1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Согласно (3.34), сфера лгк! = 1 получена и результате деформации эллипсоида Х Гз Х 1 или 3 0 О 0 5 — )гЗ 0 — 1 3 3 Х Х„= ЗХзз+ 5Хт+ ЗХз — 2 РгЗХзхз — 1. Хз (х„х,, х,) Это ураииение эллипсоида приводится к каноническому виду (а главных осях) ЗХз! + 6Хз + 2Хзз = 1 преобразоаанием с матрицей 1 0 0 0 1'3/2 г/з 0 — г/з 1' 3!2 (пн) = (м (зз (з! (зз (зз 1за Вычисление данных детерминантоз прииоднт к выражению 1(ь = 1ы(зг+ (зз(зз+ 1зз(м (1ш+ 1ю+ 1з!). 2 з з С другой стороны, вторая формула (3.9!) и развернутой записи дает то же самое: 1(е = 1з ((1ы + 1зз + 1зз) 1п (1!/1!/+ 12/1з) + 13/(3/)1 Iз Н)м + 1ы+ 1зз) (1з! + 1зз+ 1зз) (1зз(м + 1гз(!э+ 1гз(!э + + 1зг)зг+ 1зз(зг+ 1зз)зз+ 1зг(зг+ 1зг(зз+ 1зз(зв)1 = 2 л з = 1зг(за+ 1зз(аз + 1зз(ц — (1!э+ !я!+ 1з!).
3.32. Однородная конечная деформация характеризуется соотношениями и! = АпХЛ где А,; — константы. Найти выражение для относительного изменения объема (изменения, приходящегося на единицу начального объема). Доказать, что при очень малых Аг) оно сводится к кубическому расширению. рассмотрим прямоугольный параллелепипед с начальными размерами г(хг, !(Хз, Ыхз вдоль осей координат. При данной деформации к! = (АП+ 6Л) Х1. Согласно (3.33), этот начальный объем б)'з преиращаегся а скошенный параллелепипеде ребрами длины г(к! = (Я! 1„+ 6; 1„) ИХ „, и 1, 2. 3.
В силу формулы (1.109) этот деформированный элемент имеет объем ИР = е! з (Яг! -)- 6п) (Я,.з -(- 6 з) (Азз -1- 6зз) Ихгдхзбхз. 3.31. Непосредственным разложением проверить, что второй. инвариант 11ь тензора деформаций можно представить в виде 143 Гл. 3. ДЕФОРМАЦИИ Тогла дУ дУа+ 6У АУ вЂ” — = 1 -(- — = ~г А (Ан + 6и) (А/з+ 6 з) (Азз+ 6зз). дУ дУ дра / Если Аг очень малы и их степенями выше первой можно пренебречь, то 6У/дУе= яг/а(Аг16збзз+ 6ЦА збаз+ 6И6 зААз+ 6г161здзз) ! = Аз -(-А з+А ° В линейной теории козффициеит кубического расширения равен !к дпг/дХь иго вслучае пг = Аг/Хг дает!к Аи+ Ам+ Азз- 3.33. Линейная (малая) деформация задана соотношениями и, = 4х, — х, + Зх„и, = х, + 7х„и, = — Зх, + 4х, + 4хз, Найти для такой деформации главные деформации (удлииения) ег„у н главные значения дениатора деформаций е1„1.
Так как еи является симлмтричнойчастыограднента перемещения диг/дх/, для данного случая еи — О 7 2 или в главных осях е,,=040 Итак, еза/3 6; находим девиатор деформаций е = О 2 2 который в главных осях имеет вид — Π— 1 О Заметим, что е1 е,„— ваа/3. Плоская деформация и уравнения совместности 6 3.!5 — 3.16) 3.34. Сорокапятиградусной розеткой деформаций измерены продольные деформации вдоль осей, изображенных на рнс. 3.15. В точке /з найдены ез, —— 5 10 ', еи = 4 10~, етз = 7 ° 1О '.
Определить деформацию сдвига е„в этой точке. 149 ЗАДАЧГ! С РЕШЕНИЯМИ Г Воспользуемся формулой (3.59). Учнтыяая. что т = (е, + ея)/1 2 — едп ничный вектор напранленпя хл, составляем уравнение для епй 5 ° 1О 4 яе 0 7 10 0 0 0 0 [!/ ' 2, 1/Р'2, 0) =4 ° !О Отсюда 4 ° !О, или ел„— — — 2. !О !2 ° !О 4 + 2е,л 2 3.35. Построить круги Мора для случая плоской деформации О О О си= О 5 1/3 О 1'3 3 и определить максимальную деформацию сдвига.
Проверить результат аналитически. л! Рнс. 3.15. Рис. 3.!6 Для данного состояния деформации, отаесенного к осям хь точки В (е,л 5, алз 1' 3) н /) расположены на кондак диаметра наибольшего из внутренних крутое (рйс. 3.16). Для плоской деформации величина глаеного напряжения е, О, поэтому другие круги Мора выглядят так, как показано на рисунке.
Поворотом на угол 30' (рис. 3.17) вокруг оси х, (что эканеалентно углу 60' на диаграмме Мора) приведем тензор деформации к главным осям с главными значениями ел/л Еще одним поворотом на 45' (рис.3.18) вокруг оси хз (иа 90' на диаграмме крутое Мора) приделз к системе координат х/, е которой тензор деформаций илзеет компоненты е;, представленные матрнцей 1 0 0 О 1' 3/2 л/я о — О, )/3/2 1/)' 2 1/)г2 0 — ! /г'2 1/'г'2 0 0 0 ! 0 0 0 0 5 1 3 0 1/3 3 1 0 0 0 1' 3/2 — '/з 0 л/з 1~ 3/2 1/рг2 — !/)г2 0 1/У 2 1/Р'2 0 0 0 ! ззо].
Га. 3. деФОРмАции Х 3 Ха Рис. 3.17. Рис. 3.18. Здесь первые две строки описывают деформированное состояние в точке г" (рис. 3.16). Заметим, что поворот на — 45" около хз соответствовал бы точке Е на рис. 3.16. 3.36. Деформированное состояние сплошной среды задано тензором Хзз Хз Х,Ха Ез/ = Хгя Х Хз х,х, хз' 5 Удовлетворяются ли уравнения совместности? Непосредственной подстановкой в (3.104) убеждаемся, что все уравнения удовлетворяются тождественно. Читателю предлагается проделать зту проверку детально.
Смешанные задачи 3.37. Вывести индексную форму лагранжева тензора конечных деформаций (.о (3.40), воспользовавшись его определением (3.37). о силу формулы (3.24) имеем дгч/дХ/= 6;/+ диз /дХ/. Тогда, пользуясь 1о.37), можно получить (Н= 2 ~(6а,+ дХ )(да/+ дХ" ) — 61/1 1 диз диз диь диз = — ~да,бз + дзз — -(-6„— -(- — — — 6 1 = 2 1 дХ/ / дХг дХг дХ/ '/) 3.38. Дано поле перемещений х, = Х, — СХ, + ВХз, хз = = СХ, + Х, — АХз, х, = — ВХ, + АХ, + Х,. Показать, что эти перемещения соответствуют повороту абсолютно твердого тела, если константы А, В, С очень лшлы.
Определить вектор поворота ти для бесконечно малого поворота твердого тела. 151 ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Для данного поля перемещений Г= С 1 — А и, согласно (3.37) / В" + С" — А — АС ) Ьа = ~ — АВ А" +С' — ВС ~ ° 2 — АС вЂ” ВС Аз+ В" Если пренебречь произведениями лэалмэ констант, то этот тензор деформаций ра- вен нулю, а перемещение сводится к повороту абсолютно твердого тела.
По фор- муле (3.50) вектор поворота равен еэ еэ ез д/дХэ д/дХэ д/дХз — СХз+ВХэ СХг — АХз — ВХэ+АХэ =Ае,+Ве, + Сез. 3.39. Поворот абсолютно твердого тела описывается полем перемещений иэ = 0,02Х„и, = — О,ОЗХз, и, = — 0.02Х, + О,ОЗХ,. Определить перемещение точки Я (3, 0,(, 4) относительно точки Р (3, О, 4).
Поле перемещений для точек 0 н Р дает но 0,08е, — 0,12ез — 0,057ез и ир = 0,08е, — О,!2е, — 0,06ез. Отсэода дз н 1 — нр = 0,0!Вез. Тот ээе результат получим, пользуясь формулой (3.5!), где и = 0,03ег + 0,02еэ." е, е„ ез 0,03 0,02 0 = 0,003еэ. 0 01 0 3.40. Для плоской деформации, происходящей в плоскостях, параллельных х,х„определить выражение для относительного удлинения ееэ и деформации сдвига еээ, если оси со штрихами и без штрихов расположены так, как показано на рис. 3.!9.
Рис. 3.19. Рис. 3.20. Гл. 3. ДеФОРмвцни Из формулы (3.69) 10 О ВТР 0 е =(О, совВ, в|пВ) 0 е, е„савв 0 евз езв~ ~вп 01 = е„, сав" В + 2е, в|п О сов О + е, в|п' О = 2 ~з + вв "соз26-1-е з!п26, 2 Аналогична, используя (3.66) н результат задачи 3.20, находим = — е„ма О сов О + е в савв Π— е„в|п" В -|- е, ып О сав О = евв сав 2 — мп 20. еех езв 2 3.41. Для однородной деформации дан тензор малых деформаций 0,01 — 0,005 0 — 0,005 0,02 0,01 0 0,01 — 0,03 (еп! = Каково изменение прямого угла А(?С на грани элементарного тетраэдра ОАВС (рис. 3.20), если ОА = ОВ = ОС, а точка В— середина ребра АВ? Единичные векторы и и и, выходнцие из точки /?, можно записать в виде ч = (ег — е„)/)'2 и и (2ев — е, — е,)/)/6. Тогда, используя результат вздвчи 3.20, получаем Уме = 1)/)/2 — )/) 2, О] ЗА2. В некоторой точке тензор деформаций имеет вид т.
е. в главных осях е|/= 0 4 0 Вычислить инварианты для каждого из этих тензоров и показать, что они совпадают. Ро 0 01) о е 10, савв, в|а 01 0 е„евв~ ~ — в|и О 0 е„, ез, сов О ! 0,02 — 0,01 0 — 0,0| 0,04 0,02 0 0,02 — 0.06 5 — 1 — 1' еп= — 1 4 Π— 1 0 4 — 1/)/б |/)ГО = — 0.0(/)/ З, 2/ ' 6 ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 2сп — — О 0 — А + 0 0 А + — Аз Яз 0 Если А мало. то Аз можно пренебречь н ЕО = 0- Вектор поворота, согласно (3.50). равен м = Ае, + Аез. 3.44.
Показать, что поле перемещений из = Ах, + Зхз, аз = Зх, — Вк„и = б дает состояние плоской деформации. Найти связь между А и В, при которой деформация будет изохорнческой (отсутствует объемное расширение). По полю перемещений и формуле (3.43) найдем в„-3 — ВО что соответствует форме (3.99) для плоской деформации. Согласно (3.96), коэффициент объемного расширения равен В = яп = А — В. Он обращается в нуль, если А — В. жР 3.45. Так называемая дельта-розетка для измерения продольных поверхностных деформаций имеет форму рав- 60' постороннего треугольника и измеряет 60' относительные удлинения еео е~н еи в направлениях, показанных на рис.
3.2]. Пусть е„= а, еи = Ь, еи = с; опредеРис. 3.2!. лить е,з и ез, в той же точке. В случае Е Е формула (3.59) для направления л! Дает 3/ ] 3!2 Ь, или 2) Зе,+За, =4Ь вЂ”.и. 0 а в„О в„е,„о 0 0 0 (Чз, ]' 3/2, 0] Применяя формулу (3.95) и результат задачи 3.31, находим 1Е 5+ 4+ 4 13, 1, = 6+ 4+ 3 13. Подобным же образом П 19+ 19+ 16 64, Пе. 24+ 18+ 12 54. Наконец, РПе = 5 16 — 4 — 4 72, П!, = 6 4 3 = 72.
Читатель может проверить эти вычисления. 3.43. Для поля перегаещений хз = Х, + АХ„х, = Хз — АХ„ хз = Х, — АХ, + АХз определить теизор конечных деформаций ].и. Показать, что если константа А очень мала, то перемещение представляет поворот абсолютно твердого тела. Из условия задачи следует, что н, АХз, из — ЯХз из — АХ, + АХз; тогда по формуле (3.40) га. а.
дяоонмации Для направления х, так же получаем з/ Р 3/2 = с, или — 2 Р~Зезз+ Зе„, = 4с — а. 0 а в,з 0 в, в, 0 о о о ( — з/з )' 3 /2, 0) Решая эту систему уравнений относительно в,„ и еяо находим в з (Ь вЂ” с)/Р 3 и ( — а+ 26+ 2с)/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
