1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 48
Текст из файла (страница 48)
б) Критерий Тресна сводится к равеяству о<ее — о< — — ок, так нак о< ' ) гг) ' ы< промежуточное по величине из главных напряжений. Таким образом, 2ребэ/г = = Оок, и теперь предел текучести впервые достигается при г = а й р = (ок/2) (1 — аэ/Ьэ). ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 8.39. Дан закон одномерной зависимости напряжение — деформация о Ка", причем К и л — постоянные, а в — истинная деформация.
Доказать, что максимальная нагрузка имеет место при в л. 8.40. Решить еще раэ задачу 8.4, записав критерии Мизеса и Треска через предел текучести при чистом сдвиге М а не через о . Ответ: Мизес: (о/(Гг ЗЬ))э + (т/Ь)з = 1; Треска: (о/(24))з+ (т/Ь)э= 1. 8.41.
Приняв условия задачи 8.6, удостовериться в правильности геометрического построения на рнс. 8.6, в. 6А2. Используя определение параметра Лоде р (см. задачу 8.3) и критерий Мизеса, доказать, что о — оен — — 2ок/)г3-1- рз. 8.43. Доказать, что в П-плоскости, где 6 агс !д )'/Х (Х и 1' определены в задаче 6.6), выполняется формула р = — ) 3!60. дополнитнльнын задачи 8.44.
Доказать, что инварианты девиатора напряжений П = зпз../2 н хр ВЦ П1х — — зйз/ьза;/3 моксно представить соответственно в виде Пх (~г+ф-(- хп +з,'и)/2 и 1!1х =(~!+~!!+~и,)/3. 8.45. Доказать, что критерий Мизеса можно записать в форме (от — оа)з + (аз — о„)' + (азз — огт)' -1- 6 (о~!з -)- ох~ + оз) = бла, 8.46. Используя метод решения задачи 8.17, найти отношения приращений пластической деформации: а) длн двуосного растяжения, когда огг = и, = о,. б) для растяжения с кручением, когда оы = о /2, оы = ак/2.
Отзешг а) де! ! — — детз — — — деш/2; л б) "еп/2 = "етз = '(езз = бе!г/3. ,Р Р Р Р 8А7. Проверить следующие знвивагентные выражения для приращения аффективной пластичесной деформации беакв: а) да,„в =)' 2/3 ((лем)з + (бею)'+ (бека)з + 2 (бе!з)а+2 (бе~)з 1-2 (г/ез!)а) /" б) да,„в= (г' 2/3) ((бец — беат)'+ (г/зтз — безз)а + (дед~~ — дзы)а+ 6 (бе з)а-~- + 6 (бетлз) + 6 (безл!)'1'*. Обратите еяимание на то, что в обоих случаях де~ = деы при одноосном растшкении напряжением оы. 8.48.
Тонкостенная труба из упруго-идеально-пластического материала подвергается нагрузке на растяжение и кручение. Первым прикладывается напряже. вне вдоль оси трубы о = а /2. которое остается постоянным, в то время как касательное напряжение т равномерно нарастает начиная от нуля. Оснонываясь на критерии Мизеса, найти, при каком значении т начинается переход к пластическому состоянию.
Ошееглг т = ок/2. 8А6. Балка треугольного поперечного сечения, изображенная на рис. 8.25, подвергается нагрузке на чистый изгиб. Найти положение нейтральной оси бал- д ~- — — р — И Рис. 8.25. В Рис. 8.26. Отвали Ь = ЛП "2. ки НА (ее расстояние Ь от вершины треугольника) в условиях, когда сечение цели- нолг находится в пластическом состоянии. 278 гл.а. тнорня пластичности 8.80. Показать, что тензор напряжений (8.41) имеет вид а(= й — р 0 в системе координат, повернутой вокруг хз на угол 0 (рис. 8.8). 8.5Н Линии скольжения образуют веерообразную область с углам раствора 30', а-линии — дуги окружностей, ().ливии — радиусы (рис. 8.зб).
Давление на линии АВ равно й. Найти давление на линии АС. О~лвгьж р = й (! + н/3). Глава 9 Линейная вязкоупругость 9.1, Вязкоупругое поведение материала Упругие тела и вязкие жидкости существенно различаются свонмн свойствамн прн деформнрованнн. Упругие деформнруейые тела после снятия приложенных нагрузок возвращаются к своему естественному, нлн недеформнрованному, состоянию. В отличие от ннх несжимаемые вязкие жидкости совсем не имеют тенденции возвращаться после снятия нагрузки в исходное состояние. Кроме того, напряжения в упругом теле связаны.
непосредственно с деформациями, в то время как напряжения в вязкой жидкости завнсят (за нсключеннем гндростатнческой составляющей) от скоростей деформацнн. Поведение материала, которое объединяет в себе оба этн свойства — и упругости, и вязкости, — называют еязкоупругим. Упругое тело и вязкая жидкость занимают крайние противоположные точки в широком спектре вязкоупругнх сред. Хотя вязкоупругне матерналы чувствительны к температуре, последующее изложение ограничивается условиями нзотермнн М температура входит в уравнення только как параметр.
9.2. Простейшие механические модели вязкоупругого поведения Линейную вязкоупругость для одномерного состояния удобно трактовать прн помощи механических моделей, которые наглядно демонстрируют поведение различных вязкоупругнх материалов. Этн моделя строятся нз таких механических элементов, как линейно- упругая пружина с модулем упругости 6 (массой этой пружнпы пренебрегают) и вязкий элемент (демпфер) с коэффнцнентом вязкостп ~) (вязкнй элемент представляет собой поршень, двнжущнйся в цилнндре с вязкой жидкостью). Как показано на рнс. 9.1, сила и, растягнвающая пружину, связана с ее удлинением в формулой и= бе.
(9.1) Подобное же соотношение существует н для демпфера о =т)е, (9.2) где е = ие/ой 111ожпо придать ббльшую общность этим моделям и устранить размерные эффекты, если в качестве о рассматривать нопряееение, а в качестве е — относительную деформацию, Гл. 9. линеинля Вязкоуппугость Модель Максеелла вязкоупругого тела является комбинапией пружины и вязкого элемента (демпфера), соединенных последовательно (рис. 9.2,а). Модель Кельеина или Фойхта представляет собой параллельное соединение тех же элементов (рис. 9.2, б)'), Соот- ~ — е а а б Рис.
9пь о — линейный упругий элемент; б — вязкий впемент. ношение между напряжением и деформапией (фактически содержащее также и их скорости) для модели Максвелла дается формулой о о — + — =е, 6 а для модели Кельвина формулой и = бе + т)е. (9.4) Эти уравнения являются по существу определяющими уравнениями вязкоупругостм в одномерном случае.
Полезно написать их в опе- о а Рис. 9.2. а — модель Максвелла; б — модель Кельвина. раторной форме, используя линейньгй оператор дифференцирования по времени д, — = д/д/. Тогда уравнение (9.3) будет иметь вид (дг/6 + 1/т)) а = (д,) е, (9.5) ») В дальнейшем, когда на основе моделей Максвелла и Кельвина будут строиться более сложные модели, для обоэначения соответствующих «узлов» таких многопараметрических моделей будут употребляться терлгины «увел Максвеллах и «увел Кельвина». — Прин.
рео. зв1 9.2. МОДЕЛИ ВЯЗКОУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ а уравнение (9.4) примет форму а = (6+ 9)д,) е„ (9.6) где ссютветствуюшие операторы Выделены скобками. Простые модели Максвелла и Кельвина не дают точного полного описания поведения реальных сред. Усложненные модели обладают большей гибкостью в отражении процессов в фактических материа- а б Рис. 9.3. о — стандартное линейное таердое тело; б — трекпарал~етрнческая нодель аяа- кой жидкости. лах. Так, сушесгвует трехпараметрическая модель, состоящая из двух упругих и одного вязкого элементов (рис. 9.3,а); она называется ппандарт ым линейным твердым телом. Трехпараметрическая модель вязкой жидкости, состоящая из двух вязких и одного упругого элементов, представлена на рис. 9.3, б.
Полезно заметить, что с точки зрения формы записи определяющих уравнений аналогом стандартного линейного твердого тела, соответствующего рис. 9.3, а, является узел Максвелла, параллельно соединенный с упругим элементом, а аналогом модели вязкой жидкости, изображенной на рис. 9.3, б, узел Максвелла, параллельно соединенный с вязким элементом.
Четырехпараметрическая модель, состояшая из двух упругих и двух вязких элементов, может рассматриваться как последовательно соединенные узел Максвелла и узел Кельвина (рис. 9.4). Рис. 9А. Существует несколько эквивалентных форм этой модели. Чегырехпараметрическая модель способна описать все три основных типа поведения вязкоупругой среды. Так, она объединяет в себе мгновенную упругую реакцию (за счет свободного упругого элемента 0Д, вязкое течение (за счет свободного вязкого элемента т)т) и, наконец, запаздывающую упругую реакцию (за счет узла Кельвина). 282 Гл. о.
линейния ВязкоупиуГОсть Соотношение между напряжением и деформацией для любой из трех- или четырехпараметрическнх моделей дается общей формулой роп+ ръа+ роа = дое+ а,е + аое, (9.7) где величины р, и оо представляют собой комбинации коэффициентов О и о) и зависят от способа соединения элементов в модели. В операторной форме соотношение (9.7) записывается так: (родс+ род~+ ро) а = (додг+ бгд~+во) е. (9 8) 9.3. Обобщенные модели. Линейное дифференциальное операторное уравнение Обобщенная модель Кельвина состоит нз совокупности ряда узлов Кельвина, соединенных последовательно, как показано на рис. 9.5.
Полная деформация в такой модели равна сумме дефор- он Рис. 9.5. маний в отдельных узлах. Тогда в операторной форме определяющее уравнение в соответствии с (9.6) можно написать следующим образом: и О о (6, + Ч,дд) (6о+ 11 до) + + (6, + Чнд~) Аналогично, набор узлов Максвелла, соединенных параллельно, как изображено на рис. 9.6, называется обоба(енноймодельюМакс- Рис.
9.6. велла. В этом случае полное напряжение равно сумме напряжений в каждом узле, т. е. в соответствии с (9.5) можно написать (др6д+1/ЧД [дй6о+1Ло) [дй6О+ 1,ЧН) 9Л. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ Для обобщенных моделей соотношения (9.9) и (9.10) можно записать так: рьо+р4а+рьо+ . ° . =цае+44е+цте+ ., (911) или более компактно так: 44 д'о ~ д е Д' д44; 9 д44 "4 — = Ч4 (9.12) Это линейное дифференциальное операторное уравнение можно записать символически (Р)а= Я) е, (9.13) где операторы (Р) и ( 4Е) определены формулами (Р)=) р,— 4, Ю= й.44 —,, 4=9 ь (9.14) 9.4.
Ползучесть и релаксация 1 О при (Ф(1 г,))=! [ ! при 1С 1„ Г) 14 (9.15) и изображенной на рис. 9.7. Нагружение в опыте на ползучесть представляется функцией а =- о, (и (1)), (9.16) Двумя основными экспериментами вязкоупругости являются испытания на ползучесть и релаксацию. Их можно выполнить как испытания на одномерное растяжение (сжатие) или на простой сдвиг.
Эксперимент на ползучесть состоит в мгновенном приложении к образцу из вязкоупругого материала напряжения о„ которое затем остается постоянным, и измерении деформации как функции времени (проявление ползучести). В экспериментах на релаксацию образец подвергается мгновенной ьдеформации е„ которая затем остается постоянной, в то время как проводятся измерения напряжения как функции времени (эффект релаксации).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
