1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так как из (2.55) следует, что а~ — ац ) О и а~ — ац1) О, а величина (п2)2 неотрицательна, то числитель в правой части (2.58а) 2 1а кРуГи моРА для нАпРяжения удовлетворяет соотношению (ан — ап) (он — ац ~) + (ГГЕ) >~ О, (2.59) которое в плоскости напряжений (а„, а.) представляет точки, лежащие енг круга [ан — (ац + аш)/2['+ (аз)' = [(ац — ош)/2]» (2.60) и на его границе. На рис. 2.15 этот круг обозначен буквой Сл. Точно так же из (2.55) следует, что ац — ащ ) 0 и оц — а| ~ (0; кроме того, величина (и,)' неотрицательна.
Тогда в формуле (2.586) числитель в правой части удовлетворяет неравенству (ан — оц|) (ал — а~) + (аз)' ~ О, (2.61) которое представляет точки внутри круга ;ан — (аш+ а~)/2)2+ (аз)' [(аш — а~)/2)», (2.62) обозначенного иа рис. 2.15 буквой С„и на гго границе. Наконец, из (2.55) видно, что а~ц — а1 ( 0 и аш — ац «" О, а величина (и )' неотрицательиа, поэтому из формулы (2.58в) следует неравенство (ан — а~) (ан — ац ) + (аз)2 > О, (2.63) которое представляет точки гнг круга [ан — (а~ + ап) /2['+ (аз)' = [(о| — ац)/2[2, (2.64) обозначенного иа рис.
2.15 буквой С„и на его граниГ[е. каждая гточка напряжения» (пара величин ан н аз) на плоскости напряжений (ан, аэ) соответствует вектору напряжения 4"', а напряженное состояние в точке Р, описанное формулами (2.58), можно представить на рис. 2.15 затененной областью, ограниченной кругами Мора для наприжения. Это построение подтверждает, что максимальное напряжение сдвига равно (а, — аш)/2, как 84 Гл х АнАлнз нАпРяженнОГО состоянья было установлено анали ически в 2 2.11. Вследствие того что знак напряжсиия сдвига ие имеет принципиального значения, часто изображают только верхнюю половину симметричной диаграммы.
Связь между диаграммой напряжений Мора и физическим напряженным состоянием может быть установлена при помощи рис. 2.16, Ряс. 2.18. на котором изображен первый октант сферы с центром в точке Р сплошной среды. Нормаль п, к сферической поверхности АВС в произвольной точке 1;1 одновременно является нормалью к элементу поверхности Т5 в точке Р. Из-за симметрии тензора напряжения и из-за того, что на рис.
2.16 использованы главные оси тензора напряжений, напряженное состояние в точке Р полностью характеризуется совокупностью тех положений, которые может занимать точка 1',1 на поверхности АВС. На рисунке круговые дуги К0, 6Е и РН указывают такие положения (;), где один направляющий косинус из п, имеет постоянную величину, а именно и, = соз~р на КС1, л, = соз11 на БЕ, и = созй на РН, а на граничных дугах ВС, СА и АВ и, = созп/2 = О на ВС, и, = сов п!2 = О на СА, л, = соз и/2 = О на АВ. В соответствии с первым из этих равенств и уравнением 12.5881 векторы напряжения для точек 1з, лежащих на ВС, будут иметь елз. плосков напгяжвннов состояние компоненты, определяемые точками напряжения на круге С, (рис.
2.15). Подобным же образом СА на рис. 2.!6 соотвегствует кругу С, на рис. 2.!5, а А — кругу С,. Компоненты вектора напряжения он и аз для произвольного положения 1~ можно определить при помощи построения, выполненного на рис. 2.17. Так, положение точки е на Са можно получить, проводя радиусы из центра С, под углом 2р.
Заметим„что углы в Рас. З.17. физическом пространстве (рис. 2.!6) прн переходе в пространство напряжений (рис. 2.17) удваиваются (дуга АВ на рис. 2.16 содержит 90', а соответствующие точки напряжения о~ и пп отстоят друг отдругана круге С на 180'). Аналогичным образом на рис. 2.17 получены точки я, й и ! и соответствующие пары соединены круговыми дугами, имеющими центры на оси пн. Точка пересечения круговых дуг де и й! дает компоненты он и пз вектора напряжения !!"' на площадке с нормалью п, в точке 1',> на рис.
2.16. 2ЛЗ. Плоское напряженное состояние В том случае, когда одно и только одно из главных напряжений равно нулю, говорят, что существует плоское напряженное состояние. Такая ситуация возникает в свободной от нагрузки точке на свободной поверхности, ограничивающей тело. Если главные напряжения упорядочены, то расположение кругов Мора будет иметь один из видов, представленных на рис. 2.18.
Если главные напряжения неупорядочепы и в качестве наиравлення нулевого главного напряжения взято направление х„то плоское напряженное состояние имеет только компоненты в плоскостях, параллельных плоскости х,хь При произвольном выборе ориентации ортогональных осей х, и х, в атом случае матрица Ги и АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ напряжений имеет вид пи оы 0 птл о о о (пн) = (2.66) Поверхность напряжения для плоского напряженного состояния является цилиндром, основание которого лежит в плоскости х,х, и описывается уравнением а„х| + 2а„х,х, + о„ххз =:Е й'.
(2.66) В элементарных курсах сопротивления материалов плоское напряженное состояние часто представляют одним кругом Мора. ( сл а3а 0 ил.= о Рис. 2.!В. О,лс Как показывает рис. 2.18, такое представление всегда неполно, так как для полной характеристики напряженного состояния нужны все три круга. В частности, если этот единственный круг окажется одним из внутренних кругов на рис. 2.18, то величина максимального касательного напряжения в точке не будет определена.
Диаграмма в виде одного круга Мора может, однако, указать точки напряжения для всех тех площадок в точке Р, которые содержат ось нулевого главного напряжения. Если оси координат выбраны в соответствии с представлением напряжений, данным формулой Рис 2 Нк ат зле девцхтое ц щиовон тензое нхпеяжении 2.14. Девиатор и шаровой тензор напряжений Очень часто бывает полезно разложить тензор напряжений аи на два тензора, один из которых (зиироеой тензор или тензор гидроститическик напряжений) имеет вид ам 0 0 Хм=ам]= 0 ам 0 0 0 ам (2.68) где ам = — р = озз/3 — среднее значение нормального напряже- ния, а второй (дееиитор напряжений) — вид а„— ам аы азз '( яы язз язз Хо = а„а„— ом азз ~ = — я„я„я, .
(2.69) зз азз азз — ам язз язз язз Зто разложение описывается формулами ап = бвазз/3+ ян, или Х = ам1+ Хи. (2.70) Главные оси девиатора яп совпадают с главными осями тензора аи. Таким образом, главные значения девиатора нипрлэсений равны я<з1 — — а,з1 — ам. (2.71) Характеристическое уравнение для девиатора напряжений так же, как и характеристическое уравнение (2,38) для тензора напряжений, представляет собой кубическое уравнение вида 5 +Пере П1хр 0 или з + (заяц + яцяги + ягцядя — я~яця ц = О, (2.72) (2.65), то для таких площадок уравнение единственного круга Мора для плоских напряжений будет ]ан — (ац + а„)/2]'+ (ая)' = ](о„— азз)/2]з+ (а„)', (2.67) На рис. 2.!9 представлены характерные точки этого круга.
Он имеет центр С в точке ан =- (а„+ азз)/2, и радиус его, согласно уравнению (2.67), равен /с = 1 ](ам — а„)/2]' + (а,дз. Точка А на окружности представляет напряженное состояние на элементе поверхности с нормалью и, (правой боковой грани прямоугольного параллелепипеда, изображенного ца рис. 2.19). Точка В на окружности представляет напряженное состояние на верхней грани параллелепипеда с норлзалью и,.
Точки главных напряжений а, и оц так и помечены этими буквами на диаграмме, а точки Е и 0 на окружности являются точками максимального значения касательного напряжения. Гл. З. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ Летко показать, что первый инвариант девиатора напряжений 1лр тождественно равен нулю, что и объясняет его отсутствие в уравнении (2.72). ЗАЦАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Напряженное состояние в точке. Вектор напряжения. Тензор напряжений ($ 2.1 — 2.6) 2.1. Векторы напряжений туо и ((" ' в точке Р действуют со- ОтнигетВЕННО На ЭЛЕМЕНТЫ ПОВЕРХНОСТИ ПЬБ И ПЬБи. ПОКаЗатЬ, ~й') Ю что компонента т(") в нас( правлении п( равна компо- (п*) понте(; *'в направлении п; — - 6)' :.
— — — ' (р . р.ро). Требуетсн показать, что :Ы— В силу (2.12) ((" ) и( —— = ор(л.л(, а в силу (2.22) од = р (' Рнс. 2.20. = о(рь так что оял и( = (о((нй л,'. = ( " и',. (и) 2.2. Тензор напряжений в точке Р задан так: Х= О 5 О Определить вектор напряжения в точке Р на плон(алке с единичным вектором нормали и = '(зет — '/зез + 'lзеа. Из (2.12) нмеем 1(и) = и Х. Умножение лучше всею выполнить в матричной форме (2.13): г 7 0 — 21 — 2 0 4 (14 2 — 1Π— 4 4) — — — — — — +— =~ з з з ' з з~' Гакнм образом, 1'") = 4ез — рл!аез. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 2.3.
Для вектора напряжения задачи 2.2 определить: а) компоненту, перпендикулярную площадке; б) модуль «(("'1 в) угол между 1(гз и и. а) «((") . л = (4е, — 'е/зен' (з/ае, — е/аез + '/зез) = и/а. б) 1 «(в) 1 = )г 16 + 'ее/„5,2. в) Так как «(") ° л = 1«("))созе, то созО (и/е): 5,2ж0,94 и 6 = Ю'. 2А. Даны векторы напряжения /("', /('и и 1';"', действующие на три координатные площадки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
