1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 17
Текст из файла (страница 17)
= аунр или в 1л,1= В соответсиии с этим углы, изображенные на рис. 2.16, имеют величины О = Р = = агс соэ а/в ~ 48,2' и ~р = агс соэ '/„70,5', а диаграмма кругов Мора, соответствующая рис. 2. 17, для данного случая построена на рис. 2.30. 2.26. Построить круги Мора для трех случаев плоского напряженного состояния, соответствующих напряжениям, действующим на элементарный куб, ребра которого параллельны осям ко1хз Х 1хт ГХ1 а Рис. 2 31. ординат, как показано на рис. 2.31. Определить касательное напряжение в каждом случае.
Круги Мора изображены на рис. 2.32. максимальное а б Рис. 2.32. Шаровой тензор и девиатор напряжений (ф 2.14) 2.27, Разложить тенэор напряжений а1 — — 4 9 — 2 О а/а а/а 1 0 0 /а /в Ч Гл. 3. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ на !паровую часть и девиатор и показать, что первый инвариант девиатора равен нулю. Мы имеем о оаа/3 = (12+ 9+ 3)/3 = 8; тогда 8 О О 4 4 О ог)=о,нби+зг- О 8 О + 4 1 — 2 О О 8 Π— 2 — 5 причем ал = 4 + ! — 6 = О. 2.26.
Показать, что девиатор напряжений эквивалентен супер- позиции пяти состояний простого сдвига. Существует разложение зьз зз = зьг О О + О О О + О О з + + Π— з О + Π— з О где два последних тензора, очевидно, зявиваленпгы состояниям простого сдвига по аналогии со случаями гаь и гб» задачи 2.26. Заметим также, что — чг — з = з»ь, посяольяу зл = О.
2.29. Определить главные значения девиатора напряжений для 10 — 6 О ао — 6 1О 0 0 0 1 Девиатор напряжений для ог! имеет вид агу= а его главные значения можно найти, приравняв нулю определитель 3 — з — 6 Π— 6 3 — з О =( — 6 — з)(а+3)(з — 9) =О. ΠΠ— 6 — з Таким образом, з = 9, зн = — 3, з,! = — 6. Тот же результат получится, если сначала вычислить главные значения тензора напряжений огп а затем воспользоваться формулой (2.71).
Для тензора ои, наи может убедиться сам читатель, главные значения равны и! = 16. он = 4„ап! — — 1, откуда з! = 16 — 7 = 9, з!г =-4 — 7= — 3, зп! =! — 7 = — 6. 2.30. Показать, что второй инвариант девиатора напряжений выражается через главные значения девиатора следующим обра- 163 ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ зом: Нхо = (нгзц + зплш + зшз~), или (что то же самое) Пхо = — '/з (зг + нц + зш) Хврзктеристическое уравнение для девизторв изпряжений, записанное через главные значения девивторз, получается прирввнивзиием нулю определителя зг — 5 О О О зц — 5 (51 — 5) (5ц — 5) (52 ц — 5) = О = О зцг 5 = У + (515ц + зцзцг + згг~зг) 5 — згзц5цц Отсюда в соответствии с (2.72) имеем Пл — — (5РИ + 5~15ИГ + зц252).
Твк кзк зг + зц + згц = О, то Пх — — '/5(25~522+ 25цзц, + 252Ц51 — (52+ зц+ 51Ц)ч = — /5(52 +зц+51Ц) 2 2 Смешанные задачи 2.31. Локазать, что любой симметричный тензор, например тензор напряжений о,/, при переходе к любой другой системе преобразуется также в симметричный тензор о;/. по формуле (2,27) а/. —— о, о/торе — — а/ча; оер — — оче 2.32. Главные напряжения в точке Р таковы, что 2оц — — о~ + + оць Определить единичный вектор нормали а, к площадке, на котоРой ом = оц и оз = (о~ — ош)/4.
Согласно (2.33), о// = пто + п~ (о, + оц )/2+ пзто 1, (о + о, й/2, и, тек кзк пз+ пз+ лт = 1, из совместного решения ятях двух уравнений можно получить лт = пз. Левее, из (2.47) оз~ = пто21 + лзз (о/ + ош)5/4+ п~~о~~11 — (а~ + о ц) /4 = (ог — оц~)е/16. Подставляя в зто урввнеиие лз = лд и и — 1 = — и, — л = — 2л,, в затеи рвз- 2 2 2 2 решая его относительно кы находим нзпрзвлянзпие косинусы от = 1/(2 1~2), лз = )' 3/2, пз = 1/(2 )/ 5/. Читзтелю предлагается использоввть зти результаты для тензорв напряжений оп — — О б О 2.33.
Показать, что разложить тензор напряжений оц на шаровую часть и девиатор можно только единственным образом. Предположим, что существуют двз разложения оп = бг/А + Е/ = бг/йч -1- + з,-, для которых зл = О и зц — — О. Тогда ап = 35= 3Д и, следовзтельно, А = л; в из Дбп+ Ч/ = Або+ 5,'./ следует, что зг/ = 5/.
г . х. анализ наппяжвнного состояния 2.34. Доказать, что если Х вЂ” симметричный тенэор с действительными компонентами, то главные напряжения тоже действительны. ац а агт ае, азт — а О О О а — а нлн (па — а) [(ац — а) (азт — а) — (о,з) [ = О. Так как днскрнмннант квадратнчной формы, стоящей в квадратных скобках, положителен: 0 = (а„+ азт)' — 4 [оцазз — (ад)е) = (ац — атт)'+ 4 (а,т)'> О, то н остальные корни должны быть действительными. 2.35. Используя метод множителей Лагранжа, показать, что экстремальные (максимальное н минимальное) значения нормального напряжения а!ч совпадают с главными напряженйями.
Из (2.33) ам = аип;п1, причем пгл; 1. По аналогии с (2.61) постровм функцню Н = ам — Лл;пг, для которой дИ!дпг = О. Тогда ОН вЂ” — аг!и! лп! + аг!пгп! л — 2Ллгл33! лл = а!)б!рп! + аип~Ь !а — 2Лбглп~ = а„!и;+ а! л! — 2Лбгллг = 2(а,— Лб )л! = О, а зто зквнвалентно уравнению (2.36) для определения главных напряжений. 2.36. Предположим, что компоненты напряжения ан получены иэ симметричного тензорного поля фг! при помощи соотношения ац = е,р,е, „ф,„, . Показать, что прн отсутствии массовых сил удовлетворяются уравнения равновесия (2.23). Пользуясь результатами задачи 1.58, найдем компонентм напряження аг! би (феялл фежел) + флгл1+ 4 йьлг ф ю.!! ф!г.лл нлн в развернутой запнсн ац = 'рзз,тт+ фзтзз.
ага = ааг — фзз тг аае = фц,за + фзз,ц азз- фМЛ! + фида а, =о, =- — фц зз, ам = атз = — фхт,п Прн действительных значениях компонент напряженна инварианты тензора напряжений действительны н, следовательно, все коэффициенты уравнения (2.38)— дейсгвнтельные величины. По теории танях уравненнй хотя бы один корень (главное значенне) должен быть действительным. Обозначнм его через а( н рассмотрим совокупность осей со штрнхамн к,, прячем направленне х соответствует а . Относительно таких осей характернстнческое уравнение нмеег внд 1ОУ ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Подставляя зтя значения в уравнение а / — — О, получаем о11 1+ о)22+ о!33 %3322! + (222331 ч)33212 фгг!33 = О, о2!! + о22 2+ о23 3 = чЬЗги + (ри 332+ (рзз 1 2 (р)1 ЮЗ вЂ” — О, озш + озгд+ озз,з = !Реь)31 (Ри.гзг+ 'Ггг,из+ аги,гю = О 2.3!.
Показать, что, как утверждается в 9 2.9, нормаль к поверхности напряжений Коши в точке с радиусом-вектором г параллельна вектору напряжения 1;"'. Пусть поверхность напряжений задана уравненнем !р = и(/(аь/ х йа = О. Нормаль я ней в любой точке определяется яая др, нлн д(р/дч( = е !. Следовательно, !р = а(/б,вс/+ о!/1)6/р — — 2ор!ь!. Но тая яан Ьг = гль последнее выра. жение превращается в 2орггп( нлн 2г (паалй = 2ф). 2.38. Тензор напряжений в точке Р, отнесенный к осям Ох,хзх„ имеет вид ПУсть новые оси Ох!хгхз полУчены повоРотом около начала отсчета, т. е.
преобразованием с матрицей /ь () /ь О 1 0 '/ о '/ (а(/1 = Определить вектор напряжения на каждой из координатных площа- док системы со штрихами путем проектирования вектора напряже- ния в первоначальных осях на направления осей со штрихами. Определить таким образом а(;. Проверить результат, используя (рормулу преобразования (2.27). Из (2.6) н тождества / а(/ (2.7) следует, что векторы напряженая яа (е() координатных площадках в снстелге без штрихов равны что соответствует стропам тенаора напряженнй. Проеятнруя зтн венторы на осн системы со штрихами, прн помощн соотношення (2.12) б") = шт(е') + л 1('*) + + ла((") получаем а/ (16" )бв ) а/ (26 ) 9 б 16", после преобразорання единичных базисных венторов зто равенство прнннмаат внд (в!) 2 = 9(з/ае!+а/аез) — бег 16( — а/ае + 3/ е ) = 91е /б бе 12ез/5, Гл.
г. АИАлиз нАпРяженнОГО сосГОяния Аналогично (ег1 631 + 533 вев 1 = — 12е 1/5 — 8ег + 84е~/5, так что 6 13/ь 5 — 8 8 ь/, 31/ аь = — б ! 13/ С другой стороны, по формуле (2.2т) 0 — ь/ — 1О 0 3/ 5 0 0 1 0 ь/ 0 3/ 0 20 3'/ь — 6 — "/ь — б 5 — 8 — /ь — 8 /з 9 — 6 — 10 5 12 — 8 3/ ь/ =1/3 (4+4+4п) — 2(313 +,;, +3 31). А так как 31 + зц + зц! О, то и (з1 + зц + вц1)' О. или 3 г 31 + вп + вц1 — — — 2 (в! зц + зп зцв+ зцв 31). Отсюда аект /ь ) = (/ — /в(1ир. 2.40. Напряженное состояние во всех точках тела задано тензором напряжений О Схв О ов/ = Сх, Π— Сх, Π— Сх, О где С вЂ” произвольная постоянная. а) Показать, что если массовые силы равны нулю, то уравнения равновесия удовлетворяются.
2.39. Показать, что второй инвариант девиатора напряжений 11,0 связан с октаэдрическим касательным напряжением соотношением а = У вЂ” '/вПкрИа задачи 2.22 а 1/ )1(а — ац)'+(а — а1 )3+ (а 1 — а,)', но а1 а,и+3,, ац ам+зц ит. дч поэтому а '/3)/(3! — зц)'+ (зц — вц1)'+ (вщ — в1)' = 109 дополнитпльные задачи б) Вычислить вектор напряжения в точке Р (4, — 4, 7) на плоскости 2х, + 2х,— х, = — 7 н на сфере (л;)'+ (х,)'+ (х,)' = (9)з. в) Определить главные напряжения, максимальное касательное напряжение и главные значения о девиатора напряжений в точке Р. г) Построить круги Мора для напряженного состояния в точке Р. а) Подставляя непосредственно в (2.24) номпонеиты пн, убеждаемся в том, что уравнения равновесия удовлетворяются тождественно. б) Из задачи !.2 следует, что единичный вектор нормали к плоскости 2ха+ Рис.
2.33. + 2х, — ха = — 7 определяется выражеинеи п '/аеа + '/,е, — '/,ез. Тогда, согласно формуле (2.12). вектор напряжения на втой йлощадке в точке Р ранен ) (ан = (а/зеа + а/зез — а/зез) (7Се,еа + 7Се еа — 4Сеаез — 4сеаеа) С (аа/зез + 'а/аеа — а/зез + а/зез) = а/зС (14ед + 18еа — 8ез)- Нормаль к сфере хгхг = (9)з в точке Р определяется выражением и, = 17 а, где и = хгха — 81; следовательно, и а/аеа — а/аеа+ т/аез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
