1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(2.31) ом озз озз а„а„азз 2.9. Поверхности напряжений Коши Пусть в точке Р сплошной средь1 тензор напряжений имеет компоненты он, отнесенные к направлениям, параллельным местным декартовым осям РьзЫз (рис. 2.10). Уравнение , 4 о;дд = ~ Аз (А — постоянная) (2.32) )и р представляет геометрически подобные поверхности второго порядка (квадрики), имеющие об- 1~ щий центр в точке Р.
Выбор знака плюс или минус обеспечивает то, что поверхности будут дей- :4з ствительные. ва Рассмотрим вектор напряження Р"з на площадке с единичной з нормалью пс Радиус-вектор г, Рис. 2.10. идущий в направлении и к произвольной точке поверхности (2.32), имеет компоненты ~, = гп,. В точке Р нормальная составляющая о,п, вектора напряжения ф ~ имеет величину О = йэаП = 1~и> И = ОППП;. (2.33) Геометрическое место точек опгэ = сопз1 = ~йз, т. е. поверхность о~ад~ = оягэ = + яз.
(2.34) называется поверхностью напряжений Коиш (или квадрнкой Кааш). Из этого определевия следует, что величина оя нормальной компоненты напряжения на площадке с(Ь', перпендикулярной радиусу-вектору г в точке Р, обратно пропорциональна квадрату расстояния вдоль г от точки Р до поверхности напряжений Коши, т. е. Гл. Я АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 2.10. Главные напряжения.
Инварианты тензора напряжений. Эллипсоид напряжений В точке Р, где компоненты тензора напряжений равны ои, соотношение (2.12) 11"' = а„пг ставит в соответствие каждому направлению п2 вектор напряжения 1;"'. Направления, для которых 1)"' и и, коллинеарны (рис. 2.11), называются главными направлениями (илн главныма осями) тензора напряжений. Для главного направления имеет место равенство 2 1<м = оп, нли 1м1 = оп, Ф (2.35) где о — величина вектора наРвс.
2.11. п ряжения — называется главным напряжением. Подставляя (2.35) в (2.12) и используя тождества и; = бип, и оо = о;„приходим к уравнениям (он — б;,а) п1 = О, или (Х вЂ” ! О) и = О. (2.36) Три уравнения (2.36) содержат четыре неизвестных, а именно три направляющих косинуса и, н величину главного напряжения о. Для того чтобы система (2.36), кроме и; = О, имела еще и нетривиальное решение, детерминант из коэффициентов ~ оа — боа ~ должен обращаться в нуль, т.
е. О„,— а аы а„ а22 а22 О о22 = О, (2.37) ~ан — бяа~ = О, илн о„а„о„— о что после раскрытия определителя приводит к кубическому уравнению относительно а а' — 1хо'+ Пхо — !Пх =- О, (2.38) где он = ~ яэlгэ. Кроме того, можно показать, что вектор напряже- ния 1';"', действующий на такой площадке Ю, параллелен нормали к плоскости, касательной к поверхности напряжений Коши в точ- ке, радиус-вектор которой есть г. 2!О ГлАВные нАпРяжения, инВАРиАнты тензоРА ИАпРяжении 79 аю 0 0 0 ас(1 0 0 0 ао( [а((] ж о(0 0 О он 0 0 0 оп( или [ан] = (2.44) Во второй форме в качестве индексов использованы римские цифры для того, чтобы показать, что главные напряжения упорядочены, т.
е. а(~ан)ан(. Вследствие того что главные оси тензора напряжений сов- ][Ы падают с главными осями 2~~ поверхности напряжений Коши, значения главных ] '!( ! ][([( напряжений включают как ! максимальное, так и мини[[ь(' мальное значения компо! ~2 нент нормального напряжения в точке. В пространен(ее главных напряжений, т. е. в про- а„ странстве, где оси коорди- Ряс. 2.12. 1е = ан — (гХ, (2 39) Ва = (72 (о(р(; — с(;,а;(), (2. 40) 1Ва = ]а;;] = де( Х (2.41) называются соответственно первым, вторым и третьим инварианспами п(ензора налря2(сепий. Трн корня уравнения (2.38) ан(, ао(, ао( являются значениями трех главных напряжений.
Каждому главному напряжению о(21 соответствует главная ось, для которой направляющие косинусы и, ' находятся как решения уравнений ы! с(н — а(2(б(;)и(((= О, или (Х вЂ” а(21!) п(2( = 0 (й = 1, 2, 3). (2.42) Здесь верхние или нижние буквы, заключенные в скобки, являются просто индексами н не участвуют ни в каком процессе суммирования. Например, развернутая форма (2.42) для второй главной оси такова: (ам — ао() и( + а(2п2 + с((ьпз = О, (2> (и (( а2(пГ(~ [ (сг — о(в) п2 + о2 пз(в = О, (2.43) аа(п\ + аь(п2 + (а22 а(в) пз = О. (21 (и (в Так как тензор напряжений симметричен и его элементы — действительные числа, главные напряжения тоже принимают действительные значении.
Матрица [аи1, отнесенная к главным осям, имеет вид Ги г АНАЛИЗ НЗПРЯЖСННОГО СОСТОЯНИЯ наг совпадают с главными осями тензора напряжений, а единицами измерения координат служат величины (([, (з, (з ), [и) [и) [и) (и) как показано на рис. 2.12, произвольный вектор напряжения в соответствии с формулой (2.12) имен[ компоненты ([и) = о[опт, р") = а[г)лг, ([и) = а[з)п .
(2. 45) Но поскольку (нг)з + (п,)' + (и,)' = 1 для каждого единичного вектора и[, то вектор г;'") в пространстве главных напряжений удовлетворяет уравнению р[и))з (Г[и))з (Г[и))г (2.46) ([т )>)' (о г Р (о з>)з Это уравнение эллипсоида, известного под названием элли[[со[[да нап рнлеений Ламе.
2.11. Максимальное и минимальное касательное напряжение сгг = (!и)([й) — сгг. (2.47) Ряс. 2. [г>г, ([и) = о>ил, з (2.48) Разложим вектор напряжения ты — нормальную и касательную так, что а) ) ан ) ань Из (2. равны ([и) = о и, г'['з = а) 1 [г ()") на ортогональные компоненк элементу поверхности сб, на котором он действует. Величину нормальной компоненты можно определить по формуле (2.33), а квадрат величины касательной ' компоненп[ы (напряжения сдвига) получается как раз- ность г Зта операция продемонстрирована иа рис. 2 13, где оси координат выбраны по главным осям тензора напряжений и главные напряжения упорядочены 12) следует, что компоненты г",и' г.п.
мзксимхлъпог и миннмлльггог клсхтвльноа нхпгяжвниг щ а из (2.33) получается величина нормальной компоненты ан = агп! + аппг + ан!пз. г г г (2.49) Подставляя (2.48) и (2.49) в формулу (2.47), вычислим квадрат величины касательного напряжения как функцию направляющих косинусов и<! огз = и!п! + апиг + огп!пг — (и!п! + апиг+ с!!ппз) . (2.50) г г г г г г г гг Максимальное и минимальное значения аз можно получить из (2.50) методом множителей Лагранжа. Процедура состоит в построении функции г" = аз — )л,лз, (2.51) где скаляр Х называется множителем Лагранжа. Равенство (2.5!) представляет функцию направляющих косинусов п„так что условие экстремума (максимума или минимума) величины и имеет вид дг/дп, = О. Приравнивая нулю эти частные производные, приходим к уравнениям: и, (аг! — 2о! (а!пг+ аппг г+ ашизг) + Ц = О, (2.52а) и, (ап — 2ап(аги! + аппгг+ ашизг) + )) = О, (2.525) пз (о!и — 2аш (аги! + аппг+ апглз) + Л) = О, (2.52в) которые вместе с условием п,п; 1 можно разрешить относительно Х и направляющих косинусов и„и„из, соответствующих площадкам экстремальных значений касательного напряжения.
Вот одно из решений системы (2.52) и соответствующее ему касательное напряжение, найденное по формуле (2.50): л, = ~=.1, иг О, и,=. О, аз =О. (2.53а) и, = О, пг — — ~ 1, пз — — О, аз = О. (2.53б) л, = О, иг = О, из —— ~ 1, аз = О. (2.53в) Величины касательного напряжения в (2.53), очевидно, являются минимальными. Кроме того, так как (2.53) указывает на то, что этп величины обращаются в нуль на главных площадках, то направлепин, полученные в (2.53), совпадают с главными осями тензора напряжений. Другие решения системы (2.52) имеют вид: и, = О, и, = ~ 1/)!'2, л = ~ 1/)' 2, аз = (ап — ап!)/2; (2.54а) и, = ~ 1/1~'2„пг О, лз = ~ 1/)' 2, аз = (аш — а!)/2; (2.54б) и!=~1/$'2, пг=:Ь1/) 2, л =О, аа = (а! — ап)/2.
!2.54в) Гл. 2. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ Формулы (2.546) дают максимальное значение касательного напряжения, равное полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений. Таким образом, из (2.54б) следует, что максимальная компонента касательного напряжения действует в плоскости, которая делит пополам прямой угол между направлениями максимального и минимального главных напряжений. 2.12. Круги Мора для напряжения Удобное двумерное графическое представление трехмерного напряженного состояния в точке дают известные круги Мора.
Для того чтобы разъяснить это понятие, снова возьмем в качестве осей координат главные осн ~~ ~!)!В" нй тензора напряжений в точке ! Р, как показано на рис. 2.14. Г Предполагается, что все главные напряжения различны и а упорядочены, так что а1 ) аи ) оц,. (2,55) При таких условиях вектор Р== ад напряжения 1;о' имеет нормальную и касательную ком-а поненты, величины которых Рис.
2.!4. удовлетворяют соотношениям 2 2 2 ОА = а2п~ -1- аип2+ аин22, 2 2 2 2 2 2 2 2 ОА + аз= акн+ айп2+ агина. (2.56) (2.57) Комбинируя эти два равенства с тождеством п2п, = 1 и разрешая относительно направляющих косинусов п„получаем (и,)' = (ап — о2 ) (о д — о ~ ) + (о )2 (п~ — пц) (а1 — агн) (он — пш) (он — о1) + (оз)' (П2) (ац — оц,) (а, ~ — о ) (2.58б) (пз) (ао — о~) (оА, — оц) + (оз)2 (аш — о2) (ац1 — ан) (2. 58в) На этих равенствах основываегся построение кругов Мора на плоскости напряжений, где ось аи является осью абсцисс, а ось аз— осью ординат (рис. 2.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
