1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Вектор напряжения в точке Р, согласно (2.!4), в матричной записи имеет вид О ?С О (Г,") =(а/а, — а/„ т/а) 7С О вЂ” 4С - ( — 28С/9, О, 16С/9). Π— 4С О в) В силу (2.37) для главных напряжений о имеем уравнение — а 7 О 7 — а — 4 = о (аз — 65) = О, Π— 4 — о отнуда о ) 65, оц О, оцг — г 65. Величина мансимального касательного г г напряжения поформуле(2.546) равнаоз (оааа — оа)/2 = ~1 65. Так нак среднее норяаальное напряжение в точке Р равна ола = (па + ац + о1 ц)/3 = О, главные значения девнатора напряжений те же, что и у тензора напряжений. г) Круги Мора изображены на рис.
2.33. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 2.41. В точке Р даи тензор напряжений наг= 7 21 О «о гз. х лнллиэ нлпннжпнного состояния Определить вектор напряжения а точке Р на площадке, параллельной плоскости: а) ВСЕ, б) ВОРС в элементарном паоаллелепипеде, изображенном на рис. 2.34. т: а) !'т-«+ + 12ез + 9ез' б) ! т (21е, + + 14е, + 12ез)/ ~5. 2А2. Определить нормальную и касательную компоненты напряжения на плоскости ВОРС задачи 2.41. Рис. 2.34. 0 1 1 2 ! 1 а)о.= 1 О 1 и б)п/= 1 2 1 Ц 1 ! О ! 1 2 и показать, что главные оси этих тензоров совпадают. Оомет: а) а, 2, а!, о = — 1; б)а, 4, ап огп 1. 2.45.
Разложить тензор напряжений оц = — 1О О ЗО на шаровую часть и девиатор и найти главные значения девиатора напряжений. Отзеос з, = 31, зп = 3, а!и — 39. 2.46. Показать. что нормальная компонента вектора напряжения на октав рической плошлаке равна одной трети первого иивариаита тенэора напряжений.
др 2.41. В некоторой точке задан тенэор напряжений О ! 2 пи= 1 а„! 2 ! О причем величина п,з не указана. Определить пм тах, чтобы вектор напряжения на некоторой площадке в этой точке обращался в нуль. Найти единичную нормаль к этой свободной от напрнженкн площадке. Ответ: ом = 1, и = (т — 2е, + ез)/1 6 Ответ: пд 63/5, оэ 31,?/5. 2.43. Главные напряжения в точке Р таковы: а! 12, о, 3. и!и — 6.
Определить вектор напряжения и его нормальную компоненту на октаздрической площадке в точке Р. Оттт: ! "' 02ез + Зез — без)/)/3, п,~ 3. 2.44. Определить величины главных напряжений для тензороа донолнитнльнын злдлчи 2АЗ. Построить круги Мора и определить максимальное касательное насряжение для следующих напряженных состояний: а)пг= т т О; б)о,= Π— т О Отвеин а) ол — с; б) аз = Зт/2. 2.49. Используя результат задачи 1.58 и закон (2.27) преобразования напряжений, покивать, что произведение е!!хере аша; оьж является инвариантом.
2.50. Поле напряжений в сплошной среде задано тензором х,х, (1 — хе) х, О 2 3 п~,. — — (1 — хтт) «г (хвт — Зхт)/3 О О О 2,' Определить: з) распределение массовых сил, если уравнения равновесия удовлетнорены повсюду; б) величины главных напряжений в точке Р(а, О, 2)' а); в) мвкснмальное касательное напряжение в точке Р; г) главные значения девнатора напряжений в точке Р. Оаеепм а] Ьз = — 4хз! б) а,— а, 8а; в) ~4,5а; г) — !1а/3, — 5а/3„15а/3. Глава 3 Деформации 3.1.
Частицы и точки В кинематике сплошной среды смь(сл слова «точка» должен быть строго уяснен, так как оно может относиться либо к «точке» пространства, либо к «точке» сплошной среды. Во избежание недоразумений слово «точка» будет использоваться исключительно для обозначения места в неподвижном пространстве. Слово «частица» будет означать малый элемент объема (нли «материальную точку») сплошной среды. Короче говоря„точка есть место в пространстве, а частица — малая часть материального континуума.
3,2. Конфигурация сплошной среды. Деформация и течение В любой момент времени ( объем 1~ сплошной среды, ограниченный поверхностью 5, занимает некоторую область Р физического пространства. Если в определенной системе координат указано соответствие частиц некоторого объема сплошной среды и точек пространства, которые они занимают в момент времени (, то говорят, что в этот момент времени указана кон«рагурацая сплошной среды.
Термин деформация относится к изл1енению формы континуума от некоторой начальной (недеформированной) конфигурации до последующей (деформированной) конфигурации. При изучении деформации учитываются только начальная и конечная конфигурации; промежуточным состояниям, или частной последовательности конфигураций, по которым происходит деформация, внимания не уделяется. В противоположность этому термин течение используется для обозначения непрерывного состояния движения контииуул1а.
В самом деле, изучение истории конфигурапии является неотъемлемой частью исследования течения. для которого задано переменное во времени поле скоростей. 3.3. Радиус-вектор. Вектор перемещения На рис. 3.1 изображены недеформированная конфигурация материального континуума в момент 1 = 0 и деформированная конфигурация того же самого континуума в более поздний момент времени 1 = й В проводимом нами исследовании целесообразно з.з.
глдигс-ввктог вектог пегельнцвння отнести начальную и конечную конфигурации к различным осям координат, как зто сделано на рисунке. Тогда в начальном состоянии характерная частица среды занимает точку Р, пространства и имеет радиус-вектор Х = Хд!ь+ Хз!з + Хз(з = Хк)к (3.1) относительно ортогональных декартовых коордьшат ОХ,Х,Хз. Здесь в качестве индексов суммирования использованы заглавные г Рис. 3.1. буквы; они будут появляться также а некоторых равенствах и в дальнейшем, но нх использование в качестве индексов суммирования ограничено этим параграфом. В остальной части книги заглавные буквы служат только различительными верхними или нижними индексами.
Здесь они применяются для того, чтобы особо подчеркнуть связь некоторых выражений с сььстельой координат пространства начального состояния (Х„Х„Х,), которые называются материальными координатами. В деформированном состоянии частица, которая сначала была в точке Р„займет положение Р и будет иметь относительно ортогональных декартовых координат ох,х,х, радиус-вектор х = х,е, + х,е, + х,е = хеь. (3.2) Здесь в качестве нижних индексов использованы строчные буквы, чтобы указать на связь с координатами (хм х„х,), которые дают текущее положение частицы и часто называются пространственными координатами.
Относительная ориентапия материальных осей ОХ,Х,Х, и пространственных осей ох,хзх, характеризуется направляющими косинусами аьк н акы которые определяются скалярными произведенияльи единичных векторов (3.3) ез. )к = 1к' ез — — азк = акт Гл. а деФОРМАИ ~и Суммирование по индексам в этих выражениях не подразумевается, так как р и К вЂ” различные индексы. Ввиду того что дельта Кронекера определяется равенствами 1к . 1р — — бкр и 'ел ° ер = блр, условия ортогона ьности пространственных и материальных осей прннил1ают вид акракр —— аркарк = брр, аквамр -— — аркарм = бкм (3.4) Вектор н, соединяющий точки Р, и Р на рнс.
3.! (соотвегственно начальное и конечное положения часпщы), называется вектором перемещения. Этот вектор можно записать в виде (3 5) н = прел илн же в виде !) = (1к1к. (3.6) где компоненты (лк и и„связаны через направляющие косинусы аею Согласно (1.89), единичный вектор ел выражается через материальные базисные векторы 1к следующим образом: ел = арк1к.
(3.7) Подставляя (3 7) в (3.5), получаем н = ил(алк)к) = (7к1к = Ю, (3.8) откуда Ук = аркин (3.9) Так как направляющие косинусы — величины постоянные, компоненты вектора перемещения, как видно пз (3.9), подчиняются правилу преобразования декартовых тензоров первого ранга, что и следовало ожидать. Вектор Ь на рис, 3.1 служит для определения положения начала координат о относительно точки О; очевидно, и=Ь+х — Х, (3.10) В механике сплошной среды очень часто существует возможность совместить системы координат ОХ,Х,Х, и ох,х,х,; тогда Ь == О, а (3.10) принимает внд и = х — Х. (3.1Ц В декартовых компонентах это равенство в общем случае выглядит так: и„= хр — алкХк. (3.
12) Однако для совл1ещенных осей триэдры единичных базисных векторов обеих систем одни и те же, а это ведет к тому, что направляющие косинусы арк превращаются в дельты Кронекера. Вследствие этого Зз. ЛАГРАНЖЕВО И ЭНЛЕРОВО ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ (3.12) упрощается и сводится к равенству и =х„— Х, (3.!3) где в качестве нижних индексов используются только строчные буквы. В остальной части книги, если специально не оговорено противное, материальные и пространственные оси предполагаются соемещенныли, и поэтому для индексов будут применяться только строчные буквы. ° 3.4.
Лагранжево и зйлерово описания движения Если в некотором объеме сплошной среды происходит деформация (или течение), то его частицы двигаются вдоль различных путей в пространстве. Это движение можно описать уравнениями вида х, =х,(ХИ Х, Х, 1) = х,(Х, 1), или х =х(Х, !), (3.!4) которые дают положение х, в текущий момент частицы, занимавшей в момент 1=0 точку (Хь Х, Х„). Таким образом, (3.14) можно толковать как установление соответствия между точками начальной конфигурации и нх положением в текущем состоянии. Предполагается, что такое соответствие взаимно однозначно и непрерывно с непрерывными частными производными любого порядка, который потребуется. Такой способ описания движения илн деформации, выраженный формулой (3.14), называется лагранэхеаым.
С другой стороны, если движение или деформация задаются уравнениями вида Х,=Х,(х„х„х, 1) =Х,(х, 1), или Х= Х(к, 1), (3.15) в которых независимыми переменными являются координаты х, и время 1, способ описания называется эйлеровыл. Это описание можно рассматривать как такое, которое позволяет проследить к начальному положению частицу, которая теперь занимает положение (х„х„х,). Если (3.!5) дает непрерывное взаимно однозначное соответствие с непрерывными частными производными, как было допущено для (3.14), то эти два соответствия представлены единственной парой взаимно обратных функций. Необходимым и достаточным условием существования обратной фушспии является отличие от нуля якобиана дх~ (3.16) Например, лагранжево описание движения уравнениями х, = Х, -1- Х, (е~ — 1), х, = Хт (е ' — 1) + Х„ (3.1У) х,=Х, 116 г .
а двеовмхцььи имеет взаимно обратную эйлерову формулировку — ед+ ке (е — 1) ! — е' — е ' хь(е ' — 1) — х, х,= ! — е — е (3.18) Хе =х,. 3.5. Градиенты деформации. Градиенты перемеьцения М дх,/дХ, дх,/дХ, дх,/дХ, дхе/дХь дхе/дХе дхе/дХ = (дхь/дХ/), дх,/дХ, дх,/дХ, дх,/дХ, (3.20) Частное дььффереььцированьье (3.!5) по хь приводит к тензору дХь/дхп который называется пространственным градиентом деформации. Этот тензор представляется диадььком дХ " дХ " дХ Н=Хь'е д еь+ д ее+ д ем (3.21) имеющим матричную форму х Х, дХ,/дх дХ,/дх, дХ,/дх, дХ,/дх дХе/дх, дХе/дх, дХ,/дх, дХ,/дх, дХ /дх, = (дХ1/дх/). (3,22) Дифференцирование (3.14) частным образом по Хь приводит к теььзору дх,/дХп который называется лиипериальным грпдиентом деформации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
