1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 22
Текст из файла (страница 22)
З.П. 3.3. Относительно совмещенных материальных и пространст- 3 з венных осей задан вектор перемещения н = 4Х!ез + ХзХзез + + Х,Хзе,. Определить смещенное положение частицы, первона- 2 чально находившейся в точке (1, Оз 2). Радиус-вектор начального положения частицы равен Х = е, + 2е . Ее смещение составляет н 4е, + 4е . и. поскольку х Х + и, радиус-вектор конечного положения будет х 5е, + без. 3.4. В ортогональной декартовой материальной системе координат Х, задано поле перемещений Ут = — АХзХ„Уз = АХ,Хьч (гз = О, где А — константа. Определить компоненты перемещения в цилиндрической пространственной системе координат кг, если обе системы имеют общее начало.
В силу геометрии задачи (рис. 3.12) тензор преобразования осей а = е 1 имеет внд соз хз 3!п хз О о к= 3!пхз сов хе О Р О О 1 136 Гл. 3. деФОРмлции а из обращенной записи формулы (3.9) ир = «В Ю . Так как декартовы и ци- линдрические координаты связаны со- отношениями Х = хг сгя хз Хз =х, «и х, Х = хз, формула (3.9) дает иг ( — сох ха) АХзХз+ (з(паз)Х Х АХгХз ( — созх)Ахзхз Х х з!и ха+ (з!п х,) Ахваз соз хз О, и, (з1п х,) АХзХз+ (соз хз) Х Х АХгХз = (з!пз хз) Ахзхз+ +(сгпз хз) Ах,хз — — Ах,хз, из —— О. Это смешения в круглом стержне при кручении.
Рнс. 3.12. 3.5. Деформация задана в лагранжевой форме: х, = Х, + + Х,(е' — 1), хз = Х, +Х,(е' — е — '), х, = е'Хз, где е — константа. Доказать, что якобиан г' отличен от нуля, и найти эйлеровы уравнения, описывающие эту деформацию. Из (3.16) 1 0 ез — 1 О 1 е' — аз 0 0 зз =за+ О. 1 + Х~ 0 2ХзХз — 2Х Х !+Хе О дХ! 0 2Х Хз 1+ Хзз Обращенные уравнения будут таковы. Х, х,+хз(е= — 1), Хз х,+х,(е з — 1) Хз=е зхз.
3.3. Дано поле перемещений и = Х,Хзез + ХгХ,е, + ХзХ,е,. 3 з з Определить независимо материальный градиент деформации г и материальный градиент перемещения ) и удостовериться в правильности формулы (3.24) ) =* г — 1. Поданному вектору перелгещения и находим 3: Хзз 0 2Х Х диг 2ХзХз Х! 0 3 дХ! 0 2ХзХз Хзх Так как х « + Х, поле перемещений можно также описывать соотношениями т, = Хз(1+ Хз),хз Хз(1+ Хз!),хз Хз(1+ Хзз), из которых легко находим Гс ЗАДАЧИ С РБШБЮ!ЯМН 137 Непосредственной подстановкой полученных тензоров Г и з в (3.24) убеждаемся, что равенство выполнено. 3.7. Некоторый объем сплошной среды совершает перемещение н = (ЗХ, — 4Х,) е, + (2Х, — Х,) е, + (4Хз — Хз) е,. Определить смещенное положейие вектора, соединяющего частицы А (1, О, 3) и В (3, Б, Б), считая, что материальные и пространственные оси совпадают. Согласно (3.13), пространственные координаты при гаком перемещении равны хз = Хз+ ЗХз — 4Хз зз 2Хз+ Хз — Хз, хз= — Х,+ 4Хз+ Хз.
Таким образом, в смещенном положенвй частина А имеет координаты хз = — 11, хз = — 1,хз= 2,а частица  — координаты х, = — З,ха= 6,х, = 27. В смещенном положении вектор, соеднпякхций точки А и В, имеет вид У = бег+ 7ез+ 25ез. 3.8. Для поля перемещений задачи 3.7 определить смещенное положение радиуса-вектора частицы С (2, Б, 3), который параллелен вектору, соединяющему частицы А и В.
Показать, что эти два вектора остаются параллельными и после деформации. Теми же операциями, что и в задаче 3.7, получим радиус-вектор точки С после деформации: () ве, + 7ез+ 25е,. Ясно, что он параллелен вектору У. Это пример гак называемой однородной де4юр идййи. 3.9. В общей формулировке деформация называется однородной, если она задана полем перемещений вида из = А„Х;, где Аи— константы или, быть может, функции времени. Доказать, что при такой деформации: а) плоские сечения остаются плоскими, б) прямые линии остаются прямыми.
а) Из (ЗАЗ) хг Хг+ из Хг+ Аг)Х) (6О -1- Аг,.) Хь Согласно (3.16). обращенные соотношения Хг = (6ц+ ВЧ) х) существуют, если детерминант ) бг)+ Аз)) не обращаетсн в нуль. Если предположить это, то уравнение материальной плоскосги Б,Хг+ сз О перейдет в йг (6Н+ ВН) х;+ и = О, что можно записать в виде стандартного уравнения плоскости Д)аз+ и = О, где коэффициенты Ху = (); (бц + Вя). б) Прямую линию можно рассматривать как пересечение двух плоскостей.
В деформированном состоянии, как доказано, плоскости остаются плосностями и, следовательно, линна пересечении двух плоскостей осгаегся прямой. 3.!О. Бесконечно малой однородной деформацией называется такая деформация, для которой коэффициенты Ан в формуле из = А „Х; настолько малы, что их произведениями можно пренебречь по сравнению с самими коэффициентами. Доказать, что полную деформацию„полученную в результате двух последовательных бесконечно малых однородных деформаций, можно рассматривать как сумму двух отдельных деформаций и порядок, в котором происходят перемещения, не влияет на конечную конфигурацию. Пусть хз = (6И+ Ан) Х! и х; = (бя+ В, ) х) определяют последователь. ные бесконечно малые перемещения, Тогда х,.
= (6В+ ВИ) (6;ь+ Ард ХА Гл 3. ДЕФОРМАЦИИ (бга+ В!а+ Ам+ ВОА11) ХА. Пренебрегая произведениями ВВАМ как малыми высшего порядка, получаем х; = (бга+ Вш+ Ам) Ха (ба+ Сгь) Хь что представляет бесконечно малую однородную деформацию и, = х, — Хг = С,г,ХА = (Вил + Ага) Х» = (Ага + Вга) Ха = и! + иг 1 0 0 0 1+Аз 2А О 2А 1+Аз так что [Ог)[ = О 1 А~ Таким образом. из (3.37) О 0 О ! ! 1,о — — — (Π— !) = — 0 Аэ 2А 2 2 0 2А Аз 3.12.
В случае поля перемешений э задачи 3.11 вычислить квадратдлины (с(х)э сторон ОА и ОВ и диагонали ОС малого прямоугольника, изображен- 1 ного на рис. 3.13, после деформаРис. 3.13. ции. Воспользовавшись тензором Сч определенным в задаче 3.11, по формуле (3.34) найдем квадрат длины диагонали в матричной форме: (бх)э = [О, АХ., АХ.[ 1 0 0 0 1+Аз 2А 0 2А 1+Аз = (1+ Аэ) (АХз)з+ 4ААХэ аз+ (1+ Аэ) (г(Ха)а. Подобным же образом для ОА ил1еем (г(х)э (1+ Аэ) (йХа)з и для ОВ имеем (б )э = (1 + А ) (бХ.)э. 3.13.
Вычислить иэгиенеиие квадрата длины линейного элемента задачи 3.12 и сверить результат с полученным по формуле (З.Зб), воспользовавшись тензором деформаций [.о, найденным в задаче 3.11. Непосредственно по результатам задачи 3.12 найдем изменения в) для ОС: (лх) — (бХ)э = (1+ Аа) (АХз+ бХэ) + 4АДХягХэ— — (г(Ха+ ДХэ)= А (АХз+г(Хэ) + 4Аг(ХэбХэ' Тензоры деформаций 8 3.6 — 3.9) 3.11. Некоторый объем сплошной среды испытывает деформацию х, = Х„х, = Хэ + АХ„х, = Х, + АХ„где А — константа.
Вычислить тензор деформаций Грина О и использовать его для определения лагранжева тензора конечных деформаций 1-. Р)э (3.35) имеем О Гг ° Г, причем Г в матричной форме определяется по форл1уле (3.20)г злдачи с Решениями б) для ОВ: (бх)э — (э)Х)э = (! + Аэ) э(Хз~ бХз = АэбХз в) для ОАэ (бх)э — (бХ)э = (1 + Аэ) АХ~~ — АХ~~ = АэбХ~э. Из уравнения (3.36) для ОС имеем 0 О 0 0 Аэ 2А 0 2А Аэ (бх)э — (э(Х) = (О, э(ХМ э(Х 1 - А' (э(Хг+ ЛХз) + 4Аэ(Хм(Хэ Изменеияя ОА и ОВ можно установить тем же путем.
3.14. Для поля перемещений задачи 3.11 вычислить материальный градиент смещения з н использоватьэтот тензор для определения лагранжева тензора конечных деформаций (.п. Сравнить с результатами задачи 3.11, В силу условий задачи 3.11 компоненты вектора перемещения равны и О, иэ ~ АХ„иэ АХ„так по Ю= 0 О, А и Лэ-У= 0 Аэ 0 Тогда по формуле (3.40) 210= 0 0 А + 0 0 А + 0 Аэ 0 0 Аэ 2А что совпадает с результатами задачи 3.11.
2$.=(У+Лэ)= 0 0 А + А 0 0 = А 0 А Путем обращения получим формулы для перемещений иэ А (Аэхэ+ хэ — Ахэ)((! + А), из = А ( — Ах, + Азха+ ха)/(1+ А), иэ = А (х, — Ахэ + Аэхэ)/(! + А'), 3.15. Дано поле перемещений х,= Хт + АХ„х, = Хэ + АХ„ х, = Х, + АХ„где А — константа. Вычислить лагранжев тензор линейной деформации Е и эйлеров тензор линейной деформации Е. Сравнить Е и Е в случае, когда константа А очень мала.
Из (3.42) 14О Гл. 3. дниорь!Ацни откуда по формуле (3.43) найдем А' ! — А Аз — А ! 2Е (К+ К,) = " — А Аз 1 + " 1 Аз А 1+ Аз Аз 1 — А А' — А 1 Аз 2Аз 1 — А 1 — А 1 — А 2А" 1 — А 1+ Аз 1 — А ! — А 2Аз Если константа А очень мала, то членами с А" и более высокими степенями А можао пренебречь. В результате Е сводится к ь. 3.16. Поле перемещений задано формулой н = Х~!Хзез+ 2 т + (Хз — Хз) ез + ХзХзе,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
