1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 46
Текст из файла (страница 46)
8.14) отрезками АВ н ЕР с уравнениями (о /о,)— — (оц<>о>) =. Е 1, ОС н ЕА с уравненнямп о<ц/о», — — + 1 н ВС н ЕЕ с уравпеннямн о,/о> — — * ! соответственно. злдлгн! с Ркшениямп 8.11, Доказать, что в случае плоской пластической деформации, когда еаа = О, г(е„=. О и о„=, О, )равнения Леви — Мизеса (8.19) приводят к тождественному совпадению критериев текучести Треска и Ыизеса (записанных через предел текучести при чистом сдвиге й). В нашем случае уравнения (8.(9) записываются так: дех, = (2аы — азз) ~Й,З, де,з = — (ахг+ озз) д).,3, О = 2О. — аз,. При отсутствии касательных напряжений о! — — оьь оп — — о, =ам/2, ап! —— О = = оы.
Тогда из формулы (8.9) яаходнм критерий Треска в виде о! — ап! —— = аг„= 2й, а из (8.!3) получаем для данного случая критерий Мизеса (ом'2)е+ +( — огг,'2)е+ ( — оы)з = бйз, нля агг! — — 4йз, т. е. ом = 2/г. 8.12. Доказать„что из уравнений Прандтля — Рейеса следует равенство параметра Лоде р (см. задачу 8.3) и величины т = (Мел!! — с(ел — г(еглп)/(дезе — с(е!и). Из соотношения (8.2!) получаем ч=(2з, — з — зп!) дй/(з! — з ) Ил=- = (2 (ап — ом) — (о! — о,и) — (ощ — ом))/((о! — ох!) — (ощ — ом)) = =(2о, — а — а! ),'(о — о,) = и.
8.18. Доказать, что для второго инварианта девиатора напряжений Пхр — — знал/2 выполняется равенство д11хо/до,/ — — зц. Пользуясь выражением для П . находим хр дн где = (дзц/до ) з, где дзп/да = д(оц — бг/аза/3)/до = 6! б;— — бгб гЗ. Таким образом„дц !да = (б; б. — 6 .6 /3) зс =з, поскольку й ле 8.14. Пусть пластический потенциал имеет вид д (оо) = Пхр! доказать, что соотношения (8.22) для пластического потенциала превращаются в уравнения Прандтля — Рейсса. )(оказзтельство сразу следует из результата задачи 8.
(3, так как в атом случае дй/дап = зп и, следовательно, (8.22) сводятся к (8.2!). 8.15. Записать в развернутом виде выражение (8.24) и доказать, что эквивалентное напряжение о,„, можно записать в форме (8.23). Из равенства (8.24) имеем от = Ззггзг//2 = З(о! — ббо '3) (аг/ — бйа /З)г2 = (Зог,аг/ — оиа")/2. Гл. З. ТЕОРИЯ ПЛЛСТИЧИОСТИ Записывая его в развернутом виде. получаем 13 (оэ + озз -!- 4) + 6 (озз+ о~~ + аэз) — (ам + ам + ст, )з)/2 2 2 2 2 2 2 = [2 (о ц + о за+ о — омам — омоз, — оза д + 6 (а 2 + о э + аз т )) = ((огт — оее)з+ (оэз — оэз)~+ (а~ — ом)~ + 6 (оетз+ оззэ + аэ!))/2, что н утверждается бюрмулой (8.23). 8.16. В теории пластического потенциала вектор приращения пластической деформации перпендикулярен поверхности нагру- жения (текучести) в любой регулярной точке; доказать, что если удовлетворяется критерий Мизеса, то выполняются уравнения ает /5т = т/етт/зц = г(ецт/хцт.
Пусть числа йтт, йм Ьз задают направление нормали к поверхности теку- чести /, (от ), т. е. эту нормаль можно характеризовать величиной г1 = йгаб/,, а дпа этого тРебУетсЯ, чтобы йтт/(д/г/дат) = йт /(д/,/да,) =Лтэ/(д/т/доттт), пРнчем, согластю кРитеРию Мизеса, /, = (ог — ац)2+ (оц — оц )'+ (отц — от)э — 2он 2 О. Тогда д/т/до,=2(2о,— о,— аш)=62 и т. д., а так как вектор прн- рашения пластической деформанип ттаправлен по тюрмали к /,, отстала следует, что дет /21 —— дэтт/з = дегтт/этц. 8.17.
Найти отношения приращений пластических деформаций: а) для простого растяжения, когда ац = ау( б) для двуосного на- пряженного состояния, при котором аи = — ат/1~ 3, ам = а, /)' 3, стзз = атз = а„= а,э = О; в) для чистого сдвига при а„= ат/)/ 3.
а) ПРи данных УсловиЯх ам =а =а„„ац —— ац, = О и э =2о /3, эц = эцт —— — оу/3. Используя результат задачи 836, находим де! /2 = — дец/1 = т - — "еттт/!. б) В паннам случае от — — оу/г'"3, ац — — О, ац — — — ак/)т 3 в з, = о /йсз, зи — — О, зцт —— — от,/г 3. Таким образом, дет /1 = — бетт!/1, а третий член опуст кается, поскольку обычно предполагается, что при обрашенни в нуль знаменателя и числитель тоже обрашается в нуль. в) В этом случае о, =пи/у' 3, оц =О, оц, = — о,/Р' 3 и своев получаем деРЛ = — дети/1, 8.18.
Найти приращение работы на пластических деформациях т тйг и приращение эквивалентной пластической деформации т(е,.„, для двуосиого напряженного состояния аы — — — ау/)т 3, а„=ау/) 3, а, = о„= а = а, = О, если пластическая деформация происез= м= ю= эт= ходит так, что г(ет = С, где С вЂ некотор постоянная. Вырважение для прирашения работы (8.30) в главных осях имеет вед д(Р = отде! + оцдец + отцдеш. Для указанного напряженного состояния результат Р ,т задачи 8.17 показывает, что дет — — — бетт!, бетт — — О. Отсюда следует, что т' т т дК'~ = — ат,С/)~ 3+ (оу ) 3) ( — С) = — 2Сат/у 3.
269 ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Используя формулу (8,25), находим бе~~ = (2 [(г/е~~ — бе~я~)а + (бе~~ — де«РИ)' + (бе1,1 — «/е~ )а[) /'/3 (2 [Са+ Са+ 4ст))'/'/3 2С/)/ 3 8.19. Проверить правильность соотношения (8.32), доказав, что приращение работы на пластических деформациях для материала Прандтля — Рейсса равно сИ' = о,„„с[е,, как утверждает Р Р формула (8.31). Для материала Прандтля — Рейеса, удовлетворяющего уравнениям (8.21), 4юрмула (8.30) дает ЛР' = а;.а .бх.
Но, согласно (8.27), для такого материала «[Х=збал /2о „и, следовательно, бйу =(Забт//2) (бе,„,/ож,), а если учесть определение (8.24), то последнее выражение упростится. "Ж[г =- о бежа. Такнм образом, в дмнюм случае бе~ = дйт~/о . Соотношение (8.32) теперь сразу следует из формулы (8.2!). 8.20. Для материала, удовлетворяющего критерию текучести Мизеса, в качестве функции текучести в законах упрочнения (8.34) и (8.36) можно взять эквивалентное напряжение о,„,.
Доказать, что в этом случае выполняется равенство о аг' = 7/', где Г и Н' — производные характеризующих упрочнение функций по их аргументам. Закон упрочнення (8.34) в указанном случае принимает видо,„а = г (йг ), и, значит, бо — г"'бВ' . Аналогично закон упрочнения (8.36) записывается следующим образом: о,„, Н(ел„,). и тогда бояка = Н'г/еР„.Таким образом, г'бВ" = Н'ба~~ . А так как из формулы (8.31) (или задачи 8.19) известно, что о каб Р„, сразу у озчеГ Н'. Деформациониая теория пластичности (9 8.9) 8.21.
Основу деформационной теории пластичности Генки составляют следующие соотношения: е,/ = ее + е',.'., причем ееи = е е = ец+ бне««/3 = зг//(26) +8«/ (1 — 2ч)о „/(ЗЕ) и ег/ = (рзг/. Докам ч зать, что эти равенства эквивалентны формулам (8.37) и (8.38). Среди уравнений е, = фа; содержится и такое: е« = О, а зто означает. что 8 ег — — аи = фа«/. Из Равенства ег — — ей+ ег следУет, что тогда е . = ее.. Из Р Р Е Р того же самого равенства получается еще соотношение е,.+б,.е««/3 =ее+ / / г/ +б,.ев«/3+а«РР которое сводится к виду ее — — ег,.+е~л/=[ф+1/(20))зг/ а зто и есть (8.37).
Кроме того, из равенства еп — — егвг получаем еп —— (! — 2ч) о «/Е, что представляет собой (8.38). 8.22. Проверить тот факт, что параметр Генки ~р ьюжно представить формулой (8,39). 2УО Гл. З ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧИОСТ!! Возводя в квадрат и складывая компоненты тензоров в уравнении е,.=!рз!. Р ! ! ЗадаЧИ 8.21, ПркаадИМ К СЛЕдуЮПГЕЫу раза!Юга)С знал/ — — !р'Зг/Зг/, ИЧИ Р Р = Р Зег,е;//2/и „. Умгюжая обе части последнего равенства на з/з, получкам !р = 3 1~2е~~в~./3/ра = Звл„ /2п „. Задачи упругопластичности (ф 8ЛО) 8.23.
Балка прямоугольного сечения из упруго-идеально-пластического материала находится под нагрузкой на чистый изгиб. Рис. 8.13. Пользуясь элементарной теорией балок, найти величину изгибающего момента./)4, действующего на конце балки„при которой упругое ядро балки простирается от — л до а, как показано на рис. 8.15. В данной задаче единственным отличным от нуля напряжением будет нзгибакаиее напряжение олл. В упругом ядре внутри балки ( — а ( хами а) имеет место равенство оы = Евп = Ехз/Р„где /1 — радиус кривизны изогнутой оси балки, а Š— модуль Юнга.
В пластической зоне ом = ою таким образом, а с 1' Е М = 2 ~ — (х,)а Ыхз + 2 ~ х,п Ьдхл = Ьо!, (сз — а'/3), о а где и = ЕаИ, т. е. использовано условие непрерывности напряжения на границе между упругой и пластической зонами. Из полученной формулы видно, что М = 2Ьс'и,/3, ко~да пластическая зона только появляется (при а = с), и М = Ьсзпю когда вся балка оказывается в пластическом состоянии (при а = О). 8.24. Найти изгибающий момент для балки из материала с кусочно-линейным упрочнением (так что за пределом текучести о„= от + А (е,! — От/Е)), на которую действует такая же нагрузка, как в задаче 8.23.
Распределение напряжений в такой балке показано на рнс. 8.16. Снова ем ха//1, и, следовательно, а а М= 2~ ' дх + 2 ~ ~от+ А~ — л — — )1хзЫх,= о а 2ЕЬаз ) пг ( А 1, А(са — аа)) + 2Ь вЂ” ~1 — — 1 /(сз — аз) + Зй ( 2 Т Е~ 3/1 271 злдлчи с яншпннями Воспользовавшись.
как и в задаче З.зл, условием и . ЕаИ, найдем М = стао, (! — А Е) + 2е'ЬА~З)! + Ьгг~~)гз (А/Š— 1)/ЗЕЗ. 8.25. Круглый вал радиуса с нз упруго-идеально-пластического материала закручивается на концах "оментом Т, как показано на рнс. 8.!7. Найти величнну крутящего момента, прн котором внутри вала остается упругзе ядро радиуса а. сг11 Рис. 8.17. Рис. 8.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
