1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Показать, что сумма квадратов модулей этих векторов ие зависит от ориентации координатных плоскостей. Пусть о — указанная сумма. Тогда «(е,)«(е,) + «(е,) «(а,) + «(е,)«(еп ( ( а нз (2.7) следует, что 5 = аиаи+ азрт(+ аз(аз( —— о(,ая — инвариант. 2.5. Напряженное состояние в некоторой точке задано тен- зором напряжении о ао Ьо он= ао о со~, Ьо со о / 1/)/З 1/)ей 1/)са а ао Ьа аа а са а+Ь= — 1, откуда а -1- с = — 1, а+с= — !. Решая зти уравнения, получим а = Ь = с = — '/,.
Итак, решение дается генно. ром а — о/2 — а/2 ои = ~ — а/2 а — а/2~ — а/2 — а/2 о / 2.6. В точке Р задан тензор напряжений где а, Ь, с — константы, а о — некоторое значение напряжения. Определить константы а, Ь и с так, чтобы вектор напряжеяия на октаздрическаа площадке (см. задачу 2.22.
— //ерее.) с единичной нормалью и = (1/) 3) е, + (1/)' 3) е, + (1/р'3) е, был равен нулю. Для данных тензора напряжений и вектора нормали величина /,." =а(«л« (л) должна быть равна нулю. Заклюем зто в матричной форме: лк 2. АНАЛИЗ НАПяяжвилгото СОСТОЯНИЯ Определить вектор напряжения на площадке, проходящей через точку Р параллельно плоскости ЛВС, изображенной на рис. 2.21. Плоскость АВС определяется уравнением Зхл+ бхл+ 2гз= 12, а вектор единичной нормали к ней [см. задачу!.2) — уравнениелл 1 п = з/,е, + а/,ел + л/.,ел.
По формуле [2.!4) вектор напряжения мож- но определить умножением матриц Рис. 2.21 7 — 5 01 [л/г, л/г, л/г) — 5 3 ! =-л/г[ — 9, 5, !О). 0 1 2 Таким образом, 21"! = — л/т ел + л/г ел + лл/г ел. 2.7. Напряженное состояние в любой точке сплошной среды в декартовой системе координат задано тензором 5 хат 2х, 0 0 О 2х, Определить вектор напряжения в точке Р (2, 1, [' 3) на площадке, касательной в этой точке к цилиндРической повеРхности х, + хз —— 2 2 = 4. х Компоненты напряжения в точке Р принимают значения Х= 5 0 2тгЗ Единичный вектор нормали в точке Р определяется вектором йгай <р = !/лр = 2 2 = р [ха + ха — 4). Такилл образом, лглР = 2хлел + 2хлез и, следовательно, в точке Р Рис.
2.22. !Лр = 2ел + 2 г 3 ел. е", ТгЗТогда единичный вектор нормали в точке Р есть и = — л+ — е [это легко ви- 2 2 деть в из рис. 2.22). Наконец, вектор напряжения на площадке, перпендикулярной ЗАДАЧИ С РНШЕНИЯИИ к и в точке Р, равен б 5 0 5 0 2ЬЗ 0 2)'3 0 0 1(2 ) 3/2 или 1 "1 = Зег/2 + Зев + )' 3 ез. Преобразования тензора напряжений (ф 2.8) 2.10. Напряженное состояние в некоторой точке задано в декартовой системе координат Ох,х,х, тензором Х = — 2 ) 2 0 Уравнения равновесия (ф 2.7) 2.8.
Какой вид должны иметь компоненты массовой силы, если при распределении напряжений, указанном в задаче 2.7, всюду выполнены уравнения равновесия (2.24)? Подставим в уравнения (2.24) значения, непосредственно вычисленные по заданному в задаче 2.7 теизору иапряж ний Х: Зха+ 10хз+ О+ рЬ, = О, 0+ 0 + 2 + рЬз = О, О+ О+ О+ рьз — О. Эти уравнения удоалетворякпся при Ьг = — 13ха/р, щ = — 2/р, Ьз —— О. 2.9.
Вывести уравнение (2.20) из уравнения (2.)9). Начнем с уравнения (2.19): ацах!Г(ъ"1ДЗ + ~ вцах рбад(г = О. 3 и ( Подставим Г,ь! = ацгц в янтеграл по поверхности и преобразуем результат я интегралу по объему по формуле (1.157): (вцахала) прг(З = ~ (знахарь) ~йг, 5 н Выполним в атом интеграле по объему дифференцирование и объединим результат с другим интегралом по объему, входящим в формулу (2.19): а;р, [х. а а+ х! (а а + рЬА)) Д(г = 0 Но вследствие уравнений равновесия а а + рЬА = О, а х- = б!р, н поэтому а .я г,а интеграл по обьему приводится к виду (2.20): ) вцаа)ад$' = О. ги з. лнллиэ напряженного состоянии Определить тензор напряжений Х' для повернутых осей Ох!хзхз, которые связаны с осями без штрихов тензором преобразования О [/)' 2 [Ц'2 А = [Д'2 '/ — '/, — [ /)$2 '/, — '/, Формула (2,27) дает закон преобразования напряжений в виде о! = цра/цорд или Х' = А Х .
А,. Летальные вычисления лучше провести умножением мат риц [а, ) = [а!р) [о р[ [ае/), согласно формуле (2.22). Таким образом, 2 — 2 Π— 2 12 ΠΠΠ— )г2 О 1/)' 2 1/Р2 [а, ) = 1/Г' 2 1/2 — 1/2 — 1!) 2 1/2 — 1/2 О 1/)!"2 — ! ) 2 1/и 2 1/2 1/2 1/)~2 — !/2 — 1/2 О ! — Р'2 — 1 аа, — — а. л и. = о л!и, О ! ! /' но, согласно (1.94), и,. = о!!ил и поэтому о!лр =она па,.из=о =о и„ир, где в последнем члене использованы новые инзексы суммирования. Таким образом, (о; о! а. — а ) ирие = О, а поскольку направления осей без штрихов произвольны, аг!огра/ч = арч 2.12. В системе осей без штрихов (рис.
2.23) тензор наша пряжений дан в виде ог= О т О Рис. 2.23. 2.11. Показать, что закон преобразования напряжений можно получить, воспользовавшись выражением [2.33) ои = о!/п,и! для величины нормального напряжения на произвольной площадке, имеющей единичный вектор нормали и,. Так как а, — тензор нулевого порядка, в любой системе осей координат (со штрихами или без штрихов) он записывается одинаково: злдлчи с Решениями Определить тензор напряжений в осях со штрихами, направления которых указаны на рисунке.
Прежде всего необходимо полностью определить матрицу преобразования А. Ось л! составляет одинаковые углы с осями аяь поэтому первая строка таблицы преобразования, а также паз известны: к, ~ 1/[3 ~ 1/) 3 ~ !/$/3 хз ! !/[/2 "3 Некостаюгдне элементы таблицы преобразования можно определить из условия ортогональиости вдов — — ЗМ. Читателю предоставляется в качестве упражнения показать, что 1/У'3 1/) 3 1/Р 3 — 2/)/6 1Д 6 1Д 6 Π— 1/Р 2 1/)'2 [оа[ = Следовательно 1/)' 3 — 2/) б О 1/[/3 !ф 6 — 1/) 2 1/Р 3 1/[/б 1/г' 2 [а '= с !/Р 3 — 2/$' б О 1/[гЗ !/)гб — 1/[г2 1/)' 3 1/Р' б 1/)г2 Полученный результат не покажется удивительным.
если рассмотреть круги Мора для напряженного состояния с тремя равными значениями главных напряжений. Поверхность напряжения Коши (5 2.9) 2.!3. Найти поверхности напряжения Коши в точке Р для следующих состояний напряжения: а) всестороннее равномерное растяжение [сжатие) аы = а„=авв — — а, а„=а!а=паз= О; б) одноосное растяжение (сжатие) атт —— а, а,л — — ааз —— ата — — атз — — а„= 01 в) простой сдвиг а„=а„= т, аы =а„=акт= ага =ам=О; 1/)~ 3 — 23' 6 О т~ 3 — 2т/У'б О 1/)г 3 !П'6 — 1/[/2 т5гЗ т/)/б — т/У 2 1/ 3 !/р б !/)' 2 т/)' 3 т/ б т/р' й г) плоское напряженное состояние ои — — а„= о, ащ — — аат = т, о,а — — озд — — о,а = О.
Согласно (2.32), уравнение поверхности напряжений в символической записи таково: Ь ° Х ° Ь = ~Аз. Используя матричную форму. получаем следующие результаты а) (ьи -',. 12! Отсюда видно, что поверхность напряжений для всестороннего равномерного рас- тяжения является сферой ~~ + ~~+ ьз = щйе)о. о 0 0 б) (~м(2,(з! 0 0 0 0 0 0 =а~~= ~ Ье ! Поверхность напряжений для одноосного растяжения представляет собой две плоскости, перпендикулярные линии действия напряжения. 0 т 0 а) (ьг Рт, Рз! т 0 О 0 0 0 = 2тЬтн = Ч- йз Поверхность напряжений для простого сдвига есть гиперболический цилиндр с образующей, параллельной оси яа. о т 0 г)[~г(з Сз) т о О 0 0 0 ь +2тьгь + 4= ~ йз Для плоского напряженного состояния поверхность напряжения представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси нулевого напряжения, и направляющей в виде кривой второго порядка.
2.14. Показать, что для напряженного состояния, заданного тензором Х= О Ь О поверхность напряжения (квадрика) Коши будет эллипсоидом (эл- липсоидом напряжения), если а, Ь и с имеют одинаковые знаки. Уравнение поверхности напряжений имеет вид = а~, +ЬЬ22+ с(з= ~ йа (! (2 ра ж Ьз Это эллипсоид — + — +— Ьг пс а 0 0 (ьг,ьз, Ра) 0 Ь 0 0 0 с о1 Гл. 2.
АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСГОЯНИЯ ~2 = ос~+ ел~+ ой~ = ~ йз (а ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Главные напряжения (ф 2.10 — 2.11) <1<,= 1 0 2 Определить главные напряжения и главные оси тензора напряжений, с которыми будет связана система осей координат Ох,х хз. Согласно (2.37), главные напряжения и определякггся иэ уравнения 3-зо '1ч 1 2'' я =-О, или в развернутом виде (о+ 2) (л — 4) (о — 1) = О. Главные напряжения явля]ется корнями этого уравнения о, = — 2, о = 1, о<з = 4. Пусть ось х< совпадает с осью главного напряжения о<1, и пусть П( и] <з] < >' направляющие косинусы этой оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
