуясь формулами (9.18) н (9.23), находим о е,(0,+бее бь) =. е гр (/). Заметам, чтг этот результат можно получать также, полежав га -ь -ь со в формуле (9.30) для обобщенной модели Максвелла.
9.12. Используя функцию релаксации гр (1) для модели, предложенной в задаче 9.11, найти функцию ползучести по формуле 9.40. Преобразованием Лапласа фуннцнн 1р(1) 01+бее 1/т' будет гр(з) 61/з+ О,/(з+ 1/тз) (см. любую таблицу преобразованнй Лапласа). Тогда по «юрмуле 9.40 находам ф (а) = (з+ 1/т /[О з (а+ 1/тд + б,зч] = 1/(б,з) — [6~01 (О, + 6,)У(з+ 01/(01+ 6,) т,). Пользуясь таблицей преобразований Лапласа, летно обратить зто выраженно н получить ф = 1/6, — [6,/61 (01+ О,)] е '~/1 '+и'1 т'. данный результат ыожно проверить интегрированием соотношення между напряженнем н деформацней для указанной модели прн заноне нагруження, таком, нак в опытах на ползучесть. 9.18.
К материалу Кельвина приложено напряжение, которое линейно растет со временем, а затем долгое время сохраняет поп стоянн ую величину ат (рис. 9.19). Вычислить вызванную им дефорсь мацию, полагая при этом л! О /11=). 1 ! Закон изменения напряжения г, ыожно записать тан1 Рнс. 9.19. о=и[0(1)] — Д(! — 1,) [0(! — 1,!]. Гл. З. ЛИНЕЙНАЯ ВЯЗКОУПРУГОСТЬ Подставляя его в уравненне (9.4), получаем ( ее(/( = — ~Г! 1'е( /т [(/ (!')] ((1' — ~ (!' — ! ) е( /( [(/ ф — !()] (и'~ Ч Щ Интегрируя с помощью (9.18). находим в (Х/6) [((+ т (е (/' — 1)) [1/ (()! — ((( — 1() + т (ея' ™ — 1)) [(/(( — (()Ц.
Прн 1 -г со зто выражение сводятся к виду е а!(/С о(/6. 9.14. Воспользовавшись интегралом ползучести (9.34) и функцией ползучести для модели Кельвина, проверить результат задачи 9.13. Для модели Кельвнна ф (6 (1 — е (/т)/6 н форыула (9.34) прнводнт к вы раженню е (() = Г! [[(/ ((')[ + ( [8 (1')] — [(/ (( - (,)]— ," 6 — (1' — (,) [б((' — (()Ц (1 — е " (1/()(((', которое с помощью (9.18) н (9.23) сводится к следукхцему! ( ( е = ~ 11[6 (/)[ Г1 (! — е "~'/')((1' — [(/(! — (,Ц ~(! — е !' '1/') и'~. Непосредственное вычисление зтнх интегралов подтверждает результат. полученный в задаче 9.13.
9.15. Применяя принцип суперпозиции, найти реакцию материала Кельвина на закон нагружения, изображенный на рнс. 9.20. Указанное изменение нагрузкн можно представить в виде последовательностн нагруженнй, заданных наклоннымн прямыми в плоскости ол как показано гг( з(, Рнс. 9.20. Рис. 9.21. яа рнс.
9.2!. В задаче 9.!3 было найдено, что для нагруження такого тапа аеформацня вычнсляегся по формуле е (а/6) [1+ т (е(/т — 1)] [(/(6[; позтому в нашез( случае она будет равна е (6 = (Х/6) (((+ т (е ьм — 1)) [(( (()] — ((( — (,) + + т (е- (' †'!/т — !)) [(/ 9 — (,)] — ((( — 2(Д + + т (е '( ('1/т — 1)) [О (( — 2(()] + ((! — 3(з) + + т (е и†~(о/т 1)) [1/ (Š— 3( )Ц Заметим, что е — 0 прн ( .+ со.
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Комплексные модули и податливости (ф 9.6) 9.16. Найти колгплексный модуль 6* и угол запаздывания 6 для модели Максвелла (рис. 9.2). Запишем форлрулу (9.3) в виде и+ и/т = бе и подсташрм в нее выражения (9.41) и (9.42). получим выра!в!+орегвг/т =биве е/1~ е/, откуда ее'е/е = ОР Ойот/(1+ /вт), или в сгандартйой форме р р!~'р~я 1+ взтз Из чертежа на рис. 9.11 находим (иб = бр/О, = Овг/Овеса = 1/вт. 9.17. Показать, что результат задачи 9.16 можно получить также непосредственно из определения о/е = бр простой заменой оператора д, на ио в уравнении (9.5).
После предложенной замены уравнение (9.0) примет вид (йр/6+ 1/ч) и = /ве, откуда находим Окр бнет о/е = йр+ 1;т 1+ /вт как и прежде. 9.18. На частном примере уравнения (9.10) для обобщенной модели Максвелла показать справедливость правила, утверждающего, что при параллельном соединении моделей их комплексные модули складывакпся.
В задаче 9.17 для комплексного модуля модели Максвелла получено выражение б' = и/е = бнет/(1 + кръ). Уравнение (9.10) макке записать в виде 6, (аг) бр (аг) е бм (бг) е (а,+П,) + (а,+!/т,) ". + (0,+1/„) Тогда комплексный модуль обобщенной модели Максвелла будет равен 0,/вт, б,йрг, 9.19. Проверить соотношение /, = 1/ (6, (1 + 16еб)] между модулем накопления и податливостью накопления.
Согласно формулам (9.43) н (9.44), имеем зь = 1/О', следовательно,,/!— — 1,/а = !/(Ог+ /бз) = (бг — /бр)/(61+ бзз), т. е. б, 1 1 бз ! От = 0,(1+(О,/бдз) = 6,(!+!дай) 9.20. Для циклического иагружепия (рис. 9.10) вычислением интеграла )пг(е по одному циклу показать, что диссипация энергии за один цикл прямо пропорпиональна податливости потерь / . ЗОО гл. э. линнииля вязкоупькгость Для векторов нанряжеиия и деформации, изображенных из рис. 9.10, вычислеиие интеграла )аде эа цикл дает ти/в ти/в де а — „д/ = ) (ае з!и вО еэв соэ (оя — 8) д/ = о о эл/е = аееэв ) япв/(соя в/сов 8+ з!пв/з!н 8) д! = о эн/в тгае оьв [/, ~ д/+,/э ) (Янэ вО д/~ = ацгь/э. э!п2в/ ! .
! 2 е о Трехмерная теория вязкоупругости. Анализ напряженного состояния (99.7 — 9.8) 9.2!. Комбинируя соотношения (9.48а) и (9.48б), получить определяющее уравнение аи = 8;/ [/т) еаа + (5) еи и найти внд опе. раторов [г() и [о'). Запишем (9.48а) в форме (Р) (а — бг/ааа/3) = 2 [6) (з// — бг еаа/3) н заменим а„э в этом выражении нряюй частью равенства (9.48б). После некоторых простых операций получим а// = 8/ ((ЗКР— 2!))/ЗР) ела+ (АР) е//. 9.22. Брус из материала Кельвина находится в состоянии одноосного растяжения, так что а„= а, [(/ (()[, ош = азз = а„= = а,э = а„= О, причем о; постоянно. Найти деФормацию еп при таком законе нагружения. Из раиенства (9.48б) для данного случая имеем Зен =аз [(/(/))/К, а уравнение (9.48а) нри ! / = 1 дает (Р) (ап — ая/3) [26) (етд — вы/3). Но соотношение (9.6) показывает, что для материала Кельвина (Р) 1 и (6) = (6+ чд/); нсзтому в нашей задаче 2ае [(/ (О)/3 = 2 (С + чд/) (е,г — аэ [(/ Я)/9К), или ест+ ея/т = аэ ((/ (О) (ЗК + 6)/очК + а, [8 (О)/9К.
Решая это дифференциальное уравнение, получаем вя = а, (ЗК+ 6) (1 — е ~/ ) [!/ Я[/9КС+ а~у/т [(/(/))/9К; при /-е оо имеем ет, -ь (ЗК+ С) а,/9КС = ае/Е. 9.28. Материал Кельвина заполняет форму с жесткими стенками, так что е, = е„= О, когда прикладывается напряжение по закону а„= — сг, [(/ (/) [; см. рис. 9.22. Найти е„и возникающие за счет наличия стенок компоненты напряжения а„= а,.
В нашем случае еа — — ея и а = а з, поэтому для материала Кельвина равенство (9.48б) имеет вид ам+ 2ая = ЗКея, а из (9.48а) следует 2 (ан — ая)/3 = = 26 (1+ тд/) (2етт/3). Комбинируя эти соотношения. получаем дифференци ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ альиое уравнение е„+ (46+ ЗК) еи/46т = — Зо, [О (Щ46т, которое после интегрирования дает е = — З [и (()) П вЂ” е < о+зле и и И46+ ЗК). Подставляя зто выражение в равенство (9ЛЗа) при 4 = ) = 2, получаем йко (1 е Ио+зх) 4нот) (+ ~2 36 [ бк ) [У (г)) 9.24.
Радиальная компонента напряжения в упругом полу- пространстве при действии концентрированной нагрузки Р, приложенной в начале координат (рис. 9.23), выражается формулой 64оз = (Р(2и) [(1 — 2т) а (г, г) — р (г, г)], где а и Р— известные функции. Пусть закон нагружения задан функцией Р = Р, ИI (()].
Найти радиальную компоненту напряжения в полупространстве из вязкоупругого материала Кальвина, пользуясь принципом соответствия. Рис. 9.22. Рис. 9.23. Члену ! — 2т в вязкоупругой среде соответствует оператор (36]](ЗКР+ + 6); следовательно, для кельвиновского тела преобразование решения вязко- упругой задачи будет ЗР4 / 6+ Чз о'= — '[ 2пз ~ ЗК-[-6-[-тр (;*) — в(, )1. Это выражение можно обратить, представив его в виде суммы дробей и воспользовавшись таблицами преобразований. В результате получим напряжение в вязкоупругой среде ЗК РК+ „ГЧ) 'ео 2 )( ЗК+6 + ЗК+6 ' а (г, г) + [) (г, т) 1 . 9.25.
Принцип соответствия можно использовать для получения не только напряжений, но и перемещений. Перемещение поверхности упругого полупространства, рассмотренного в задаче 9.24, по направлению оси г задано формулой гга о1 = Р ([— — тг~уЕиг. Найти перемещение поверхности полупространства из вязкоупругого материала в условиях упомянутой задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
