1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Га. З. ЛИНЕЙНАЯ ВЯЗКОУПРУГОСТЬ Оператор теории вязкоупругости, соответствующий члену (1 — ч')/Е упругого решения, будет (ЗК+ 46)/4Д (ЗК+ ()). Тогда для материала Кельвнна преобразование Лапласа перемещения дается выражением Ро(ЗК+ 4 (6+ чз)) о=а 4пгз (ЗК+ 6+ т)з) (6+ Чз) После довольно длительных преобразований и обращения получаем /' (зк+ 46) ) ! з сан+от с/и зк+ 6 4пгс(ЗК+ 6) ) 6 ЗК+ 46 6(ЗК+ 46) Заметим, что и о! О при /= О и что ш! о! стремится к Р, (! — ч')/Епг, т. е. к упругому смещению, при / -с оо.
9.29. Предполагается, что равномерно нагруженная свободно опертая балка изготовлена из материала Максвелла (рис. 9.24). Рв Найти изгибающее напряжение о„н величину прогиба ис (к„ /), ю! если нагрузка задана в виде р= П, =Ре ((/ (г)). Рис. 9.24. Изгибающее напряжение для сво- бодно опертой балки не зависит от свойств материала, позтому изгибающее напряжение и для упругого, и для вязкоупругого материала будет одним и тем же. Прогиб упрусой балки определяется формулой ш (хс) = расс (хс)/24ЕI, где а (х ) — известная функция, а / — момент инерции поперечного сечениябалки. ДляматериалаМаксвелла (Р) =(дс+ (/т) и Щ = (6дс), так что преобразование Лапласа величины прогиба будет расс(хс) / ЗК/т+(ЗК+ 6) э ) 24/ '( 9К6зз После обращения этого выражении получим Р (хй / / ЗК+6 ) 24/ (, Зс! 9К6 Прогиб со (х„о) = Р,сс (х,)/(24Е/) при ! = О равен прогибу упругой бапки.
9.27. Показать, что если материал считается несжимаемым (т = '/,), то при ! — ь оо напряжение а „найденное в задаче 9.23, стремится к о (среда ведет себя как жидкость). В задаче 9.23 получено о с)с — — о (9К вЂ” (46+ ЗК))/2 (46+ ЗК) = Это выражение можно записать через ч в виде осз)с — — — тое/(! — т).
Таким обРазом, ос )с — — — ое пРи т = с/з. Смешанные задачи 9.28. Написать определяющее соотношение для комбинированной модели Кельвина — Максвелла, представленной иа рис. 9.25. Вывести из него определяющие соотношения для модели Кельвнна и ь:одели Максвелла. зоз задачи с Рсц!Ем!тими для предложенной тюдели ~и+~к [О/б [ 1/ ) + + [6, + Ч дг] е. Выполняя указанное операторами диффереипирояание по времени, имеем а -[- аж« =- т!те + (6, + 6, -[- + Ча/т,) е + (бт/т,) е. Рис.
9.25. Если а этом уравнении положить т), 0(соединить параллельно с узлом Максиелла упругий элемент), то уравнение будет а+ а/щ (6«+ 6») е+ (бт/тт) е, Если к тому же я бя О, то получаем определякяцее соотношение для модели Иаксзеллаа+ о/щ б,е. Аналогично если сначала положить 6= 0(соединить параллельно с узлом Максвелла яязкий элемент), то уравнение будет иметь аид а+ а/гт = тмэ+ (6„-1- чт/тт)е, а когда я ть = О, оно опять сводится к определяющему соотношению для модели Максвелла.
Если определяющее соотношение для этой чегырехпараметрической модели записать я виде ига = б,а = Чтц,е + (б,п, + 6«Ч«+ 6Щ е + б,б,е и положить Чт раиным нулю, то я результате получается определяющее уравнение для модели Кельяина а т),е+ бсе. Точно так же если 6, О. то уравнение сводится к аиду а Чае+ б,е и опять предстаяляет модель Кельяина. 9.29. Воспользоваться принципом суперпозиции и получить деформацию обратной ползучести для стандартного линейного твер а дого тела (рис. 9.3, а). Сравнить результат с тем, что получено в задаче 9.8. При законе нагружеиия а = а» [У (/)] — ае [У (С вЂ” 2т )] (рис.
9.зо), деформацию сразу можно за. писать, воспользовавшись аыражением, Рис. 9.26. найденным з задаче 9.7: е =а, (!/6«+ (1 — е г/ ')/6, [!/(С))— — ае (1/бт+ (! — е 1~ ЬУ«*)/бт) [1/ (/ — 2тт)]. В момент / ) 2«, обе ступенчатые функции разны единице, следоэательио, е = а, ( — е Г/т' + е 1 мг/тт)/6 = аэ (ет — 1) е С/т'/6 , что согласуется с результатом задачи 9.8.
9.30. Найти напряжение в модели, е предложенной в задаче 9.9, при деформации по закону, изображенному на рис. 9.27. Показать, что в конце концов все напряжение будет прихо- с, с диться на «свободный» упругий зле. мент. Рис. 9.27, Гл. 9. ЛННЕИНАЯ ЭЯЭКОУПРУГОСТЬ ф (г) = ) // (!п т) е ~/~о (1п т). о 9.32. Для модели Максвелла (рис. 9.2«а) найти модули накопления и потерь 61 и 09 как функции !и шт и построить графики этих функций.
В задаче 9.16 установлено, чтодля материала Максвелла 6 (матт+ !мт) !+ Огсз таким образом, 6с ете бттх 1 1- мата 1 .! 9»Л -1 О ! 2 Л=!пмт Рис. 9.28. где Х=!пют. При Х= О имеем 6»=6/2, при Х=оо имеем 6»=6 и при Х= — со имеем 6, О. Таким же образом находим 6»= 6е /(!+е- / и при А=О имеем 69 6/2, при А= ~по имеем 6»=О.
Графики зтих функций приведены на рис. 9.28. 9.33. Найти вид оператора в определяюших соотношениях вязкоупругости (9:48), соответствующего упругой постоянной (коэффициенту Пуассона). При одноосном растяжении ом — — а„. Формула (9.48б) в зтои случае имеет вид еи/3 = ое/9К, а формула (9.48а) при подстановке !=/= 1 дает Решение задачи 9.9 и приннип суперпозиции позволяют найти напряжение в виде и = е (Ч (2 — е ~/т) + 6/) ((/ (/))//д — еа (Ч (2 — е 11 го т) + + 6(/ — /,)) ((/(/ — !»))//. для моментов времени /) /, напряжение равное = а«Ч (ец/т — 1) е г/т/й +6е, з при !-» ос оно сводится к величине и= 6е,.
9.31. «Логарифмический спектр запаздывания» й определяется через обычный спектр запаздывания / формулой (. (!пт) = т./ (т). Пользуясь этим определением, найти функцию ползучести ф (/) как функцию от /, (!пт). Пусть !пт=д, т. е. е =т! тогда дт/ох = еь=т, илн от=-то(!пт). л Теперь формула (9.28) для функции ф (/) позволяет написать ф (/) = ') й (1п г) (1 — е '/т) о () п т) .
о Аналогично еслифункцияО(!пт) т6(ъ) определяет логарифмическийспектр речаксацни, то функцию ~р (г), введенную формулой (9.31), можно представить в ваде ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ е„= [ЗКР + !)) оо/(9КЩ. Точно так же из (9.48а) при ! = ! = 2 получаем е„= [2Г) — ЗРК) о /()8КС/). Таким образом,в операторной форме можво написать т = — е„/ем (ЗРК вЂ” 2С/)/[ЬКР+2Щ. 9.34. Цилиндр из вязкоупругого материала помещен в плотнО пригнанную форму с жесткилги стенками (рис. 9.29), так что е!„! —— 1' з = О (радиальные деформации отсутствуют).
При расширении ма- Ж1 териал ведет себя как упругий; Рис. 9.29. функция ползучести равна = А + В/ + Се', где А, В, С, Х вЂ” постоянные. Найти паз (/), если езз = ео [(/ (/) ). Для данной среды ап = ЗКел, и в силу симметрии задачи это равенство имеет вид 2огг+ из = ЗКе . Согласно формуле (9.50а), при != /= ! имеем оы — пз„— — — — ',з ~р(! — !')д!'.
Разрешая зту систему двух уравиеиий от- д!' косительио о,о, находим о = Кезз+ — 1 —, гр(! — /') д/ . 2 Г двм — 8.1 д! о Функцию релаксации ф можно найти, пользуясь формулой (9.40). В результате получим ф = [(тг — Х) е" — (ть — А) е"* [/!т, — т,), |Ае — В т1 ЩАА~1н~с~ ьо $-о, т гг тельио имеем и =Ке,/+ — ! ', ' ' ' [(/[!')) д/' Г[.
[(,> А) ео !г-г! (,, 8) е" г - '!) 3) гг — ть о и после иитегрироваяия приходим к выражению ооз — (Кео/+ 2ео [ — (гг — Л) (! — огл)//Зтг+ -/- ! т, — Х) (! — ет1/)/Зтз)/(гг те)) [(/ 9)). 9.35. Продольный изгиб стержня из вязкоупругого материала в условиях ползучести в рамках линейной теории можно исследовать при помощи принципа соответствия. Найти этим методом величину прогиба ор(х„/) шарнирно закрепленного на концах стержня из материала Кельвина (рис.
9.30). Прогиб упругого стержня описывается ураокеиием дегв/дхге+ Рою1/Е/ О. Для материала Кельвииа Е следует заменить оператором [Е + Чдй, значит, для стержня из вязкоупругого материала должно выполняться уравкеиив гл э лннппная ВязкоупРугость Рз ш! в ш(шг, т) Ра 1. Рис. 9.30. откуда В+ (! + Рейт/Е/ (ЛГ/Лх,')) В/. = О, где т = т)/Е.
Но нагрузка при продольном изгибе упругого стержив равна Рв —— — Е1 (!РЯ7/<ЬД!)/Вг, поэтому можно записать последнее уравнение в виде 6+ (! + Р„/Рв) В/т = О, проинтегрировать и получить решение В !Р,/Рв — О гЛ е . Окончательно прогиб при продольном изгибе в условиях ползуГРь/Р — П ГЛ чести определяется выражением ш = рте 9.36. Сформулировать задачу о стационарных колебаниях балки нз вязкоупругого материала, считая, что определяющие уравнения атой среды заданы формулами (9А8). Свободные колебакия балки ив упругого материала описываются уравнением Е1 (Вгш/дх4) + рА (Вггя/дР) = О.
Согласно (9.48), соответствующий Е оператор уравнений теории вязкоупругосги будет (ВК6/(3КР+ ())). Если прогиб искать в виде ш(х,. 1) = Вг (х!) В (!), тп дифференциальное уравнение колебаний вязко- упругой балки можно расщепить на два уравнения — одно с произижными по пространственным координатам вчйу/да~~ — йгйу = О, а другое — с производными По времени (ЗКР+ !г) (юРВ/!(Р) + (йг//рА) (9КЦ (В) = О. Решение (Р! пространственкого уравнения дает форму 1-го главного колебания, а временное уравиех,.!г ние при й = йг имеет решение В! = ~ Але !!, где /У зависит от порядка опе! ! ратора.
Общее решение представляется, таким образом, суммой ш (х,, 1) хнг ~Ч ', ~Ч", йуг(х!) А!ге гг, в которой йд — комплексные величины. ! 11 ! ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 9.37. Написать определяющее уравнение для четырехпарамегрической модели, представленной на рис. 9.3!. О!пает! и+ (6,/Чз+ 6,/т), + 6г/Чг) о+ (6г6з/(Чтцм) о = 6!в+ (6т6з/Чг) в. 9.38. Непосредственным интегрированием уравнения в+ в/тз = пэ ((/ (6) (6, + 6э)/6!па+ ос (8 (1))/6! найти деформацию ползучести для стандартного линейного твердого тела (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
