1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ясно, что элементарная сила йГ, зависит от выбора ЬЗ н от и,. Следует также заме',ать, что распределение силы на Л8 не обязательно однородно. В са11ом деле, в общем случае зто распределение эквивалентно одной силе ч моменту, приложенным в точке Р и представленным на рпс. 2.2 векторами й(, и ЬМР Гл. я АнАлиз нАпияженнОГО состояния Средняя сила, отнесенаая к единице площади площадки М, задается величиной Л),/ЛВ. //риниип напряжения Коши утверждает, что это отношение Л)';/Л5 стремится и определенному пределу ф,/Ж, когда ЛЗ стягивается в точку Р, в то время как момент силы Л/,- относительно точки Р в пределе стремится к нулю.
Результирующий вектор с(/,/Ю (сила, отнесенная к единице площади) называется вектором напряжения /("' (рис. 2.3). Если бы момент в Рис. 2.3. Рис. 2.2. точке Р при предельном переходе не обращался в нуль, то в этой точке был бы также определен вектор момента (пары) напряжений, изображенный на рис. 2.3 стрелкой с двойным острием. Один из разделов теории упругости изучает такие поверхностные пары, но в этой книге они не рассматриваются.
Вектор напряжения определяется следующим образом: г г1 = 1ип — = —, или 1 = 1цп — = —. (2.4) (ю . Л1 Ж Ав„, Л2 вк ' АЗ О /ЛК Обозначение /("~ (или (м') используется для того, чтобы подчеркнуть тот факт что вектор напряжения в данной точке Р сплошной среды, очевидно, зависит от ориентаци~~ выбранного элемента поверхности ЛЗ, которая задается единичным вектором нормали и,- (или и). Если взять любой иначе ориентированный элемент поверхности с другой единичной нормалью, то связанный с ним вектор напряжения в точке Р тоже будет другим.
Вектор напряжения, выражающий действие через площадку Л5 в точке Р материзиа, расположенного внутри $', на внешнюю среду, есть вектор †/)"'. Тогда по закону Ньютона о равенстве действия и против„"действия — 1~т = /Ф вЂ” "), или — Вю 6 — ">. (2.5) Вектор' напряжения иногда называют вектором натяжения, яа НАпгяженнае ЕОстояние В тОчке, тензОР нАпРяжении 21 2.5.
Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений Принцип напряжения Коши ставит в соответствие в произвольной точке Рсплошной среды каждому единичному в ктору нормали вн определяющему ориентацию бесконечно малого элемента по- ! верхности, содержащего точку Р, вектор напряжения 4"' (рис. 2.3). Совокупность всех возможных пар таких векторов 1;"' и и, в точке Рис. 2.4.
Р определяет напряженное состояние в этой точке. К счастью, для того чтобы полностью описать напряженное состояние в данной тачке, нет необходимости указывать все пары векторов напряжения и нормали. Это можно сделать, задавая векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках в точке Р. Для определения напряженного состояния в точке выберем плоскости, перпендикулярные асям координат, н будем обозначать векторы нормали и наеояжения так, как это сделано на рис. 2.4. Для удобства три отдечьные схемы рнс. 2.4 часто заменяют одним схематическим изооражением, приведенным на рис.
2.5. Каждый из трех векторов напряжения на площадках, параллельных координатным плоскостям, согласно 11.69), можно выразить через их декартовы компоненты: 22 Гл. 2. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ((' ) = /(' ) Е« + /(еа Е. + /( ) Е = /(Я ) Е, 2 э З=,' / (( 1) = /(")е, + р )е, +/(,)е, = /(.'*)е; 2 э З вЂ”;* /. ((е,) /(еа) Е [ /!еа) е [ /(е,) е /(е,) е ( 1 2 2 э э / / Девяти компонент векторов напряжений /( /) «) (2.7) являются компонентами декартова тензора второго ранга '), так называемою Гпензора напряжении.
Этот тензор напряжений мы (2. 6) о„о„о,з Х= о„о„о„, и и [он[= «'З« «"Эз Озз о„о„о з о„о„о„ «)З« «)Зэ Оэз (2.8) Напряжения, определяемые компонентами тензора напряжений в декартовой системе координат, и координатные плоскости изображены на рис.
2.6. Компоненты о«„озм о,э, соответствующие перпендикулярным к указанным площадкам силам-,называются нормальньи ми напРЯжениЯми.' Компонеиты оы, ол„о,(, о„, оьо озм ДействУюЩие в касательных плоскостях, называются касательнйл(и напряжениями (илн на/)ряжениялш сдвига). Компонента напряжения положительна, еб/гй на площадке, внешняя нормаль к которой совпадает с положительным направлением Одной из осей координат, сила действует вдоль положительного направления агой оси.
Компонента о;; задает силу, действующую в направлении /сй оси координат на площадку с внешней нормалью, параллельной /-й оси координат. Все компоненты напряжений, изображенные )а рнс. 2.6, положительны. ') Это обстоятельство можно доказать с немов(ыо формулы (2.!2): см. также задачу 2.!!.— //рим. ред.
Рис. 2.5. Рис. 2.6. обозначил( через Х, так что развернутые (покомпонентное и матричное) его представления будут иметь следующий вид: ЕЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕНЗОРОМ НАПРЯЖЕНИИ И ВЕКТОРОМ НАПРЯЖЕНИЙ 73 2.6. Связь между теизором напряжений и вектором напряжения Связь между тензором напряжений О;; в точке Р и вектором напряжения 1';"' на произвольно сриентированной площадке в той 27е точке можно установить из условия равновесия сил, или уравнения количества движения для элементарного матери- "1; ального тетраэдра с вершиной в точке Р. Возьмем основание тетраэдра перпен-, ~~,~~,.„:за: ~~а) днхуЛярНЫМ К Ло а трн -1, ~,!4йУ~~ кулярными к осям каор- ~4."""-'.:фЬ~~~4~ф':;:., в х 'рис.
2.7. Пусть б$ — пло- ' '..~ '~Ф" щадь основания АВС; тогда площади боковых гра- А -тма' ией как площади проекций основания на координат-' Рис. 2.7. ные плоскости будут равны Ю, = А$п, для грани СРВ, с($, = с($п, для грани АРС и д$, = г)$п, для грани ВРА, или И$,- = сЮ(п е,-) = Н$соз(п, е,) =Н$пп (2.ф На рисунке показаны векторы средних значений напряжений — 1;<е7! на боковых гранях и 1;.<м на основании, а также средней л1ассовой силы Ь; (включая силы инерции, если они имеются), действующих на тетраэдр. Для равновесия тетраэдра под действием этих сил необходимо, чтобы выполнялось равенство 1,.
<Ч($ — !'.«Нб$,— 1А-"-!($,— 1'.< ($з+ рЬ',Ь =О. (2.)О) Если теперь линейные размеры тетраэдра будут пропорционально уменынаться, то массовые силы, малость которых на порядок выше, будут стремиться к нулю быстрее поверхностных сил. В то же время векторы средних напряжений стремятся к характерным значениям, которые присуШи указанным направлениям в точке Р. Таким предельным переходом с учетом (2.9) равенство (2.
)0) приводится к виду 1«~Н$ = 1«пп,с($+ 1«ип,с($+ 1«1П1$ = 1! Дят($. (2.! !) После сокращения на общий множитель с($ и использования тождества 1«р =От соотношение (2.)!) будет выглядеть так: ф=одп, или (<ю=и 2„ (2. ! 2) Гп. г. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ С(ютношение (2.12) часто представляют в матричной записи [)(,п)! = [пм! [аг)[ которую можно развернуть следующим Образом: (2.13) ам а) а з а„аз, а,з азт азг азз [~(п) 1(п) 1(п) ! [п (2. 14) Матричное равенство (2.!4) эквивалентно уравнениям в компонен- тах г(п) = пга + пга + и аз(, 1( ) = пга(г + пгагг + пза (2.15) (зп) = пга,з+ пгагз + пзазз.
2.7. Равновесие сил и моментов. Симметрия теизора напряжений Для равновесия произвольного объема У сплошной среды под действием системы поверхностных сил ф) и массовых сил Ь, (вклют(й\ чая силы инерции, если они существуют), изображенных на рис. 2.8, требуется, чтобы результирующие сила и момент, действующие на этот объем были авны н лю. ис Р Суммирование поверхностных и массовых сил приводит к интегральному соотношению ~1."т+~ рь,.[[ =О, или (2.16) Р . 2.8. )1(Ю+)РЬЛ'=О. Заз(ЕНЯЯ ЗДЕСЬ ((п) ЧЕРЕЗ ОЛП, И ПЕРЕХОДЯ От ИвтЕГРЕЛа ПО ПОВЕРХ- ности к интегралу по объему при помощи теоремы Гаусса — Остроградского (1.157), приводим уравнение (2.16) к виду ) (а;(з+ РЬ()([й' = О, или ) (А) Х+ РЬ) ([и' = О. (2.17) У У 2.9. ЗАКОНЫ ПРЕОВРАЗОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИИ Поскольку объем )л произволен, подпитегральное выражение в формуле (2.17) должно Обратиться в нуль, так что ада+ рЬ, = О, или Ч Х+ рЬ = О.
(2.18) Эти уравнения называются уравнениями равновесия. При отсутствии распределенных моментов (поверхностных и массовых пар) для равновесия моментов относительно начала отсчета требуется, чтобы виях~а'>д5 -1- ~ е;;Ах,рЬАс()л = О, 5 (2.19) или х х 1~"МЗ+ ~х х рЪй)" =- О, где х9 — радиус-вектор элемента погерхности или объема. Снова совершив подстановку 1!">=анап применив теорему Гаусса — Остроградского и использовав результат, полученный в (2.18), объединим интегралы в (2.19) и придем к уравнению ) еияа;АН'= О, или ~Х,сПл = О.
(2. 20) В силу произвольности объема )л из (2.20) следует, что еОАа;А = О, или Х, = О. (2.21) ФоРмУла (2.21) содеРжит в себе Равенства а„= аен а„='а,9, ага = ало ИЛИ аа = ад, (2. 22) которые показывают, что тейзор напряжений симметричен. Учитывая (2.22), уравнения равновесия (2.18) часто пишут в виде апд+ рЬ, = О, 12. 23) что в развернутой форме выглядит так: Аъ + й~ + АЪ +РЬ О дх9 д99 дх9 +д"' +рЬ,=О, (2.24) дх9 дх9 дкл 2.8.
Законы преобразования напряжений Пусть в точке Р две ортогональные декартовы системы координат Рх,х,х, и Рх|х9хз (рнс. 2.9) связаны одна с другой таблипей направляющих косинусов те Гл. 2. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ К) ам а(2 аз( Хз ам или — что эквивалентно — либо матрицей преобразования [а(11, либо тензором преобразо- вайня А = а((еее).
(2.25) Рис. 2.9. Подобным же образом по правилу преобразования (!.[02) для декартовых тензоров второго ранга компоненты тензора напряжений в двух системах связаны соотношением ') О;;= а(ла)зиле, или Х' = А ° Х ° А,. В матричной форме преобразование вектора напряжения записывается в виде [!'(и)[ [о 1[ [((п)[ а преобразование тензора напряжений — в виде [а(1) [а(„] [ор [ [ае))- (2.28) (2.29) В развернутой записи произведений матриц формулы (2.28) и (2.29) соответственно выглядят так: Рм ()гз ()зз ((п) 1 !'(и) 1 !(Ьз 2 ([п) б(п) 2 (2.30) (121 (122 ОЬЬ 1'(и) з аат ааз ааа з) Смотри задачу 2.11.— Прим.
рад Согласно правилу (!.93) преобразования декартовых тензоров ПЕРВОГО раНГа, КОМПОНЕНТЫ ВЕКтсра Налряжсиня !((п), ОТНЕСЕННЫЕ К осям системы без штрихов, связаны с компонентами (;.(и) в системе со штрихами формулой у;("1 = ацФ.'1, ИЛИ !'( ) = А ° [(и). (2.28) '9 ПОВЕРХНОСТИ НЛПРЯЖЕНИЯ КОШИ Оп ОРЗ %Э оз озз озз оз1 озз озз а„ам агз а„ а„ а„ а„аэз а„ ОМ ОМ ОРЗ ам азз ом озз озз аи азз азэ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
