1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1.61. Воспользовавшись соотношением Гамильтона — Кзли, найти (В)4 для тензора Проверить результат непосредственным возведением в квадрат (в)'. Характер исгическое уравнение для тензора В имеет вид 1 — Х 0 — 1 О 3 Х О Рз 2Хз 67+9) 0 †! Π— 2 — 3 По теореме Гамильтона в Кали тензор удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению. Следовательно, (В)з — 2 (В)' — 68 + 91 = О.
Умножив это равенство на В, получим (В)з = 2 (В)з + 6 (В)з — 96, или (В)з = 1О (В)'+ + З — 181. Отсюда найдем 2 0 1 3 Π— 3 18 0 О 5 0 7 (В)=10 090+ 09 Π— О Га 0=081 О, Пранерим этот результат, непосредственно умножая тензор (В)з самого на себя 2 О 1 2 О 1 5 О 7 (В)з = О 9 0 О 9 О О 81 О 1.62.
Доказать, что: а) Аи, б) АцАц, в) ецзез;РАнр являются инвариантами относительно преобразования координат (1.103), т. е. что Ан = А г, и т. д. а) Согласно (1. 103), Аг = а го А; следовательно, Ац рзоз!Ара = брздрч — — Арр — — Аз!. б) А!А =ама 1А а ~о„.А 6 6„А А А А =Аз!А!Г в) вцаез!РАзр внзвз!рощгоардрщ (бз(6(р бзрбя) ащ!озрдрщ =(6, — 6 „6 ) Ащ„=(6 За( — 6 „611) А, = вщ(ава„А „. 1.63. Показать, что бивектор произвольного тензора Тц за- висит только от Т161, однако произведение Тчог( теизора ТЦ на симметричьый тензор Яц от Т(01 не зависит. гл !. мАтеь!Ати«!еские ОснОВы По определению (1.110] бивектор тензора Т .
имеет компоненты о! = е, Т . «« !/е !ъ' или о! = е! (Т!/„, + Т . ) = с» „Т, так как ц „Т = О (е,, „аитиснмметричен по ! и Ь, а Т!.ь! симметричен по ««ндексам / и Ь). /! Указанное произведение можно записать в виде Т,,З, =- Т!«.,Б..+ Т; Зг.
и « = !«а «/ П/1 «/' Здесь т «Б,, = о н, следовательно, т! 5/ = тм Б/.. 1.64. Показать, что 0: Е равно 1) .Е, если Š— симметричный тензор второго ранга. Запишем тензоры в виде 0 = Рне!е! и Е = Ерцерец. Согласно (1.31), 0 ! Е = Р«/Е„(е«ер) (е/ . ец).
В силу (1.35) имеем 0 . Е = Р, Ерц (е/ ° ер) . (е! ец) Р«! Е (е! ер) (е« . ец), так кан Е = Е . Если теперь в последнем выражении поменять местами немые индексы р и а, то получим0 е= Рне (е!. ец) (е« . е„). 1.66. Пользуясь индексными Обозначениях!и, доказать векторное тождество Ч Х (а х Ь) = (Ь Ч) а — Ь (Ч а) + а(Ч Ь)— — (а . Ч)Ь. Пусть 7 Х (а Х Ь) = т; тогда ор —— е ц«е«/Адца/Ьь, нли ир — — вр„,еоь (а;Ь!) = ерц!е«!е (а! Ье + а/Ьь ) = (бр!Ьць — брьбд,.) (а ! дЬА + а;Ь„ц) а Ьц — а Ьр+а,Ь вЂ” ацЬ ц. А зто означает, что т = — (Ь 7) а — Ь (Ч а) + а (Ч Ь) — (а . Ч) Ь.
1.66. При помощи теоремы Гаусса — Остроградского показать, что ) и х (а х х) 35 = 2ЕУ, где У вЂ” объем, заключенный внутри 3 поверхности 5, и — внешняя нормаль, х — радиус-вектор любой точки объема 1», а — произвольный постоянный вектор. В индексных обозначениях данный интеграл по поверхности имееткомпоненты е «и в«/ьа/хе«/5.
По формуле (1.157) он переводится в шпеграл по объему (е !е .Аа,хе) «/У, Учитывая, что а — постояниыб вектор, последнее выражение можно преобразовать следующим образом: ~ ецр«е«/еа!хА„,ДУ = ~ (бц/бде — бц!,б!,!) а хд р«/У = ) (ацхр „— арх р) «/У = Г ~ (ацб — арб ) «и» = ') (зац — ад) «и» = 2ацУ. 1.67. Показать, что преобразование отражения осей координат (рис.
1.21) является ортогональным. 65 донолнитгльныи зАдАчи Из чертежа видно, что матрица преоб. разоваиия такова: о о1 [ао)=~0 — 1 О~. О О 1 Условия ортогональностн а а, = 5.» нлн М ага,. = бйн очевидно, выполнены. 6 мат. д ы / ричной форме зто можно проверить, пользуясь формулой (1.
! 17): Π— 1 О 0 — 1 О = О 1 О Рис. 1.21. 1.68. Показать, что (1 Х «) Р = «Х Р. 1Х «=(!" 1+)1+"й"й) Х («„!+о«)+о,й) = =- 1 («вй — «е)) + 1 ( — охй + «е!) + 1г (вы[ — ««1) = = («х 1] 1+ («х )) 1+ («хк) и = «1 Отсюда следует, что (! Х «) ° 0 = «Х 1 0 = «Х О. ДОПОЛНИТЕ 1ьНЫЕ ЗАДАЧИ 1.60. Покаэатгч что векторы и = 1+1 — и и « = 1 — 1 взаимно перпендикулярны. Найти тиной веьтор н, чтобы ц, «, гв образовали правый триэдр. Ответ: в = ( — 1/1 6) (1 + 1+ 2й). 1.70. Найти матрицу презбразования, свизыва!ощего тройку векторов ц, «, «г задачи 1.60 и орты осей координат.
1/р'з 1/р'з — 1/т/з 1/)/ 2 — 1/)' 2 Π— 1/)гб — 1~ )' 6 — 2/Рг6 О~пвет: [а01 = 1.71. Используе индексные обозначения, доказвтгч что: а) )г х= 3, !) о Х а=о,в)а 1/х= а, где х — радиус-вектор, а а — некоторый постонкный вектор. 1.72. Найти главные значения симметричной части тензора 5 — 1 Зд 7'г/.= ~ 1 — 6 — 6 г — 3 — 18 1 Отевт: ЛН) — — 15, ). т/ — 5, дь = 1О.
ЗД ° и ае 66 ГЛ >. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 1.73. Длн симметричного тензора Тг>= 3 7 4 определить главные значения и направления главных осей. г>гадал: А<!> = 2 )"гг> = 7 А!з> = !2 х, ~ х, з — 3/(5 )' 2) ~ 1/г' 2 х, — 4/(5 $ 2) х. 4/5 ! 0 — 3/5 3/(5 !' 2) / !/) 2 хз 4/(5 1 2) 3 2 0 В= 2 3 0 '/з(Р'5+ 1) '/,(Рб-1) 0 Отеещг )В —,/ (рг5 !),/ (ргб+ !) Ю о 0 3 !.78.
Воспользовавшись решениел! задачи !.40, т. е. равенством >)е! А = = вг ААмАз.Азз, показать, что де! (АВ) = де( А де! В. 1.79. Удостовериться в том, что: в) бз ор — — оз, б) 5 А т =- Арм в) 6 в,,„= = О, г) бгзб,зА;,- = Азз. 1.60. Преобразование, связывающее системы координат Ох>хттз и Ох,хзхз, задано таблицей 3/(51 2) ~ !/)' 2 ~ 4/(51 2) х, 4/5 ! 0 ~ — 3/5 — 3/(5 ] 2) ! /! )г2 ~ — 4/(5 )' 2) 1.74. Дан произвольный вектор ч и любой единичный вектор е.
Показать, что т можно разложить на две компоненты — параллельную и перпендикулярную векторуе,т.е. что т=(т е)е +е Х(тХе). 1.75. Пусть 1/ ° т = О, р Х т = в и >/ Х >т = — т. Показать, что Ч т = т. 1.76. Провести проверну решения задачи 1.48, показав непосредственным перемножением, что ) Т ) Т = Т. 1.77. Извлечь норень квадратный из тензора ДОПОЛНИТЕЛЪНЫЕ ЗАДАЧИ 67 а) Помазать, что выполнены условия ортогональностп а..а = 6» н т/ га /а б) Определить в системе со штрнхами координаты точки, имеющей радиусвентор х = 2е, — ез.
в) Как выглядит в системе со штрнхамн уравнение плоскости хт — кз+ Зк = = 1? Олмет: б) (2/(5 У 2), 11/5, — 2/(53/2)), в) рг2к~ — лз — 2 гг2хз= 1. 1.81. Поназзть, что объем У, заключенный внутри поверхности 5, можно задать выражением У = — ) у(х ° х) ° пЮ, где х — радиус-вектор, а ив единичный вектор внешней нормали к поверхности. Укаэанлзг запасать У в виде У = — 1(хгхг) / лзЮ н использовать формулу (1.157).
Глава 2 Анализ напряженного состояния 2Л. Понятие сплошной среды Хотя молекулярная природа строения материи точно установлена, во многих исследованиях поведения материалов важно поведение не отдельных молекул, а лишь материала как целого. В этих случаях при объяснении наблюдаемь|х макроскоппческих процессов не учитывают молекулярную структуру вещества, а предполагают, что оно непрерывно распределено по всему занимаемому им объему и целиком заполняет этот объем. Такая концепция епхюшностц вещества является основным постулатом механики сплошной среды (континуума).
В пределах ограничений, при которых гипотеза сплошности оправдана, эта концепция обеспечивает основу для единого изучения поведения твердых тел, жидкостей и газов. Принятие гипотезы сплошности как основы для математического описания поведения материалов означает, что поля величин, таких, как напряжения и перемещения, выражаются кусочно непрерывными функциями координат и времени. 2.2. Однородность.
Изотропия. Массовая плотность Однородным называется материал, имеющий одинаковые свойства во всех точках. Материал будет изотропным по отношению к некого.ому свойству, если 1 это свойство в точке окаРяс 2Л. зывается одинаковым по всем направлениям. Материал является анизотропным по отношению к темсвойствам, которые зависят от направления в точке. Понятие плооиости вводится для окрестности точки сплошной среды как отношение массы с.
объему. Обозначим массу малого 69 ВЬ ПРИНЦИП НАПРЯЖЕНИЯ КОШИ. ВЕКТОР НАПРЯЖЕНИЯ элемента объема ЛУ (рнс. 2.1) через ЬМ. Средняя плотность материала внутри йУ равна ам Рсь = ау (2.1) Пяотноорпь в некоторой точке Р элемента объема ЛУ в соответствии с понятием сплошной среды задается пределом ам пм р= 1пп — = —. ау л' Массовая плотность р является скалярной величиной. 2.3.
Массовые силы. Поверхностные силы Силы — это векторные величины, которые интуитивно лучше всего представляются такими понятиями, как давление или тяга. Те силы, которые действуют на все элементы объема сплошной срею, ~ В. ррррр йо р ржить силы гравитации и инерции.
Эти силы мы будем обозначать через Ь, (сила, отнесенная к единице массы) или Р, (сила, отнесенная к единице объема). Между собой они связаны включающим плотность соотношеняем рЬ, =Р„или рЬ=р. (2.3) Те силы, которые действуют на элемент поверхности, будь то часть граничной или любой внутренней поверхности, называются поверхнооппрыми силами. Онн обозначаются через 1, (сила, отнесенная к единице площади).
Силы контактного взаимодействия между телами относятся к типу поверхностных сил. 2.4. Принцип напряжения Коши. Вектор напряжения На рис. 2.2 изображена область )т пространства, занятая материальным континуумом, на который действуют поверхностные силы )р и массовые силы Ь;. Из-за того, что действие сил передается от Одной части среды другой, материал внутри произвольного Объема У, ограниченного поверхностью 3, взаимодействует с материалом вне этого объема. Возьмем п, в качестве единичного вектора внешней нормали в точке Р к малой площадке ЛЗ поверхности 5 и обозначум через йг, результирующую силу, действующую через площадку М на материал внутри У со стороны внешней среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
